人教版九年级数学同步学案：第28章 锐角三角函数

28.1锐角三角函数

28.1.1锐角三角函数

「概念课」正弦

学习目标

□理解并记住正弦三角函数的定义

□会用直角三角形两边的比表示正弦三角函数

视频助学请先思考引导问题，再看视频【正弦】后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是正弦？如何求一个锐角的正弦值？

1.请证明当NA度数确定时，直角△ABC中NA的对边与斜边的比是定值.

证明:

CCC：C，

正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的

的比，就叫做这个角的正弦.即：在即ZXABC中,

NC=90。，我们把锐角NA的的比叫

做NA的正弦，记作sinA.所以，sinA=

3.角的正弦可表示为：sinA、、sina,、.

4.如图，在RfaABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4.分别求出sinA、sinB的值.

5.几种特殊角度的正弦值：sin30°=—、sin60°=—、sin450=

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：

「概念课」余弦、正切、余切

学习目标

□理解余弦、正切、余切的定义

□会求一个锐角的余弦、正切、余切的值

□掌握特殊角的三角函数值

视频助学请先思考引导问题，再看视频【余弦、正切、余切】后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是余弦、正切、余切？如何求一个锐角的余弦、正切、余切值？(00:00-03:10)

1.余弦定义：在直角三角形中，一个锐角的_______与_______的之比叫做这个角的余

弦.即：在用△A8C中，ZC=90。，我们把锐角NA的

B

________与_______之比叫做NA的余弦，记作cosA.所

以，cosA=____.

AbC

2.正切定义：在直角三角形中，一个锐角的________与________

之比叫做这个角的正切.即：在中，ZC=9O°,我们把锐角NA的________

的比叫做NA的正切，记作tanA.所以，tanA

3.余切定义:在直角三角形中，一个锐角的________与_______—之比叫做这个角的余切.即:

在阳aABC中，ZC=90°,我们把锐角NA的_______一与________的比叫做NA的

余切，记作cotA.所以，cotA=____.

引导问题2如何求一个锐角的三角函数值？(03:10-06:32)

4.如图，在心ZvlBC中，ZC=90°,BC=5,AB=13,请分别计算出N4的三角函

数sinA、cosA、tanA、cotA的值.B

A

C

5.请在下方表格空白处填入正确答案.

sinCOStancot

£

30°

2

45°

60°

6.请计算下列各式的值.(提示：sin2a=(sin«)2)

cos45°..

©-------------tan45°o②s--黑;

sin45°

tan2300.3

®cos2600+sin260°@---------------cos245°-sin245°

sin60°

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」锐角三角函数

学习目标

□理解三角函数的概念，会求任意角的三角函数值

视频助学请先思考引导问题，再看视频【锐角三角函数】后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是三角函数？三角函数有什么特点？(00:00-03:25)

锐角三角函数定义：锐角NA的都是NA的

锐角三角函数.

2.三角函数特点：三角函数是两条线段的,没有单位，其大小只与的大

小有关，与无关.

引导问题2如何计算锐角的三角函数？(03:25-06:16)

3.如图，在等腰△ABC中，BC为底,已知8c=4,AB=6,求NA8C的余弦值.

解：作AO_L8C,垂足为。

，在直角△A3。中

CQS/_ABD=___

△ABC为等腰三角形

AD平分底边BC

BD==2

21

/.cosZABD==—=—

-63

cosZABC=cosZABD=-

3

4.如图，△ABC的定点是正方形网格的格点，求sinA.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」求锐角三角函数

能力目标

□构造直角三角形求三角函数

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【求锐角三角函数】讲题.

4

如图，在放△ABC中，ZC=90°,如果sinA=§,求tanB.

2.如图，己知等腰三角形的底为4,腰为6,求顶角的正切值.

攻略

构造含目标角

的直角三角形

通过定义

找到目标边

计算长度|

3.如图，网格中每个小正方形边长都是1,/XABC每个顶点都在网格

的交点处，求sinA.

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)和点8(7,0),求sin/ABO.

5.如图，在四边形A8CQ中，£、尸分别是AB、AO的中点,

若EF-2,BC=5,CD=3,求tanC.

检查梳理看视频【求锐角三角函数】核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

「概念课」锐角三角函数的性质

学习目标

□了解锐角三角函数的基本性质

视频助学请先思考引导问题，再看视频【锐角三角函数的性质】后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1正弦锐角三角函数有何性质？（00:00-02:25）

1.正弦锐角三角函数的性质：

①锐角正弦值的范围在—和—之间，即：—<sinA<一（NA为锐角）；

②随着锐角的角度变大，其正弦值________，即：/A变大，则—变大（/A为锐角）.

引导问题2余弦锐角三角函数有何性质？（02:25-04:10）

2.余弦锐角三角函数的性质：

①锐角余弦值的范围在一和一之间，即：（角A为锐角）；

②随着锐角的角度变大，其余弦值，即：（NA为锐角）；

③一个锐角的正弦值和它的余角的相等，即：sina=cos（90°—a）.

