2023-2024学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足i⋅z=1−i，则z=(

)A.1+i B.−1+i C.1−i D.−1−i2.已知向量a=(1,5)，b=(0,3)，则|aA.3 B.5 C.3 3.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为(

)A.8

B.16

C.83

4.已知平面α，直线m，n，若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的(

)A.充分不必要条件 B.充分必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.在△ABC中，a=2，∠A=π3，∠B=5π12，则A.223 B.2 C.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组(每组为左闭右开的区间)，画出了如图所示的频率分布直方图.则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为(

)A.18 B.21 C.24 D.277.已知向量a，b不共线，c=3a−tb，d=−2ta+6b，若cA.−3 B.−1 C.3 D.−3或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势.如图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度(以下简称增速)统计图．

注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．

下列说法正确的是(

)A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大

B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小

C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月

D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BD，∠BDC=π3，AB=2，DC=6，则AD与BC夹角的余弦值为(

)A.714 B.277 10.已知|AM|=2，AM=2MB，若动点P，Q与点A，M共面，且满足|AP|=|AM|A.0 B.12 C.1 D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知某学校汉服社、书法社、诗歌社、曲艺社四个学生社团的人数比为2：2：3：3，现用比例分配的分层随机抽样的方法，从这四个社团中抽取20人担任志愿者，则从曲艺社抽取的人数为______．12.袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1，2，3，4.若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于3的概率是______；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是______．13.在△ABC中，点D，E满足BD=DC，AE=λAC.若DE=14.在△ABC中，∠A=π6，a=52，若△ABC存在且唯一，则b(b∈Z)15.已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量c满足|c|=1，且a⋅c=b⋅c.若网格纸上小正方形的边长为116.在正四棱锥P−ABCD中，PA与BC所成的角的大小为α，PA与底面ABCD所成的角的大小为β，侧面PAB与底面ABCD所成的角的大小为γ，二面角A−PB−C的大小为δ．

给出下列四个结论：

①β<γ<α<δ；

②tanα=3tanβ；

③tanαcosγ=1；

④sinβ−sinδ=sinβcosδ．

三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=4，E为CC1的中点．

(Ⅰ)求证：AC1/​/平面EDB；

(Ⅱ18.(本小题14分)

生成式人工智能(AIGC)工具正处于蓬勃发展期，在对话系统、机器翻译、文本摘要等领域得到广泛应用.为了解学生对生成式人工智能工具的使用情况，某校从全体学生中随机抽取了100名学生，调查得到如下数据：经常使用20人偶尔使用30人从未使用50人用频率估计概率．

(Ⅰ)估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率；

(Ⅱ)假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两名学生，估计这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率；

(Ⅲ)从这100名学生中抽取5次，每次随机抽取10名学生，记第i次(i=1,2,3,4,5)抽取的10名学生中，有ai名学生经常使用生成式人工智能工具，有bi名学生偶尔使用或者从未使用过生成式人工智能工具.将a1，a2，a3，a4，a5的方差记为sa2，b1，b2，b3，b19.(本小题13分)

在△ABC中，b+2c−2acosB=0．

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)若△ABC的面积是32，求a的最小值．20.(本小题14分)

如图1，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D，E分别为AC，BC的中点.将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到四棱锥C1−DABE，如图2．

(Ⅰ)求证：DE⊥C1A；

(Ⅱ)若M是线段C1B上的点，平面DEM与线段C1A交于点N.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.使点M唯一确定，并解答问题．

(i)求证：N为C1A的中点；

(ii)求证：C1A⊥平面DEMN．

条件①：C21.(本小题15分)

设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann是由n×n(n≥3)个非负整数组成的n行n列的数表，记Ri=ai1+ai2+⋯+ain，Cj=a1j+a2j+…+anj，i，j∈{1,2,…,n}.设R1，R2，…，Rn的平均数为μ(A)，若μ(A)<n2，则称数表A为“n阶H数表”．

(Ⅰ)

参考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.C

6.B

7.A

8.A

9.D

10.C

11.6

12.14

113.2314.5(答案不唯一)

15.0

−22或16.①③④

17.解：(Ⅰ)证明：如图，设AC∩BD=F，连接EF，

∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC，

∴F为AC的中点，又E为CC1的中点，

∴AC1//FE，又AC1⊄平面EDB，FE⊂平面EDB，

∴AC1/​/平面EDB；

(Ⅱ)证明：∵在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC，

∴BD⊥AC，且CC1⊥底面ABCD，又BD⊂底面ABCD，

∴BD⊥CC1，又AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1，又BD⊂平面EDB，

∴平面EDB⊥平面ACC1；

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面18.解：(1)依题意，这100名学生中有20名学生经常使用生成式人工智能工具，

故所求概率的估计值为20100=15；

(2)设“第i名学生经常使用生成式人工智能工具”为事件Ai，i=1，2，

“从该校全体学生中随机选取两名学生，至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具”这事件B，

则P(B)=1−P(A1−A2−)=1−P(A1−)P(A2−)，

依题意，P(A1)=P(A2)=15，

则P(A1−)=P(A2−)=1−15=45，

故所求概率估计为P(B)=1−45×45=919.解：(Ⅰ)因为b+2c−2acosB=0，

由正弦定理可得：sinB+2sinC−2sinAcosB=0，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinB+2cosAsinB=0，而sinB>0，

所以cosA=−12，

因为A∈(0,π)，

可得A=2π3；

(Ⅱ)因为S△ABC=12bcsinA=32，A=2π3，

可得bc=4，

20.证明：(Ⅰ)在△ABC中，因为AB=3，AC=4，BC=5，

所以AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，

因为D，E分别为AC，BC的中点，

所以DE/​/AB，所以DE⊥AC，

所以DE⊥C1D，DE⊥AD，

又因为C1D∩AD=D，

所以DE⊥平面C1AD，

又因为C1A⊂平面C1AD，

所以DE⊥C1A.

(Ⅱ)选条件①：C1M=MB，

(i)因为DE/​/AB，

又因为DE⊄平面C1AB，AB⊂平面C1AB，

所以DE/​/平面C1AB，

又因为DE⊂平面DEMN，平面DEMN∩平面C1AB=NM，

所以DE//NM，

又因为DE/​/AB，所以NM//AB，

因为C1M=MB，

所以C1N=NA，即N为C1A的中点．

(ⅱ)因为DC1=DA，由(i)得C1N=NA，

所以DN⊥C1A，

由(Ⅰ)得DE⊥C1A，

又因为DN∩DE=D，

所以C1A⊥平面DEMN．

(Ⅱ)选条件③：EM⊥C1B，

又因为EC1=EB，所以C1M=MB，

(i)因为DE/​/AB，

又因为DE⊄平面C1AB，AB⊂平面C1AB，

所以DE/​/平面C1AB，

又因为21.解：(Ⅰ)数表A不是“4阶H数表”，数表B是“4阶H数表”.理由如下：

在数表A中，μ(A)=R1+R2+R3+R44=6+4+4+64=5≥2，

因此数表A不是“4阶H数表”．

在数表B中，μ(B)=1+1+1+24=54<2，

因此数表B是“4阶H数表”．

(Ⅱ)证明：