2022年河北省衡水中学高考数学模拟试卷及答案解析

第第页2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．（0，3） B．（1，2） C．（﹣∞，3） D．（0，2）2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种 B．90种 C．60种 D．30种3．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为（）A．104 B．53 C．644．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→=4FQ→A．72 B．3 C．525．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，点P在直线y＝x+3上．线段AB为圆C的直径，则PA→•PBA．2 B．52 C．3 D．6．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（）（参考数据：lg2≈0.3）A．10300 B．10400 C．10500 D．106007．（5分）已知f（x）是偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)-f(x2)x1-x2＞0．设a＝f（32A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b8．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，若AQ→•A．2 B．5-1 C．5 D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9．（5分）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（）A．a17 B．S35 C．a17﹣a19 D．S19﹣S16（多选）10．（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．将函数f（x）的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象B．f（x）的图象的一条对称轴可能为直线x=-πC．f（x）在区间[17π6，23π6D．f（x）的图象关于点（4π3（多选）11．（5分）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．将离心率为黄金比5-12的倒数，即e0=5+12的双曲线称为黄金双曲线，若aA．当焦点在x轴时，其标准方程为x2B．若双曲线的弦EF的中点为M，则kEF•kOM＝﹣e0 C．a，b，c成等比数列 D．双曲线的右顶点A（a，0），上顶点B（0，b）和左焦点F（﹣c，0）构成的△ABF是直角三角形（多选）12．（5分）函数f（x）＝ekx•lnx（k为常数）的图象可能是（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若正实数a，b满足1a+2b=14．（5分）如图，在△ABC中，cosC=3sinB，点D在边BC上，AD⊥AC，AD＝2，则AB的长为15．（5分）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是．16．（5分）将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为，该组合体的外接球的体积为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数f(x)=2cosω2xsin(（1）求f（x）在区间[-π（2）若f(θ2)=-35请从①若|f（x）1﹣f（x2）|＝2，|x1﹣x2|的最小值为π2；②f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2；③若f（x1）＝f（x2）＝0，|x1﹣x2|的最小值为18．（12分）已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且an+3Sn＝3Sn+1+anan+1+1．（1）求证：数列{1a（2）记数列{（a3n﹣2+1）（a3n+1+1）}的前n项和为Tn，求Tn．19．（12分）双曲线x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2（1）直线l的倾斜角为π2，△F1AB（2）设b=3，若l的斜率存在，且（F1A→+20．（12分）如图，矩形ABCD和梯形ABEF所在的平面垂直，BE∥AF，∠BEF＝90°，∠BAF＝30°，BF＝2，AF＝4．（1）求证：BF⊥面ABCD；（2）若直线AC与平面ABEF所成的角等于30°，求钝二面角D﹣CF﹣E的余弦值．21．（12分）设点P为圆C1：x2+y2＝2上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q．点M满足2MQ（1）求点M的轨迹C2的方程．（2）过直线x＝2上的点T作圆C1的两条切线，设切点分别为A，B，若直线AB与（1）中的曲线C2交于两点C，D．分别记△TAB，△TCD的面积为S1，S2，求S122．（12分）已知函数f（x）＝nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y＝f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）＝a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜a