引导问题3正切锐角三角函数有何性质？（04:10-04:50）

3.正切锐角三角函数的性质：

①随着锐角的角度变大，其正切值,即：（NA为锐角）；

②锐角的正切值可取全体________（正数/负数/实数）（角A为锐角）.

引导问题4余切锐角三角函数有何性质？（04:50-06:04）

4.余切锐角三角函数的性质：

①随着锐角的角度变大，其余切值________,即：（NA为锐角）；

②锐角的正切值可取全体（正数/负数/实数）（/A为锐角）；

③一个锐角的正切值和它的余角的相等，即：tan«=cot（900-a）.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来

「概念课」锐角三角函数间的关系

学习目标

□掌握锐角三角函数间的几种数量关系

视频助学请先思考引导问题，再看视频【锐角三角函数间的关系】后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1正余弦锐角三角函数间有何关系？(00:00-04:15)

1.三角函数版勾股定理：sin2«+cos2a=___

证明:

33

2.已知，sina=—,贝ijcosa=___；cosa=-,则sina=___

45

引导问题2正余切锐角三角函数间有何关系？(04:15-05:01)

3.正余切间的关系：同一个锐角的正切与余切,即：tana-cota=1；

证明:

4.已知，tan35°=a,则cot35°=一；cot30°=V3,贝Dtan30°=—

引导问题3正余弦与正余切锐角三角函数间有何关系？(05:01-07:17)

5.正余弦与正余切间的关系：正切等于.除以，余切等于..除以.

即：tana=,cota—

证明:

线上练习完成视频后相应的【专项练习】.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

28.2解直角三角形及其应用

28.2.1解直角三角形

「概念课」解直角三角形

学习目标

□理解三角函数的概念，会用三角函数值解直角三角形

视频助学请先思考引导问题，再看视频【解直角三角形】后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1直角三角形中角与角、边与边、角与边之间各有什么关系？（00:00-03:25）

如图，在在放ZVIBC中，NC=90°,NA、乙B、NC所对应的边分别为。、b、c,有:

1.角的关系：直角三角形的两个锐角,即NA+/5=—.

2.边的关系：直角三角形的三条边满足定理，即

a2+b2

3.边角关系：直角三角形的边与角之间满足三角函数关系：sinA=—,sinB=

cosA=___,cosB=___；tanA=___,tan8=____.

引导问题2如何计算锐角的三角函数？（03:25-08:30）

4.如图，在心△ABC中，ZC=9O°,a=#>,b=屈,解这个三角形（求

c、/A、乙B）.

解：

5.如图，在心△A3C中，ZC=9O°,〃=4,ZA=25°,解这个三角形（求

乙B、b、c）.（参考数据：sin25°«0.42,tan25°«0.47,结果精确到0.01）

解：

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」三角函数的几何应用

能力目标

□用三角函数解几何题

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【三角函数的几何应用】讲题.

1.如图，在等腰放△ABC中，/C=90°,AC=6,。为AC上一点，且tan/DBA=；,

4

2.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AC1AB,AD^CD,cosZDCA=-,

3.如图，在△ABC中，ZBAC=120°,A8=10,AC=5.求sin/ACB.

检查梳理看视频【三角函数的几何应用】,核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

「概念课」三角函数的实际应用

学习目标

□运用三角函数解决生活中的实际问题

视频助学请先思考引导问题，再看视频【三角函数的实际应用】后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是仰角和俯角？(00:00-02:10)

1.仰角：仰视视线和的夹角叫做仰角.

2.俯角：俯视视线与的夹角叫做俯角.

引导问题2三角函数在实际生活中有哪些应用？(02:10-08:17)

3.百年古树：已知，狗蛋站在离古树20米远的地方抬头看向树顶，狗蛋目视树顶的仰角为

3

37°,狗蛋的眼睛离地面1.5米，请画图并计算出古树的大概高度.(㈤°«-)

4

解：

4.千年浮桥：如图，现在想测量一下浮桥CD的长度，但浮桥CD由于饱经风雨早已破败

不堪，无法再在上面行走，但已知连接48两座狮身人面像与浮桥另一端C端的铁索

AC、8C与AB岸的夹角分别为38.5。和26.5°,量得AB长为60米.请你用所学知识

计算出浮桥。。的长度.(参考数据：tan38.5°=0.80,tan26.5。=0.50)

解:

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

满分必学

「解题课」三角函数与圆综合问题（上）

能力目标

□化三角函数值为线段比

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【三角函数与圆综合问题（上）】讲题.

1.如图，△ABC是等腰三角形，AB^AC,以AC为直径的。与BC交于点。,

DEYAB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.（1）求证：DE是0

的切线.（2）若。的半径为2,BE=\,求cosA的值.

攻略

先把三角函数转

化为线段比，再

利用圆与相似解

决问题

2.如图，已知：AC是。的直径，PALAC,连接。P,弦CBHOP,直线尸8交直

线AC于。，80=2PA.（1）证明：直线是。的切线.（2）求sin/OPA的值.

检查梳理看视频【三角函数与圆（上）】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

「解题课」三角