2023-2024学年福建省福州市八县（市）协作校高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市八县（市）协作校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=1−2i，则z−的虚部为(

)A.2i B.−2i C.2 D.−22.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，则DE=(

)A.AB+12AD B.−AB+3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，cos(A+B)=13，则c=A.17 B.4 C.15 4.某小组有2名男生和1名女生，从中任选2名学生参加比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”(

)A.是对立事件B.都是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件5.下列说法中正确的个数是(

)

(1)若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行；

(2)如果平面α外有两点A，B到平面α的距离相等，则直线AB/​/α；

(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；

(4)一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交．A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.已知按从小到大顺序排列的两组数据：

甲组：27，30，37，a，40，50；

乙组：24，b，33，44，48，52．

若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=(

)A.60 B.65 C.70 D.757.已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，如右图所示．若A′O′=O′B′=B′C′=1，则该直四棱柱的表面积为(

)A.20+42

B.8+2(2+38.一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为23，且是相互独立的，则灯亮的概率为(

)A.7681

B.7781

C.4081二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若a=(2,0)，b=(1,3A.a⋅b=2 B.|a+b|=|a−b|10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题中正确的命题是(

)A.若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC一定是等边三角形

B.若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形

C.若a2+b11.圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为r1=1，r2=2，母线AB长为2，点E为母线AB的中点，则下列结论正确的是A.圆台的侧面积为12π

B.AB与BC所成角为120°

C.圆台外接球的半径为2

D.在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径的长度为5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.掷两颗骰子，出现点数之和为6的概率为

．13.写出一个同时满足①②的复数z=______．

①z2=z−；14.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效.经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x(单位：克)与香囊功效y之间满足y=15x−x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的方差为______克.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z满足z+z−=2，z−z−=4i．

(1)求|3+z−|；

(2)设复数zz−，z+2z−，16.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA．

(1)求C的大小；

(2)17.(本小题15分)

如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF//CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=3.M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．

(Ⅰ)求证：ED⊥CD；

(Ⅱ)求证：AD/​/MN；

(Ⅲ)若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出FMFC18.(本小题17分)

我省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：

(1)求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的众数和中位数(结果为准确值)；

(2)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上(含B等级)；(结果保留整数)

(3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40,50)和[50,60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40,50)内的概率．19.(本小题17分)

罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图，罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°，AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和α，其中cosα=63．

(1)求罗星塔的高CD的长；

(2)在(1)的条件下求多面体A−BCD的表面积；

(3)在(1)的条件下求多面体

答案解析1.C

【解析】解：z=1−2i，

则z−=1+2i，其虚部为2．

故选：C2.C

【解析】解：因为平行四边形ABCD中，E是BC的中点，

则DE=DC+CB=AB3.A

【解析】解：因为a=2，b=3，cos(A+B)=13=cos(π−C)=−cosC，

所以cosC=−13，

4.D

【解析】解：根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况，

易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，

故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件．

故选：D．

5.A

【解析】解：在(1)中，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面相交或平行，故(1)不正确；

在(2)中，如果平面α外有两点A，B到平面α的距离相等，如图所示，

则直线AB和平面α可能平行或可能相交，故(2)错误；

若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行相交或异面，故(3)错误；

空间中，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条可能相交，也可能异面，故(4)错误．

故选：A．

6.C

【解析】解：根据题意，甲、乙两组数据都按从小到大顺序排列，

甲乙都有6个数据，6×30%=1.8，

则甲组数据的第30百分位数为30，乙组数据的第30百分位数为b，则有b=30，

又由6×50%=3，

则甲组数据的第50百分位数为12(37+a)，乙组数据的第50百分位数为12(33+44)=772，

则有12(37+a)=772，解可得a=407.C

【解析】解：由直观图可得底面四边形ABCD的平面图形如下，

由AO′=O′B=BC=1，

则AO=OB=1,CO′=O′B2+B′C2=2，所以OC=22，

则SABCD=2×22=42,BC=8.A

【解析】解：电路由上到下有2个分支并联，

开关A，B所在的分支不通电的概率为1−23×23=59，

开关C，D所在的分支不通电的概率为13×9.AD

【解析】解：∵a=(2,0)，b=(1,3)，

∴a⋅b=2，|a|=2，|b|=1+3=2，

对于A选项，a⋅b=2，故A选项正确；

对于B选项，a+b=(3,3)，a−b=(1,−3)，

∴|a+b|=10.AD

【解析】解：若acosA=bcosB=ccosC，则sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等边三角形，故A正确；

