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文档简介
江苏省仪征市马集中学2024届中考适应性考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,已知点A(0,1),B(0,﹣1),以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C,则∠BAC等于()A.90° B.120° C.60° D.30°2.下列二次根式中,与是同类二次根式的是()A. B. C. D.3.二次函数y=3(x﹣1)2+2,下列说法正确的是()A.图象的开口向下B.图象的顶点坐标是(1,2)C.当x>1时,y随x的增大而减小D.图象与y轴的交点坐标为(0,2)4.化简:(a+)(1﹣)的结果等于()A.a﹣2 B.a+2 C. D.5.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.6.计算6m3÷(-3m2)的结果是()A.-3m B.-2m C.2m D.3m7.下列四个图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A. B. C. D.8.下列说法不正确的是()A.某种彩票中奖的概率是,买1000张该种彩票一定会中奖B.了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查C.若甲组数据的标准差S甲=0.31,乙组数据的标准差S乙=0.25,则乙组数据比甲组数据稳定D.在一个装有白球和绿球的袋中摸球,摸出黑球是不可能事件9.已知正多边形的一个外角为36°,则该正多边形的边数为().A.12 B.10 C.8 D.610.若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是()A.m>﹣2 B.m<﹣2C.m>2 D.m<2二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=AC=BC=1.如果跳蚤开始时在BC边的P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处,且CP1=CP0;第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处,且AP2=AP1;第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处,且BP3=BP2;…;跳蚤按照上述规则一直跳下去,第n次落点为Pn(n为正整数),则点P2016与点P2017之间的距离为_________.12.如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD,∠A=28°,则∠D=_______.13.分解因式:a3﹣a=_____.14.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若点D为底边BC的中点,点M为线段EF上一动点,则△BDM的周长的最小值为_____.15.不等式组的解集是_____________.16.如图,为了测量铁塔AB高度,在离铁塔底部(点B)60米的C处,测得塔顶A的仰角为30°,那么铁塔的高度AB=________米.17.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.(1)b=_________,c=_________,点B的坐标为_____________;(直接填写结果)(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.19.(5分)解不等式组并写出它的整数解.20.(8分)某学校八、九两个年级各有学生180人,为了解这两个年级学生的体质健康情况,进行了抽样调查,具体过程如下:收集数据从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:八年级7886748175768770759075798170748086698377九年级9373888172819483778380817081737882807040整理、描述数据将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据:成绩(x)40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100八年级人数0011171九年级人数1007102(说明:成绩80分及以上为体质健康优秀,70~79分为体质健康良好,60~69分为体质健康合格,60分以下为体质健康不合格)分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示:年级平均数中位数众数方差八年级78.377.57533.6九年级7880.5a52.1(1)表格中a的值为______;请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少?根据以上信息,你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些?请说明理由.(请从两个不同的角度说明推断的合理性)21.(10分)如图1,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctanα,即ctanα=角α的邻边角(1)如图1,若BC=3,AB=5,则ctanB=_____;(2)ctan60°=_____;(3)如图2,已知:△ABC中,∠B是锐角,ctanC=2,AB=10,BC=20,试求∠B的余弦cosB的值.22.(10分)如图,△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径,AB与CD交于点E,点P是CD延长线上的一点,AP=AC,且∠B=2∠P.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若PD=,求⊙O的直径;(3)在(2)的条件下,若点B等分半圆CD,求DE的长.23.(12分)如图,二次函数的图象与x轴的一个交点为,另一个交点为A,且与y轴相交于C点求m的值及C点坐标;在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,C两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M点坐标;若不存在,请简要说明理由为抛物线上一点,它关于直线BC的对称点为Q当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;点P的横坐标为,当t为何值时,四边形PBQC的面积最大,请说明理由.24.(14分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC为半径,作⊙A交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F,连接AF、BF、DF(1)求证:BF是⊙A的切线.(2)当∠CAB等于多少度时,四边形ADFE为菱形?请给予证明.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、C【解析】解:∵A(0,1),B(0,﹣1),∴AB=1,OA=1,∴AC=1.在Rt△AOC中,cos∠BAC==,∴∠BAC=60°.故选C.点睛:本题考查了垂径定理的应用,关键是求出AC、OA的长.解题时注意:垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2、C【解析】
