人教版高一数学讲义 三角函数的应用

人教版高一数学精品讲义三角函数的应用

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课程标准课标解读

1.掌握三角函数的图象与解析式之间的

对应问题的处理方法.

2.能结合实际生产与生活中与三角函数

之间的密切关系，用三角函数这一数

通过本节课的学习，要求掌握常见的三角函数应用问题

学模式解决与之相关的问题.

的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处

3.能处理三角函数相关学科之间的问

理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关

题，用三角函数这一重要工具解决与

的其它学科与生产、生活有密切联系的问题.

数学、物理学及其它学科与之相关联

的问题.

4.掌握数学建模的重要方法与步骤，并

能严谨的应用数学知识解决问题.

四N知识精讲

知识点

1.三角函数模型的简单应用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻

画周期变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用.

教材中的例2对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三

角函数模型的方法和过程.

2.三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在

某点处的函数值，进而使实际问题得到解决.

步骤可记为：审读题意一建立三角函数式一根据题意求出某点的三角函数值一解决实际问

题.

这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然

后写出具体的三角函数解析式.

3.三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，

从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

【即学即练1】把函数产sin（x+mTT）的图象上所有点向右平移TT;个单位长度，再将所得图象

的横坐标变为原来的;（纵坐标不变），所得图象的解析式是产sin（cox+<p）（。>0,

刷〈兀），贝（）

A.①二一,(p=—~B.co=2,(p=—

233

C.co=2,(p=0D.co=2,(p=

【答案】C

IT7T

【解析】把函数v=sin（x+—）的图象上所有点向右平移一个单位长度得到函数

-33

得图象的解析式是产sin2x,故co=2,%0.

【即学即练2】电流强度/（单位：安）随时间/（单位：秒）变化的函数上Asin（而+9）

（A>0,G>0,0<9<1）的图象如图所示，则当仁标秒时，电流强度是（

10

5

A.—5安B.5安

C.5石安D.10安

【答案】A

【解析】由题图可知A=10T,-4------1-—,即4」1所以3=2」兀=100兀，函数图象过

230030050T

7TITJTI

点（0,5）且0<”一，所以3=一，所以函数为/=10sin（100河+一），当上一秒时，1=

266100

一5安.故选A.

7T

【即学即练3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数）=3sin（―x+⑼

+k.据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（)

【答案】C

【解析】根据图象得函数的最小值为2,有-3+无=2,"5,最大值为3+48.

【即学即练4】如图所示，质点尸在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为几（、回，

一夜），角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间/的函数图象大致为（）

【答案】C

【解析】因为B（血，-V2）,所以NPo。产一△.因为角速度为1,所以按逆时针旋

4

兀

转时间t后，得NPOPE所以NPQxr——.由三角函数定义，知点P的纵坐标为

4

2sin（f—）,因此42|sin（f—）|.令/=0,贝U4Zlsinl—）|=>/2,.当片一时，（1=0.故

4444

选C.

【即学即练5】某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为y=sin（初+雪（。>0）,其中/表示

振动的时间，y表示振动的位移，当fe[0,2]时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位

移为0的位置）5次，则在该过程中该振子有（）次离平衡位置的距离最远.

A.3B.2C.5D.5或6

【答案】D

【分析】根据题意画出函数的草图，根据函数的图像，得出该振子离平衡位置的距离最远的

次数.

【详解】根据题意，画出草图，由图可知2€L,々)，fe[0,2]时，该振子离平衡位置的距

【即学即练6]我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制''度量角，

因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称

这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制

下，角。的面度数为(，则角。的余弦值为()A.-与B.

C.yD.2

22

【答案】B

【分析】利用扇形面积公式，根据面度数定义，求角夕

【详解】由面度数的定义可知把[=巳，即。=斗，cosO=cos寻=-4.故选：B

r2332

Q能力拓展

考法01

1.函数解析式与图象的对应问题

(1)已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的

选项.

(2)函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据

图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，

此外零点也可以作为判断的依据.

【典例1].已知函数/(x)=3sin(2x+}],xeR.

(1)用“五点法''作出y=/(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;

(2)请说明函数y=f(x)的图像可以由正弦函数y=sinx的图像经过怎样的变换得到.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(I)先由函数解析式，按五个关键点列表，再描点连线，即可得出图像；

(2)根据函数的平移变换以及伸缩变换的原则，即可得出结果.

