3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时练习高二上学期数学人教A版选择性

3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质一、必备知识基础练1.[探究点一](多选题)[2024山东临沂高二统考期末]已知双曲线C:x2y2=1,则下列有关双曲线的说法正确的有()A.实轴长为1B.虚轴长为2C.离心率e=2D.渐近线方程为x±y=02.[探究点三]若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分,则该双曲线的离心率为()A.3 B.3 C.2 D.23.[探究点一][2024河南平顶山高二统考期末]双曲线C:x29-y24A.2 B.5 C.3 D.44.[探究点二][2024四川成都高二校联考期末]若双曲线的渐近线方程为y=±3x,实轴长为2a=2,且焦点在x轴上,则该双曲线的标准方程为()A.x2y29=1或y29x2=1 B.yC.x2y29=1 D.x295.[探究点三][2024四川达州高二统考期末]已知双曲线x2a2-y2b2A.y=±3x B.y=±2xC.y=±x D.y=±226.[探究点二]过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为()A.x2y23=1 B.x29C.x22-y29=7.[探究点一][2024四川高二统考期末]若双曲线x2y2b2=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程为8.[探究点三]两个正数a,b的和为5,积为6,且a>b,则双曲线x2a2-y2b2=9.[探究点三]双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一个交点为P,若三角形F1PF2的面积为10.[探究点二][2024湖南衡阳高二统考期末]求满足下列条件的双曲线的方程:(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1((2)已知双曲线的实轴长为2,且与椭圆x28+二、关键能力提升练11.(多选题)[2024海南校考模拟预测]下列关于双曲线y29-xA.实轴长为6B.与双曲线4y29x2=1有相同的渐近线C.焦点到渐近线的距离为4D.与椭圆y21512.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=π2,则双曲线的离心率等于(A.21 B.2C.2+1 D.2+213.[2024江西赣州高二校联考阶段练习]如图所示,F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C的右支上存在一点B满足BF1⊥BF2,BF1与双曲线C的左支的交点AA.±3 B.±23C.±13 D.±1514.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为()A.x23y2=1 B.xC.y23-x212=15.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2y2=1的左、右焦点,P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF1·PA.双曲线C的渐近线方程为y=±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.△PF1F2的面积为116.已知l为双曲线C:x2a2-y2b2=1的一条渐近线,其倾斜角为π4,且C的右焦点为(2,0),则17.已知F为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B18.[2024河南新乡校考模拟预测]已知双曲线C:x22-y2b2=1(b>0)的离心率为3,焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上.若△PF1F2的周长为142,求三、学科素养创新练19.已知F1,F2分别为双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,双曲线上的点P到原点的距离为b,且sin∠PF2F1=3sinA.y=±22x B.y=±3C.y=±2x D.y=±3x参考答案1.BCD由C:x2y2=1可知,a=b=1,c=2,故实轴长为2a=2,虚轴长为2b=2,离心率e=ca=2,渐近线方程为y=±bax=±x,即x±y=2.A已知双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分,则2a=13×2c,即ca则该双曲线的离心率为3.故选A.3.A依题意得a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13,所以a=3,b=2,c=13,所以渐近线方程为y=±23x,右焦点为(13所以点(13,0)到渐近线2x3y=0的距离为2134+9=2.4.C设双曲线的标准方程为x2a2-y所以双曲线的标准方程为x2y29=1.5.A由x2a2-y2b∵双曲线的离心率为2,∴ca=a2∴双曲线的渐近线方程为y=±3x.故选A.6.A椭圆的标准方程为x29+设双曲线的标准方程为x2a2-y2故4a2故双曲线的标准方程为x2y23=1.7.y=±2x双曲线x2y2b2=1(b>0)经过点(3,4),则916b2=1,所以双曲线的方程为x2y22=1,则该双曲线的渐近线方程为y=±28.133y=±23x由a又a>b,∴a=3,b=2,∴c=13,∴e=ca渐近线方程为y=±23x9.2不妨设P为右支上一点,设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义可得mn=2a,由题意可得△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,可得m2+n2=4c2,且12mn=a2由(mn)2=m2+n22mn=4c24a2=4a2,即c=2a,可得e=ca10.解(1)由e=2,得ca=2,即c=又b2=c2a2=(2a)2a2=a2,所以a=b.则双曲线的方程为x2a2-y2a2=1,将点(2,2)的坐标代入得所以双曲线的方程为x22-(2)椭圆x28+y24=1的焦点为(±2,0),设双曲线的方程为x2a且a2+b2=4,所以a=1,b2=3,所以双曲线的方程为x2y23=11.ABD由题意得,双曲线y29-x24=1满足a2=9,b2=4,即双曲线y29-x24=1的焦点在y轴上,故渐近线方程为y=±abx=±32x,而双曲线4y29x2=1的焦点也在y轴上,故渐近线方程为双曲线y29-x24=1的焦点为(0,±13),不妨取其中一个焦点(0,根据点到直线的距离公式,焦点到渐近线的距离为2133椭圆y215+x故D正确.故选ABD.12.C不妨设双曲线的标准方程为x2a2-y2依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=2b因为∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=b于是2ac=b2=c2a2,所以e22e1=0,解得e=2+1或e=12(舍去).故选C.13.B设|AB|=|AF1|=x(x>0),则|BF1|=2x,由双曲线的定义得|BF2|=2x2a,|AF2|=x+2a.又由BF1⊥BF2得|AF2|2=|AB|2+|BF2|2,即(x+2a)2=x2+(2x2a)2,得x=3a,所以|BF1|=6a,|BF2|=4a.在直角三角形BF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2,即(2c)2=(6a)2+(4a)2,整理得c2=13a2,则b2=c2a2=12a2,双曲线C的渐近线的斜率为±b2a2=±2314.ABD依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±33x或y=±3x,根据选项检验可知A,B,D均可能15.ACD易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确;由a=b=1得c=2,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;易知F1(2,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d=|-2-由PF1·PF2=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由x2+y2=2,x2-y2=1,得y2=12,故16.(2,0)x22-y22=1由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k=ba=tanπ4=1,解得a=b=2,则双曲线的右顶点为(17.233如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±bax则F(c,0)到渐近线的距离d=|bc|即|FA|=|FD|=b.又|OF|=|FB|=c,∴|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.∵△OFB为等腰三角形,∴D为OB的中点,∴|OB|=2a.∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2bc2b2=0,∴c=2b.则2a=3c,∴e=ca18.解设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,因为双曲线C:x22-y所以ca=3,即c=3a=32又△PF1F2的周长为142,所以m+n+2c=142.由双曲线的定义得mn=2a=22,解得m=52,n=32.由余弦定理得cos∠F1PF2=m2+n2-4c22mn=所以S△F1PF2=12mnsin∠F1PF2=1219.A由双曲线的方程可知,双曲线的焦点在y轴上,设F1为双曲线的下焦点,F2为双曲线的上焦点,过点P作PH⊥F1F2于点H(图略).因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PH||PF2|=3|PH|由双曲线的定义可知,|PF1||PF2|=2a,所以|PF2|=a.因为双曲线上的点P到原点O的距离为b,即|PO|=b,且|OF2|=c,所以|PF2|