2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．（0，3） B．（1，2） C．（﹣∞，3） D．（0，2）【解答】解：∵A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝（1，2）．故选：B．2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种 B．90种 C．60种 D．30种【解答】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：∁6乙场馆从余下的5人中挑2人有：∁5余下的3人去丙场馆；故共有：6×10＝60种安排方法；故选：C．3．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为（）A．104 B．53 C．64【解答】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，A（0，0，0），M（0，1，2），B（3，1，0），C1（0，2，2），AM→=（0，1，2），BC设AM与BC1所成角为θ，则cosθ=|∴AM与BC1所成角的余弦值为104故选：A．4．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→=4FQ→A．72 B．3 C．52【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，∵FP→=4∴|PQ|＝3d，∴不妨设直线PF的斜率为-22d∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝﹣22（x﹣2），与y2＝8x联立可得x＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3，故选：B．5．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，点P在直线y＝x+3上．线段AB为圆C的直径，则PA→•PBA．2 B．52 C．3 D．【解答】解：PA→•=|PC由点P在直线y＝x+3上，点C位圆心，C（1，1），所以|PC→|的最小值为：点C则PA→•PB故选：B．6．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（）（参考数据：lg2≈0.3）A．10300 B．10400 C．10500 D．10600【解答】解：将数字塔中的数字改写成指数式，可发现其指数恰好成杨辉三角，前10层的指数和为1+2+22+⋯⋯+29＝210﹣1＝1023，所以原数字塔中前10层所有安数字之积为21023＝10lg21023=101023lg2＝101023×0.3故选：A．7．（5分）已知f（x）是偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)-f(x2)x1-x2＞0．设a＝f（32A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：根据题意，f（x）满足对任意x1，x2∈（0，+∞），f(x则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（x）是偶函数，则c＝f（﹣0.83）＝f（0.83），又由0.83＜1＜32＜32log33＝log则c＜a＜b；故选：B．8．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，若AQ→•A．2 B．5-1 C．5 D．【解答】解：由已知得A（a，0），设F（c，0），由AQ→•AB→=AQ→∴l垂直于x轴，即l：x＝a，不妨设Q在第一象限，则Q（a，b），设B（x0，y0），由BQ→=3FQ→∴（c﹣x0，﹣y0）＝2（a﹣c，b），则x0=3c-2ay0=-2b，即B（3c∵B（x0，y0）在双曲线上，∴(3c-2a)整理得：9c2﹣12ac﹣a2＝0，即9e2﹣12e﹣1＝0，解得e=2+53故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9．（5分）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（）A．a17 B．S35 C．a17﹣a19 D．S19﹣S16【解答】解：设{an}的首项为a1，公差为d，由S17＝S18，即17a1+17×162d＝18a1+得a1＝﹣17d，∴an＝（n﹣18）d，Sn=n(-17d+nd-18d)2所以a18＝0，S35＝0．a17﹣a19＝﹣d﹣d＝﹣2d，S19﹣S16=19×(-16)2d-故选：BD．（多选）10．（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．将函数f（x）的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象B．f（x）的图象的一条对称轴可能为直线x=-πC．f（x）在区间[17π6，23π6D．