【详解】

解：(1)按五个关键点列表：

c兀n3冗

2x+-0Tl2兀

62T

兀Tl5兀2万1171

X

"12612~3~~\2

f(x)030-30

简图如图所示.

(2)先将函数y=sinx图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到y=3sinx

的图像；再将得到的图像向左平移,个单位长度，得至ijy=3sin(x+^)的图像；最后将得到

的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到〃x)=3sin(2x+S)的图像.

【点睛】

本题主要考查三角函数图像的画法，以及三角函数的伸缩变换与平移变换，熟记五点作图法,

以及图像变换的法则即可，属于常考题型.

ABCD

【答案】A

【解析】•.•旷=111905彳）［一5冗<8<7/1）\是偶函数，；.可排除8、D；

又当X=」兀时，y=ln1—<0,故选A.

32

【名师点睛】该题也可直接利用余弦函数的定义域得到，显然只有选项A满足题意，直

接得到正确的选项.所以该类问题抓住函数的“特性”很重要.

【即学即练8］函数y=sin园的图象是（）

【答案】B

【解析】令心）=sinR,xeR,则人一x）=sin|-x|=sin国=於），：.函数式x）=sinl%|为偶函

数，排除A；

兀兀兀

又当彳=一时,y=sin|—|=sin—=1,排除D；

2^22

当*=—时，y=sin|—|=sin—=—1,排除C,故选B.

222

【名师点睛】解决函数图象与解析式对应问题的策略

（1）解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、

周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.

（2）利用图象确定函数尸Asin（3x+0）的解析式，实质就是确定其中的参数A,s,<p.

其中A由最值确定；

。由周期确定，而周期由特殊点求得；

夕由点在图象上求得，确定e时，注意它的不唯一性，一般是求侬中最小的外

考法02

函数解析式的应用

(1)已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般很容易，只需将具体的值代入

计算即可.

(2)三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查.

【典例2].如图，某海港一天从0~12h的水位高度)，(单位：m)随时间f(单位：h)的

变化近似满足函数y=Asin("+e)+/A>O(y>O,O<e<；T).

(2)若该海港在水位高度不低于6m时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12h,轮船

最佳进港时间总共多少小时？

【答案】⑴y=4sin(9+f]+4,0融12；(2)—h.

【分析】

(1)由图可得4=亨=4,苧=4,7=2x00-2)=16,再由周期公式可求出@,

再把将f=2,y=8代入可求出。的值，从而可求得函数的解析式；

(2)由4$皿寻+?)+4.6可求出结果

【详解】

Q_Ao_i_n

(1)由图可知，4=7=4,人=0=4.

24

；7=2x00-2)=16,.-.—=16,解得。=工，

co8

TT7T

将f=2,y=8代入上式，解得gx2+*=g+2Z;r,kwZ,

82

・.•0<9<乃,：.(p=—,

4

故该曲线的函数解析式为>=4如序+?1+4,0釉12.

(2)由题意得4sin[j+丁]+4..6,B|Jsinf-/\,解得5+2版啜e/+乙之^+2上万，

184；(84J26846

214

keZ,即--F16/^)-----F16k,%£Z.

33

14

・.,0釉12,・•・当2=0时，即噫小—,

3

14

・・.该海港在0~12h的轮船最佳进港时间总共为.

【即学即练9】如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数尸Asin(s+9)+

伙A>0,co>0,0<勿<兀)，则该函数的表达式为.

兀371

【答案】y=10sin(-x+—)+20

84

【解析】由题意可知，函数的周期7=2x(14—6)=16,.••3=生=4.

168

30-10.

2.•.y=10sin(/x+o)+20.

30+10

----------=b7

2

71371371

/•20=10sin(—x10+@)+20,sin(-------Fp)=0,------卜(p=kit,%£Z.

,3兀7i3兀

XVO<69<7t,：・中=—,Ay=10sin(—x-\------)+20.

484

考法03

三角函数在物理学中的应用

【典例3】下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题:

(2)从。点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.

