人教A版必修第二册82立体图形的直观图学案

8.2立体图形的直观图

新课程标准新学法解读

1.用斜二测画法画空间几何体的

关键是把握水平放置的平面图形

能用斜二测画法画出简洁空间几

的直观图的画法，这是画空间几何

何体(长方体、球、圆柱、圆锥、

体的直观图的根底.

棱柱及其简洁组合)的直观图.

2.充分利用直观图的作图规那么，

理解好“斜〃”二测〃的含义.

课前篇•自主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点立体图形的直观图

(1)在图形中取相互垂直的入轴和y轴，两轴相交于点0.画直观

图时，把它们画成对应的工，轴和y轴，两轴交于点且使Nvoy

=45。(或135°),它们确定的平面表示水平面.

(2)图形中平行于％轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行

于v轴或y轴的线段.

(3)图形中平行于％轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平

行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.

画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是

多画一个与％轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平

行性和长度都不变.

［重点理解］

“斜〃”二测〃的解读

“斜〃是指在平面内的图形中与%轴垂直的线段，在直观

图中均与r轴成45°或135°；

“二测〃是指两种度量形式，即在直观图中，平行于V轴或,

轴的线段长度不变;平行于y轴的线段长度变为原来的二分之一.

斜二测画法画图的关键是在原图中找到打算图形位置与外形的

点，并在直观图中画出.

“变〃的量与“不变〃的量

（1）平面图形用其直观图表示时，一般说来，壬后天卷丕变；

⑵点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化（特殊

是垂直关系有变化）；

（3）有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的外形发生变化.

斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横丕变院级近U

平行位置不转变.

［自我排查］

△ABC时，假设NA的两边分别平行于％轴、y轴，且NA=90。,

那么在直观图中N4=（）

A.45°B,135°

C.45°或135°D,90°

答案：C

解析：在画直观图时，NA，的两边依旧分别平行于7轴、y轴，

而NVOy=45。或135。.应选C.

2.（多项选择）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对

其中的线段的说法正确的选项是（）

B.原来垂直的仍垂直

D.原来共点的仍共点

答案：ACD

解析：由斜二测画法规那么知，B选项错误.应选ACD.

3.如下图为某一平面图形的直观图，那么此平面图形可能是以

下图中的（）

答案：A

解析：由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形,

且梯形两腰不能与底垂直.应选A.

△A5C的直观图如下图，那么原△A5C的面积为.

答案：9

解析：由题意，易知在△45。中，AC-LAB,且AC=6,AB=3,

SAABC=2X6X3=9.

课堂篇•重点难点研习突破

研习1平行投影与中心投影

［典例1］以下说法：

①平行投影的投影线相互平行，中心投影的投影线相交于一点;

②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变

成了相交的直线；

③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.

其中正确的个数为（）

B.1

C.2D.3

［思路点拨］

［答案］D

［解析］平行投影的投影线相互平行，中心投影的投影线相交

于一点；空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线有可能

变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最终相交

于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故3种

说法都正确.

［巧归纳］1.考察一个几何体的投影是什么图形，先分清晰是平

行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再依据平行投影或中心投

影的性质来推断.

2.平行投影需留意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位

置发生转变，一般状况下投影也会转变.

3.中心投影与人的视觉效果全都，解题时可结合生活实际作出

推断.

［练习1］关于直角A05在定平面a内的正投影有如下推断：

①可能是0。角；

②可能是锐角；

③可能是直角；

④可能是钝角；

⑤可能是180。的角.

其中正确推断的序号是.（把你认为正确推断的序号都

填上）

答案：①②③④⑤

解析：如图①，当直角A05所在平面与平面a垂直时，它在a

内的正投影为射线。4,因此推断①是正确的.

如图②，直角405所在平面与平面a不垂直，它在a内的正投

影为那么NAO夕为锐角，因此推断②是正确的.

如图③，直角A05在平面a内的正投影为NA，Ob,而NAYXB，

为钝角，因此推断④是正确的.

如图⑤，直角A05所在平面与平面a垂直，顶点0在平面a

内的正投影为。，因此推断⑤是正确的.

研习2空间几何体的直观图的画法

［典例2］用斜二测画法画出底面半径为1cm,高为2cm的圆

锥的直观图.