f（x）的图象关于点（4π3【解答】解：由图象可知，34T＝[5π6-(-所以T＝2π，所以ω＝1，因为图象过点（5π6所以cos（5π6解得5π6+φ=2kπ（k∈由﹣π＜φ＜0，可知φ=-5π所以f（x）＝cos（x-5π对于A，将函数f（x）的图象向左平移π3个单位长度，可得y＝cos（x-5π6+π3由正弦函数为奇函数可知，A正确；对于B，因为f（x）＝cos（x-5π6）的对称轴方程为x-5π6=kπ，即x=5π6当k＝﹣1时，x=-π6，故对于C，当x∈[17π6，23π6]时，x-5π6∈[2而余弦函数在该区间不是单调递增的，故C错误；对于D，令x-5π6=kπ+π2解得：x=43π+所以其对称中心为（4π3+kπ，0）（k∈当k＝0时可知，D正确．故选：ABD．（多选）11．（5分）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．将离心率为黄金比5-12的倒数，即e0=5+12的双曲线称为黄金双曲线，若aA．当焦点在x轴时，其标准方程为x2B．若双曲线的弦EF的中点为M，则kEF•kOM＝﹣e0 C．a，b，c成等比数列 D．双曲线的右顶点A（a，0），上顶点B（0，b）和左焦点F（﹣c，0）构成的△ABF是直角三角形【解答】解：对于A，若双曲线为黄金双曲线，则离心率为e0又e0所以b2所以黄金双曲线的方程为x2a2对于B，由A可知，黄金双曲线的方程为x2设E（x1，y1），F（x2，y2），线段EF的中点M（x0，y0），则x1两式相减得x1所以x1即x0即1a所以1a2-kOM⋅1e0a2⋅对于C，因为b2所以b2＝ac，所以a，b，c成等比数列，故C正确；对于D，kAB所以kAB•kBF=-ba×bc故D正确；故选：ACD．（多选）12．（5分）函数f（x）＝ekx•lnx（k为常数）的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：令f（x）＝ekx•lnx＝0，解得x＝1，即函数f（x）有且只有一个零点，故D不可能，f′（x）=ekxx令y＝xlnx，则y'＝lnx+1，令y'＞0，则x＞1e，即函数y在（令y'＜0，则x＜1e，即函数y在（0，∴当x=1e时，y取得最小值，为-1e，即xlnx∈[-1e，+∞），且x→0时，故当0≤k≤e时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，选项A可能，当k＞e时，f'（x）存在两个零点x1，x2，且0＜x1＜1e＜∴f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，选项B可能，当k＜0时，f'（x）存在唯一零点x0，且x0＞1，∴f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，选项C可能，故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若正实数a，b满足1a+2b=ab，则【解答】解：∵正实数a，b满足1a∴ab=1a+2∴ab≥22当且仅当1a=2b即a=4故答案为：22．14．（5分）如图，在△ABC中，cosC=3sinB，点D在边BC上，AD⊥AC，AD＝2，则AB的长为23【解答】解：因为AD⊥AC，所以sin∠ADB＝sin∠ADC＝cosC，结合cosC=3sinB，故sin∠ADB=所以ABsin∠ADB=ADsinB，又因为故AB的长为23．故答案为：23．15．（5分）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是16．【解答】解：若数学安排在第二节，则由于物理与数学不相邻，语文与化学相邻，所以物理安排在第五节，语文化学从3，4节中各选一节，所以有A2若数学安排在第三节，物理只能为第一或第五，若物理第一节则语文化学从4，5节选有A22，若物理第五节，则语文化学1，2节选，有若数学安排在第四节，则物理只能在1，语文化学2，3节选，有A2若数学在第五节，则物理应从3，2，1节选，若物理为3，则语文化学从1，2节中各选一节，所以有A22种，若物理为2，则语文化学从3，4节中各选一节，所以有A22种，若物理为1，则语文化学从2，3节中或3，4节中各选一节，所以有2故答案为：16．16．（5分）将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为6，该组合体的外接球的体积为823【解答】解：如图，连接PA交底面BCD于点O，则点O就是该组合体的外接球的球心．设三棱雉的底面边长为a，则CO=PO=R=3得2×所以a=6所以V=4故答案为：6；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数f(x)=2cosω2xsin(（1）求f（x）在区间[-π（2）若f(θ2)=-35请从①若|f（x）1﹣f（x2）|＝2，|x1﹣x2|的最小值为π2；②f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2；③若f（x1）＝f（x2）＝0，|x1﹣x2|的最小值为【解答】解：f(x)=2cosω2xsin(ω2x-π3)+32=2cosω＝sinω2xcosω2x-3cos2=12sinωx-3•1+cosωx2+（1）选择条件①：若|f（x）1﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为π2所以最小正周期T＝2×π2=π=所以f（x）＝sin（2x-π选择条件②：因为f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2所以最小正周期T＝2×π2=π=所以f（x）＝sin（2x-π选择条件③：若f（x1）＝f（x2）＝0，则|x1﹣x2|的最小值为π2所以最小正周期T＝2×π2=π=所以f（x）＝sin（2x-π因为x∈[-π6，π6]，所以2x-π3（2）因为f(θ所以f（θ2）＝sin（2•θ2-π3）＝sin（又θ∈[-π6，5π6]，所以θ-π3∈[-所以sinθ＝sin[（θ-π3）+π3]＝sin（θ-π3）cosπ3+cos（θ18．