【答案】⑴振幅为2cm,周期为0.8s,频率为，

(2)如果从。点算起，到曲线上。点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线

上E点，表示完成了一次往复运动；

54

(3)y=2sin—[0,+8),

【分析】

(1)从图像中可以直接得到振幅、计算周期和频率；

(2)从图像中可以看出；

(3)设这个简诺动的函数解析式为尸加出(的+9)/目0,e),从图像得到4例9,即可得到

解析式.

【详解】

(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm,周期为0.8s,频率为士=二；

0.84

(2)如果从。点算起，到曲线上。点，表示完成了一次往复运动；如果从4点算起，到曲线

上E点，表示完成了•次往复运动；

(3)设这个简谐运动的函数解析式为丫=45也(的+。)/€[0,—),由图像可知：A=2,。=0,

又由7=3=0.8,得：(0=—.

co2

所以所求筒谐运动的函数解析式为y=2singx,xe[0,+«>).

【典例4]弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间小)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离

TT

/?(cm)由下面的函数关系式表示：/z=3sin(2f+-).

4

(1)求小球开始振动的位置；

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置:

(3)经过多长时间小球往返振动一次？

(4)每秒内小球能往返振动多少次？

【解析】(1)令M),得九=3sinq=逑，所以开始振动的位置为(0，—Y

422

7TTT

(2)由题意知，当〃=3时，t=-,即最高点为(石,3);

OO

当〃=-3时，t=^,即最低点为(9,一3).

OO

2兀

(3)T=—=71-3.14,即每经过约3.14s小球往返振动一次.

2

(4)/=1«0.318,即每秒内小球往返振动约0.318次.

【名师点睛】解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此

之间的对应关系导致错解.

【典例5］单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间《单位：s)

的函数关系式为s=6sin(2w+」JT).

6

(1)作出函数的图象.

(2)当单摆开始摆动(f=0)时，离开平衡位置的距离是多少？

(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？

(4)单摆来回摆动一次需多长时间？

［解析］(1)利用“五点法''可作出其图象.

兀

(2)因为当f=0时，s=6sin7=3,所以此时离开平衡位置3cm.

(3)离开平衡位置6cm.

(4)因为T=——=l,所以单摆来回摆动一次所需的时间为Is.

2兀

【名师点睛】三角函数在物理中的应用

三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对■弹簧振子和单摆的运动等有关

问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.

考法04

三角函数在平面几何中的应用

【典例6】如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕

长度/取决于角。的大小.探求/，。之间的关系式，并导出用。表示/的函数表达式.

6cm

sin6(1+cos20)

【分析】

根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解AE=GE8s2e=/sinecos2e,山

AE+BE=lsm0cos20+lsin0=6,求解艮|1可.

【详解】

解：由已知及对称性知，GF=BF=lcos0,GE=BE=lsinG,

又NG£4=NGF8=26,

AE=GEcos20=/sinOcos20,

又由A£+8E=/sin0cos2(?+/sine=6得：/=....-----r-

sin0(l+cos2。)

【典例7】南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南莺同学独爱其中形貌雅致

的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜

头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，

假设广场形状为正方形，边长为1,已知相机架设于4点处，其可捕捉到图象的角度为45。，

即NP4Q=45,其中尸，。分别在边BC,。上，记ZR4P=，（0麴B45）.

DQ

(1)南莺同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的

这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R,当6=30时，请你求出：

(i)线段。。的长为多少？

(ii)线段AR的长为多少？

(2)为节省能源，南莺同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，

为使相机能够捕捉到的面积(即四边形APCQ的面积，记为S)最大，。应取何值？S的最大值

为多少？

【答案】(1)⑴2-g,(ii)娓-五,(2)