［思路点拨］|画轴|一|画底面|一|画顶点|一|成图

［解］(1)画轴：如图①，画％轴、y轴、z轴相交于点0,使N

%Oy=45°,Zx0z=9Q0；

(2)画底面：以点。为中点，在入轴上取线段A5,使A5=2cm,

在y轴上取线段CD,使CD=1cm,用光滑曲线顺次连接A,C,B,

D,得底面；

(3)画高：在z轴上取0E=2cm；

(4)成图：连接EA,EB,EC,ED,去掉帮助线，将被遮挡局部

改为虚线，就得到圆锥的直观图，如图②.

［巧归纳］1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水

平放置的平面图形，再画Z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最终

连点成图便可.

2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长

不变，平行关系不变.〃

［练习2］用斜二测画法画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂

直于底面）的直观图.（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2cm）

解：（1）画轴：画7轴、轴、，轴，使NV0旷=45。（或135。），

Zx'0'z'=9Q°.

（2）画底图：依据丁轴，轴，画正六边形的直观图A5CDEE

（3）画侧棱：过A,B,C,D,E,尸各点分别作，轴的平行线，

在这些平行线上分别截取AV,BB',CC,DD',EE,尸尸都等于侧

棱长2cm.

（4）成图：顺次连接A，，B',C,D',E',F',并加以整理（去掉

帮助线，将被遮挡的局部改为虚线），就得到正六棱柱的直观图.

E'PD'

研习3直观图的有关计算

［典例3］正△ABC的边长为m那么△A5C的平面直观图△

AbC的面积为（）

A2

A.4aIJ•&ci

C亚足D落2

85-L-,•］6"

［答案］D

1/3

［解析］由图②可知，AfB,=AB=a,0c=/。。=予Az.在图②

、历\［61

中作C。」Ab于点。'，那么CZ)'=4-0'C=王-a,所以SMB，C=5

ZoZ

应选D.

［巧归纳］此题是求直观图的面积，因此应在直观图中求解，

需求出直观图的底和高，然后用三角形的面积公式求解.

［练习3］AABC,实行斜二测画法画的它的直观图，且直观图

面积为4cm2,那么△A5C的面积为.

答案：8啦cm2

解析：由斜二侧画法可知，直观图与原图形面积比为爽：4,

那么8：5=w：4,S，=4cm2,原图形面积5=/5=8爽(crd).

课后篇•根底达标延长阅读

1.如图,在正方体A5CD—45601中，M,N分别是BBi,BC

的中点，那么图中阴影局部在平面ADDiAi上的射影为()

2.如下图，直观图的平面图形是（）

A.正三角形B.锐角三角形

D.直角三角形

答案：D

解析：由直观图知，ZACB=90°,故△ABC为直角三角形.应

选D.

3.用斜二测画法画一个水平放置的正五角星的直观图，那么正

五角形的各个角.（填“相等〃”不等〃或“不全相等〃）

答案：不全相等

解析：画出直观图比拟可知.

△A5C的斜二测直观图如下图，A'C'=3,8c=2,那么A3边

上的中线的实际长度为.

答案：

解析：由于在直观图中，ZA'C'B'=45°,那么在原图形中NAC5

=90。，AC=3,BC=4,；.AB=y32+42=5.

.,.AB边上的中线的实际长度为:AB=2.5.

5.如下图，在梯形A5CZ）中，AB//CD,A5=4cm,CD=2cm,

ZDAB=30°,AD=3cm,试用斜二测画法画出它的直观图.

解：（1）如图①所示，在梯形A5CD中，以边A5所在的直线为

%轴，点A为原点，建立平面直角坐标系如图②所示，画出对应

的丁轴、轴，使N%O_/=45。.

（2）在图①中，过点。作。轴，垂足为点E在图②中，在/

3、行

轴上取A'B'=AB=4cm,4£=八后=号七£7作E77〃y轴，使E'D'

113

=1£r>=］X］=0.75cm,再过点。作OC〃V轴，且使。。=。。=2

cm.

（3）连接4。，B'c,并擦去犬轴与y轴及其他一些帮助线，如

图③所示，那么四边形AEC。就是所求作的直观图.

课后自读方案

［误