（12分）已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且an+3Sn＝3Sn+1+anan+1+1．（1）求证：数列{1a（2）记数列{（a3n﹣2+1）（a3n+1+1）}的前n项和为Tn，求Tn．【解答】解：（1）证明：由an+3Sn＝3Sn+1+anan+1+1，可得an＝3Sn+1﹣3Sn+anan+1+1＝3an+1+anan+1+1，即为an+1=a所以an+1+1=an-1则1a可得数列{1an+1（2）由（1）可得1an+1=12即有an+1=2所以（a3n﹣2+1）（a3n+1+1）=23n-2•23n+1则Tn=43（1-14+14-119．（12分）双曲线x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2（1）直线l的倾斜角为π2，△F1AB（2）设b=3，若l的斜率存在，且（F1A→+【解答】解：（1）双曲线x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a＝1，c直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为π2，△F1AB可得：A（c，b2），可得：323b4＝4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4＝0，b＞0，解得b2＝2．所求双曲线方程为：x2-y其渐近线方程为y＝±2x．（2）b=3，双曲线x2-y23=1，可得F设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=y直线l的方程为：y＝k（x﹣2），由题意可得：y=kx-2kx2-y23=1，消去y可得：（3﹣k2）x2+4Δ＝36（1+k2）＞0且3﹣k2≠0，可得x1+x2=4则y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝k（4k2kF1A→=（x1F1B→=（x2（F1A→+F1B→）•AB→=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1可得x1+x2+4+（y1+y2）k＝0，得4k2k2-3可得：k2=3解得k＝±155l的斜率为：±15520．（12分）如图，矩形ABCD和梯形ABEF所在的平面垂直，BE∥AF，∠BEF＝90°，∠BAF＝30°，BF＝2，AF＝4．（1）求证：BF⊥面ABCD；（2）若直线AC与平面ABEF所成的角等于30°，求钝二面角D﹣CF﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：在△ABF中，由正弦定理可得BFsin∠BAF所以sin∠ABF=AF⋅sin∠BAF所以∠ABF＝90°，即BF⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BF⊂平面ABEF，所以BF⊥面ABCD；（2）解：由于ABCD是矩形，所以CB⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，CB⊂平面ABCD，所以CB⊥平面ABEF，故直线AC与平面ABEF所成的角为∠BAC，所以∠BAC＝30°，因为AB=AF2所以CB＝ABtan30°＝2，因为BE∥AF，则∠EBF＝∠AFB，又∠BEF＝∠ABF＝90°，所以△ABF∽△FEB，所以BEBF=BFAF所以EF=B以B为坐标原点，BA、BF、BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，则D(23，0，2)，C(0，0，2)，所以DC→设平面DCF的一个法向量为m=(x，y，z)由m→⋅DC→=0m→⋅DF所以m→设平面CFE的一个法向量为n→由n→⋅CE→=0n→所以n→所以cos＜m故钝二面角D−CF−E的余弦值为−1021．（12分）设点P为圆C1：x2+y2＝2上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q．点M满足2MQ（1）求点M的轨迹C2的方程．（2）过直线x＝2上的点T作圆C1的两条切线，设切点分别为A，B，若直线AB与（1）中的曲线C2交于两点C，D．分别记△TAB，△TCD的面积为S1，S2，求S1【解答】解：（1）设点M（x，y），由2MQ→=由于点P在圆C1：x2+y2故点M的轨迹方程为x2（2）如图所示，设点T（2，t），A（x'1，y'1），B（x'2，y'2），则直线AT和BT的方程分别为x'1x+y'1y＝2，x'2x+y'2y＝2，又点T（2，t）在直线AT和BT上，则有2x'1+ty'1＝2①，2x'2+ty'2＝2②，由①、②可知，直线AB的方程为2x+ty＝2，设点C（x1，y1），D（x2，y2），则圆心O到AB的距离d=2则|AB|=2r联立方程组2x+ty=2x22+y2=1，可得（t于是y1+y所以|CD|=1+于是|AB||CD|设t2+4＝s，则s≥4，则|AB||CD|设1s=m，则|AB||CD|设f（m）＝1+6m﹣32m3，则f'（m）＝6﹣96m2，令f'（m）＝0，可得m=1当0＜m≤14时，f'（m）＞0，则f（m）故f（m）∈（1，2]，所以|AB||CD|的范围为(1，2]22．（12分）已知函数f（x）＝nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y＝f（x）与x轴正半轴的交点为P，