【分析】

(I)如图建立平面宜角坐标系，在R/ADAQ中，直接求解力。，从而可得。(2-6,1),求

出直线PQ的方程，再与直线AC的方程联立可求出点R的坐标，再用两点间的距离公式可

求出AR的长：

JT7T

(2)由于BP=ABtan9=tan氏DQ=ADtan(--0)=tan(--6),从而可求出54八旅总饵的

44

值，进而可表示出四边形APC。的面积，再用三角函数的性质求出其最大值

【详解】

解：(1)如图建立平面直角坐标系，由于0=30。，AB=AD=BC=CD=l,

所以A(O,O),C(1,1),3(1,0),0(0,1),

由tan(9=§^,得BP=48tan30°=立，所以尸(1,3)，

AB33

因为NPAQ=45,ZBAP=30°,所以ND4Q=15°,

tan45°-tan30°

tanl50=lan(45°-30°)==2-73

1+tan45°tan30°

在R/AZM。中，tanZDAQ=^-,则0。=AQtanNZMQ=tanl5°=2-石，

AD

所以Q(2-G,l),

,V3

I6k=-----

k+m=——

设直线PQ为y=H+",则,3,解得＜3所以直线尸。为

2V3

(2—Ji)女+m=1m=-----

3

直线47为旷=》,

所以AR=J(层ip+(6-i)2=&(G-i)="_&

jrjr

(2)BP=ABt^nG=tanO,DQ=ADtan(----0)=tan(--0),

44

所以山即="8郎=如&山网=3皿DQ=gtang_。),

_117r

所以S=1-5“"一=l--tan^--tan(--0),

isin。cos0-sin0

=1---------------------------------

2cos02(cos0+sin6)

2cos28+2cosdsin。

1+cos26+sin2。

V2sin(2(9+-)+l

<i--^—=2-42,当且仅当26+?=],即e=J时取等号,

V2+1428

所以当。=9时，s取得最大值，最大值为2-夜

O

0(4)

【点睛】

关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出直线产。、

AC的方程，从而可求出点R的坐标，进而可求出AA的长，考查数学转化思想和计算能力,

属于中档题

考法05

三角函数模型的应用

三角函数应用模型的三种模式:

一、给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决

一些实际问题；

二、给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；

三、搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可

以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.

【典例8]已知某海滨浴场的海浪高度是时间f(h)的函数，记作下表是某日各时的

浪高数据.

03691215182124

y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

经长期观测，。的曲线可近似地看成是函数尸Acosof+A

(1)根据以上数据，求出函数〉=4«^h+人的最小正周期T、振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一

天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？

【解析】(1)依题意，得T=12,A=®1miiL=0.5,加=%丝+2皿=],

I7[71717c

(2)令>>=—cos—f+1>1,则2E——<——(fcGZ),

26262

：.\2k-3<t<\2k+3(k&Z).又,.,8<7<20,.,.9</<15,

...从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.

【名师点睛】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条

件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题.

【典例9】心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张

压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满

足函数式p(f)=115+25sin160*其中p(f)为血压(mmHg),f为时间(min),试回答下列问题:

(1)求函数p⑺的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)画出函数p⑺的草图；

(4)求出此人的血压在血压计上的读数.

2兀2兀1

【解析】(1)由于刃=160兀，代入周期公式7=「，可得丁=——=——(min),所

1勿160兀80

以函数〃⑺的周期为上min.

(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率/=工=80(次).

T

(3)列表：

1131

t0

32016032080

PS11514011590115

描点、连线并向左右扩展得到函数p⑺的简图如图所示:

(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg.

【名师点睛】解三角函数应用问题的基本步骤：

TT

【典例10］如图，在扇形OPQ中，半径。p=l,圆心角NPOQ=1,C是扇形弧上的动点,

矩形ABCQ内接于扇形.记NPOC=e,求当角。取何值时，矩形ABC。的面积最大？并求

出这个最大面积.

Q

p

【答案】a=3时，矩形ABCD的面积，最大面积为亳

66

【分析】

由题意可得CO=cosa--Usina,BC=sma,从而可得矩形ABC。的面积为

。3

S=CDBC=(cosa--7=sina)sina=-7=sin(2a+^)---尸,再由0<a<二可得

V3V362j33

g<2a+f<苧，由此可得2a+g=g时，S取得最大值

o0062

【详解】

在RZaOBC中，BC=sina,OC=cosa,

..AD7trr

在RsADO中，---=tan—=V3,

OD3

所以OD=—尸AD=―尸BC=-尸sincc,

v35/3,3

所以C£)=OC-O£)=cosa-爰'Sina,

设矩形的面积为S,则

S=CDBC

=(cosa--y=sina)-sina

=sinacosa--j=sin2a

△sin2a+)cos2a--

22V32V3

小3+令-白

八7zciKAn57rllr1、0八冗71....71„.