根据二次根式的性质把各个二次根式化简,根据同类二次根式的定义判断即可.【详解】A.|a|与不是同类二次根式;B.与不是同类二次根式;C.2与是同类二次根式;D.与不是同类二次根式.故选C.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义,一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.3、B【解析】
由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性,则可判断四个选项,可求得答案.【详解】解:A、因为a=3>0,所以开口向上,错误;B、顶点坐标是(1,2),正确;C、当x>1时,y随x增大而增大,错误;D、图象与y轴的交点坐标为(0,5),错误;故选:B.【点睛】考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).4、B【解析】
解:原式====.故选B.考点:分式的混合运算.5、D【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可,在平面内,把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.【详解】解:A.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故不符合题意;B.不是轴对称图形,是中心对称图形,故不符合题意;C.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故不符合题意;D.既是轴对称图形又是中心对称图形,故符合题意.故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.6、B【解析】
根据单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式计算,然后选取答案即可.【详解】6m3÷(﹣3m2)=[6÷(﹣3)](m3÷m2)=﹣2m.故选B.7、D【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.8、A【解析】试题分析:根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可.试题解析:A、某种彩票中奖的概率是,只是一种可能性,买1000张该种彩票不一定会中奖,故错误;B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机,有破坏性,适合用抽样调查,故正确;C、标准差反映了一组数据的波动情况,标准差越小,数据越稳定,故正确;D、袋中没有黑球,摸出黑球是不可能事件,故正确.故选A.考点:1.概率公式;2.全面调查与抽样调查;3.标准差;4.随机事件.9、B【解析】
利用多边形的外角和是360°,正多边形的每个外角都是36°,即可求出答案.【详解】解:360°÷36°=10,所以这个正多边形是正十边形.故选:B.【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理.是需要识记的内容.10、B【解析】
根据反比例函数的性质,可得m+1<0,从而得出m的取值范围.【详解】∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大,∴m+1<0,解得m<-1.故选B.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、3【解析】∵△ABC为等边三角形,边长为1,根据跳动规律可知,
∴P0P1=3,P1P2=2,P2P3=3,P3P4=2,…
观察规律:当落点脚标为奇数时,距离为3,当落点脚标为偶数时,距离为2,
∵2017是奇数,
∴点P2016与点P2017之间的距离是3.
故答案为:3.【点睛】考查的是等边三角形的性质,根据题意求出P0P1,P1P2,P2P3,P3P4的值,找出规律是解答此题的关键.12、34°【解析】分析:首先根据垂径定理得出∠BOD的度数,然后根据三角形内角和定理得出∠D的度数.详解:∵直径AB⊥弦CD,∴∠BOD=2∠A=56°,∴∠D=90°-56°=34°.点睛:本题主要考查的是圆的垂径定理,属于基础题型.求出∠BOD的度数是解题的关键.13、a(a+1)(a﹣1)【解析】解:a3﹣a=a(a2﹣1)=a(a+1)(a﹣1).故答案为:a(a+1)(a﹣1).14、2【解析】
连接AD交EF与点M′,连结AM,由线段垂直平分线的性质可知AM=MB,则BM+DM=AM+DM,故此当A、M、D在一条直线上时,MB+DM有最小值,然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线,依据三角形的面积为12可求得AD的长.【详解】解:连接AD交EF与点M′,连结AM.∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12,解得AD=1,∵EF是线段AB的垂直平分线,∴AM=BM.∴BM+MD=MD+AM.∴当点M位于点M′处时,MB+MD有最小值,最小值1.∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+1=2.【点睛】本题考查三角形的周长最值问题,结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析.15、x<-1【解析】解不等式①得:x<5,解不等式②得:x<-1所以不等式组的解集是x<-1.故答案是:x<-1.16、20【解析】
在Rt△ABC中,直接利用tan∠ACB=tan30°==即可.【详解】在Rt△ABC中,tan∠ACB=tan30°==,BC=60,解得AB=20.故答案为20.【点睛】本题考查的知识点是解三角形的实际应用,解题的关键是熟练的掌握解三角形的实际应用.17、AC=BC.【解析】分析:添加AC=BC,根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°,再证明∠EBC=∠DAC,然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC.详解:添加AC=BC,∵△ABC的两条高AD,BE,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,∴∠EBC=∠DAC,在△ADC和△BEC中∠BEC=∴△ADC≌△BEC(AAS),故答案为:AC=BC.点睛:此题主要考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1),,(-1,0);(2)存在P的坐标是或;(1)当EF最短时,点P的坐标是:(,)或(,)【解析】