若acosA=bcosB，则由正弦定理得sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

△ABC中，∵a2+b2−c2>0，∴角11.BCD

【解析】解：圆台的上、下底面半径分别为r1=1，r2=2，母线AB长为2，E为母线AB中点，

所以圆台的侧面积为S侧=π(r1+r2)l=π(1+2)×2=6π，选项A错误；

因为cos∠ABC=2−12=12，所以∠ABC=60°，所以AB与BC所成角为120°，选项B正确；

根据题意知，外接球的球心在圆台的中心连线上，

设球心到上底面的距离为x，

所以1+x2=22+(3−x)2，解得x=312.536【解析】解：掷两颗骰子，总共可能出现的结果有n=6×6=36种，

出现点数之和为6包含的可能结果有5种：

(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，

∴出现点数之和为6的概率为p=536．

故答案为：13.z=−12+【解析】解：因为z∉R，不妨设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，

由z2=z−得(a+bi)2=a2−b2+2abi=a−bi，

所以a2−14.39

【解析】解：设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为xi克，香囊功效分别为yi，i=1，2，…，6，

草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，

即x1+x2+⋯+x6=36，y1+y2+⋯+yn=15(x1+x15.解：(1)复数z满足z+z−=2，z−z−=4i．

所以z=1+2i，

所以z−=1−2i，

故|3+z−|=|4−2i|=16+4=25；

(2)由(1)得zz−=(1+2i)(1−2i)=1−4i2=5，

则A(5,0)，

【解析】(1)根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数模公式，即可求解；

(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，求出A，B，C，再结合向量的夹角公式，即可求解．

16.解：(1)利用正弦定理得b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA=2b−aa，

∴ab=b2+a2−c2，

∴cosC=b2+a2−c22ab=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3．

【解析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出C的值；

(2)利用正弦定理以及余弦定理求出三角形的周长．

17.解：(Ⅰ)证明：因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD．

又因为CD⊥EA，EA∩AD=A，EA和AD在平面EAD内，

所以CD⊥平面EAD.又ED在平面EAD内，

所以ED⊥CD；

(Ⅱ)证明：因为ABCD为矩形，所以AD//BC，

又因为BC在平面FBC内，AD不在平面FBC内，

所以AD/​/平面FBC．

又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，

所以AD/​/MN．

(Ⅲ)解：平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：

连接DF.因为AD⊥ED，AD⊥CD．

ED∩CD=D，ED，CD在平面CDEF内，

所以AD⊥平面CDEF.DM在平面CDEF内，

所以AD⊥DM．

因为AD/​/MN，所以DM⊥MN．

因为平面ADMN∩平面FBC=MN，

若使平面ADMN⊥平面BCF，

则DM⊥平面BCF，FC在平面BCF内，

所以DM⊥FC．

在梯形CDEF中，因为EF//CD，DE⊥CD，

CD=2EF=2，ED=3，

所以DF=DC=2．

所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．

所以FMFC【解析】(Ⅰ)证明：CD⊥平面EAD，即可证明ED⊥CD；

(Ⅱ)证明AD/​/平面FBC，即可证明：AD/​/MN；

(Ⅲ)若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC，可得DF=DC=2.若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．18.解：(1)∵(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，∴a=0.03，

抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为70+802=75分；

由频率直方图可得前三组的频率和为(0.010+0.015+0.015)×10=0.4<0.5，

又前四组的频率和为(0.010+0.015+0.015+0.030)×10=0.7>0.5，

故中位数落在第四组，设中位数为x，则(x−70)×0.030=0.5−0.4，解得x=2203；

(2)由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为0.15+0.35=0.50，

由(1)可得，中位数x=2203≈73.3，

故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上；

(3)由题知得分在[40,