由0<a<三,得二<2a+w<丁，所以当2a+7=彳，即夕=二时,

3666626

Sa=耳一访=不，

因此，当a=£时，矩形ABCD的面积，最大面积为由,

66

【点睛】

关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形A88的面积表示为

/1.、.1/c7T、1

S=CD•BC-(cosa——尸sina)-sina=—j=sm(2a+—)---产再利用三角函数的性质可求

V3V362V3

得其最大值，属于中档题

M分层提分

题组A基础过关练

1.简谐运动y=4sin（5x-。）的相位与初相分别是（）

_717T

A.5x,—B.5x—3,4

33

7T乃

C.5x-3,--D.4,-

33

【答案】C

【分析】

根据相位与初相的概念，直接求解即可.

【详解】

TFTT

相位是5x-y；当x=0时的相位为初相，即

故选：C

2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在

时间/（s）时离开平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分别由下列两式确定：

则在时间f=彳时，S1与$2的大小关系是()

A.51>52B.51<52

C.51=52D.不能确定

【答案】C

【分析】

将「=等代入求值，可得Sl=S2

【详解】

,21,(_242万

当/=~7"时，5i=5sin2x—+—=—5,5?=5cos2x---=—5,.'.si=S2

3\3oJ\33J

故选：C

3.月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温.某城市一年中12个

月的月均温y(单位：O与月份x(单位：月)的关系可近似地用函数产4%m(x-3)+a

o

(x=l,2,3,…,12)来表示，已知6月份的月均温为29C,12月份的月均温为17C,则10月

份的月均温为()

A.20CB.20.5CC.21CD.21.5C

【答案】A

【分析】

由题意得出关于A、。的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令x=10可得结果.

【详解】

Asin——Fa=A+a=29

2A=6

由题意可得；,解得

a=23

Asm-+a=a-A=\l

I2

所以，函数解析式为y=6sin-(x-3)+23,

O_

在函数解析式中，令尤=10,可得y=6sinV+23=6x(-g)+23=20.

因此，10月份的月均温为20C.

故选：A.

4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h,低潮时水深为9m,高潮时水深为15

m.每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间f(h)的函数图象可以近似地看成

函数y=Asin(M+0)+&(A>0,。>0)的图象,其中叱然24,且f=3时涨潮到一次高潮，则

该函数的解析式可以是（）

A.y=3sin^/+12B.y=-3sin^f+12

TTTT

C.y=3sin—/+12D.y=3cos-/+12

【答案】A

【分析】

97TTT

由两次高潮的时间间隔⑵知7=12,且7=12=——3>0）得。=g又由最高水深和最低

a>6

水深得A=3,k=n,将r=3y=15代入解析式解出夕，进而求出该函数的解析式.

【详解】

由相邻两次高潮的时间间隔为12儿知7=12,且7=12=生（3>0）,得3=又由高潮

时水深15团和低潮时水深9得A=3,k—\2,由题意知当r=3时，y=15.故将f=3,

y=15代入解析式尸3$，2/+0）+12中，得35亩（会3+0）+12=15,得已乂3+中=]+

2kMkGZ）,解得（p=2k7t（keZ）.所以该函数的解析式可以是y=3sin（”+2Z乃）+12=3sin,

+12.

5.在图中，点。为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若

已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体

对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间f（单位：s）之间的函数关系式为（）

C.x=—sin3t+—D.x=3sin[丁+可

2{2

【答案】D

【分析】

设x=/（f）=Asin3+0）（o>0）,根据振幅确定A,根据周期确定。，根据〃0）=3确定夕,

即可得出结果.

【详解】

设位移X关于时间f的函数为x=/(，)=Asin(a+"®>0),

根据题中条件，可得4=3,周期7=至=3,故。=字==,

coT3

由题意可知当x=0时，/⑺取得最大值3,故3sing=3,则。=1+2版•(％eZ),

—,c-/2乃兀….(2兀万、

所以x=3sin［-^-1+3+2〃7rI=3sinl—/+—I.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的应用，考查由三角函数的性质求参数，属于基础题型.

6.若函数/(x)=sin2x的图象向右平移?个单位得到的图象对应的函数为g(x),则下列

6

说法正确的是()

A.g(x)的图象关于x=-^对称B.g(x)在［0,句上有2个零点

C.g(x)在区间件看上单调递减D.g(x)在'剂上的值域为考，。

【答案】B

【分析】

求出g(x)的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断.