(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得点B的坐标;(2)分别过点C和点A作AC的垂线,将抛物线与P1,P2两点先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可;(1)连接OD.先证明四边形OEDF为矩形,从而得到OD=EF,然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标,从而得到点P的纵坐标,然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.【详解】解:(1)∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得:,解得:b=﹣2,c=﹣1,∴抛物线的解析式为.∵令,解得:,,∴点B的坐标为(﹣1,0).故答案为﹣2;﹣1;(﹣1,0).(2)存在.理由:如图所示:①当∠ACP1=90°.由(1)可知点A的坐标为(1,0).设AC的解析式为y=kx﹣1.∵将点A的坐标代入得1k﹣1=0,解得k=1,∴直线AC的解析式为y=x﹣1,∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣1.∵将y=﹣x﹣1与联立解得,(舍去),∴点P1的坐标为(1,﹣4).②当∠P2AC=90°时.设AP2的解析式为y=﹣x+b.∵将x=1,y=0代入得:﹣1+b=0,解得b=1,∴直线AP2的解析式为y=﹣x+1.∵将y=﹣x+1与联立解得=﹣2,=1(舍去),∴点P2的坐标为(﹣2,5).综上所述,P的坐标是(1,﹣4)或(﹣2,5).(1)如图2所示:连接OD.由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.由(1)可知,在Rt△AOC中,∵OC=OA=1,OD⊥AC,∴D是AC的中点.又∵DF∥OC,∴DF=OC=,∴点P的纵坐标是,∴,解得:x=,∴当EF最短时,点P的坐标是:(,)或(,).19、不等式组的解集是5<x≤1,整数解是6,1【解析】
先分别求出两个不等式的解,求出解集,再根据整数的定义得到答案.【详解】∵解①得:x>5,解不等式②得:x≤1,∴不等式组的解集是5<x≤1,∴不等式组的整数解是6,1.【点睛】本题考查求一元一次不等式组,解题的关键是掌握求一元一次不等式组的方法20、(1)81;(2)108人;(3)见解析.【解析】
(1)根据众数的概念解答;(2)求出九年级学生体质健康的优秀率,计算即可;(3)分别从不同的角度进行评价.【详解】解:(1)由测试成绩可知,81分出现的次数最多,∴a=81,故答案为:81;(2)九年级学生体质健康的优秀率为:,九年级体质健康优秀的学生人数为:180×60%=108(人),答:估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为108人;(3)①因为八年级学生的平均成绩高于九年级的平均成绩,且八年级学生成绩的方差小于九年级的方差,所以八年级学生的体质健康情况更好一些.②因为九年级学生的优秀率(60%)高于八年级的优秀率(40%),且九年级学生成绩的众数或中位数高于八年级的众数或中位数,所以九年级学生的体质健康情况更好一些.【点睛】本题考查的是用样本估计总体、方差、平均数、众数和中位数的概念和性质,正确求出样本的众数、理解方差和平均数、众数、中位线的性质是解题的关键.21、(1);(2);(3).【解析】试题分析:(1)先利用勾股定理计算出AC=4,然后根据余切的定义求解;(2)根据余切的定义得到ctan60°=,然后把tan60°=代入计算即可;(3)作AH⊥BC于H,如图2,先在Rt△ACH中利用余切的定义得到ctanC==2,则可设AH=x,CH=2x,BH=BC﹣CH=20﹣2x,接着再在Rt△ABH中利用勾股定理得到(20﹣2x)2+x2=102,解得x1=6,x2=10(舍去),所以BH=8,然后根据余弦的定义求解.解:(1)∵BC=3,AB=5,∴AC==4,∴ctanB==;(2)ctan60°===;(3)作AH⊥BC于H,如图2,在Rt△ACH中,ctanC==2,设AH=x,则CH=2x,∴BH=BC﹣CH=20﹣2x,在Rt△ABH中,∵BH2+AH2=AB2,∴(20﹣2x)2+x2=102,解得x1=6,x2=10(舍去),∴BH=20﹣2×6=8,∴cosB===.考点:解直角三角形.22、(1)证明见解析;(2);(3);【解析】
(1)连接OA、AD,如图,利用圆周角定理得到∠B=∠ADC,则可证明∠ADC=2∠ACP,利用CD为直径得到∠DAC=90°,从而得到∠ADC=60°,∠C=30°,则∠AOP=60°,于是可证明∠OAP=90°,然后根据切线的判断定理得到结论;(2)利用∠P=30°得到OP=2OA,则,从而得到⊙O的直径;(3)作EH⊥AD于H,如图,由点B等分半圆CD得到∠BAC=45°,则∠DAE=45°,设DH=x,则DE=2x,所以然后求出x即可得到DE的长.【详解】(1)证明:连接OA、AD,如图,∵∠B=2∠P,∠B=∠ADC,∴∠ADC=2∠P,∵AP=AC,∴∠P=∠ACP,∴∠ADC=2∠ACP,∵CD为直径,∴∠DAC=90°,∴∠ADC=60°,∠C=30°,∴△ADO为等边三角形,∴∠AOP=60°,而∠P=∠ACP=30°,∴∠OAP=90°,∴OA⊥PA,∴PA是⊙O的切线;(2)解:在Rt△OAP中,∵∠P=30°,∴OP=2OA,∴∴⊙O的直径为;(3)解:作EH⊥AD于H,如图,∵点B等分半圆CD,∴∠BAC=45°,∴∠DAE=45°,设DH=x,在Rt△DHE中,DE=2x,在Rt△AHE中,∴即解得∴【点睛】本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了圆周角定理.23、,;存在,;或;当时,.【解析】
(1)用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先判断出面积最大时,平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点,从而求出点M坐标;(3)①先判断出四边形PBQC时菱形时,点P是线段BC的垂直平分线,利用该特殊性建立方程求解;②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式,
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