【详解】

由题意g(x)=sin2(x-=sin(2x-=sin(2x+—),

633

g(-2)=sin不是函数的最值，*=-专不是对称轴，A错；

由g(x)=sin(2x+f)=0,2x』kMkeZ),x々三,其中苧是［0,兀］上的零点，B

332636

正确；

JT7T37rTT7乃7117E

由H—<2x4—<2%乃H----得H<x<kjiH-----,keZ,因此8(划在(一,—)是递减，

2321212312

在(二，苧)上递增，c错；

126

xwg,0］时,2x+枭g(尤)e［-l,亭，D错.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质.掌握正弦函数性质是解题关键.

7.某艺术展览馆在开馆时间段（9：00-16：00）的参观人数（单位：千）随时间f（单位:

时）的变化近似满足函数关系/Q）=4sin序-与）+5（A>0,9VY16）,且下午两点整参

观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（）

A.1万B.9千C.8千D.7千

【答案】B

【分析】

利用当/=14时，〃f）=7,求出A=4,由94f416,利用正弦函数的性质即可求解.

【详解】

下午两点整即f=14,当f=14时，/（z）=7.

177r

BPAsin—+5=7,AA=4,

6

n1\7l77rITI

;当9WY16时,-t-------G-----,----

36L62

...当1/-孚=当时，f（t）取得最大值，且最大值为4+5=9.故选：B

362

【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，

属于基础题.

8.如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数？=水皿。》

+0）+«4>0,0>0,]<。<"）的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（）

77七

30------------------•

20--------------/\

10-----I!

।1••

8101214；/h

A.I6℃B.15℃C.14℃D.13℃

【答案】D

【分析】

由最大值和最小值及中间值求得A%由周期求得。，再由起点求得夕（注意图象起点是最

低点）.得函数解析式，然后令x=8代入即可得.

【详解】

由题意得4=gx（30—10）=10,

〃=gx（30+10）=20,

.兀

*.*2x(14—6)=16,—=16,•・①=—

co8

.*.y=10sin+20,

/x6+e)+20=10,

将x=6,y=10代入得lOsin

(34

即sin=-l,

由于]<（p<7ctuj得夕=年

(71

.,.y=lOsinl—x+I+20,犬£[6,14].

(TT37r

当x=8时，v=lOsin—x8+:—+20=20—50x13,

-184

即该天8/z的温度大约为13℃,故选:D

【点睛】本题考查了3=4疝（5+夕）+机的应用，解题关键是利用正弦函数的性质求出函

数解析式.

9..已知函数/'（x）=sin（2x+?）则下列判断错误的是（）

A.〃x）的最小值为TB.点信0）是“X）的图象的一个对称中心

C.〃x）的最小正周期为"D.“X）在（一看,0）上单调递增

【答案】B

【分析】

根据正弦函数的性质，逐项判断，即uj"得出结果.

【详解】

因为，（x）=sin（2x+?j定义域为/?,所以/（x）=sin（2x+q）e[-l,l],即最小值为T,故A

正确；

因为部sin《+升1,所以点得°）不是的图象的一个对称中心，即B错；

又其最小正周期为7=三="，即C正确；

因为时，2x+|efo,y\所以函数在卜2,0）上单调递增，即D正确.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查正弦型函数性质的判定，属于基础题型.

10.已知/(x)=asin2x+阮os2x的最大值为总=4,将了㈤图象上所有点的横坐标伸长

为原来的2倍得到的函数解析式为()

A.y=4sin(2x+。)B.y=4sin(x+[)

C.y=4sin(gx+^JD.y=4sin(4x+/)

【答案】B

【分析】

根据题意，/㈤的最大值为4旦/信)=4,列式可算出。=2,。=26,利用辅助角公式

化简得

fW=2sin2x+2\/3cos2x=4sin(2x+y，根据平移伸缩的性质即可得出变换后的

解析式.

【详解】解：由题可知，f(x)=asin2x+bcos2x的最大值为4,

则/(x)=y/a2+b2sin(2x+(p)，\Ja2+b2=4»

7t..24

且/asm——+/?cos——,

121212

解之得a=2,b=2g.故/(x)=2sin2x+2百cos2x=4sin(2x+(J,

将/(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y=4sin(x+。)故选：B.

【点睛】本题考查三角函数的平移伸缩求解析式，涉及三角函数最值和辅助角公式的应用，

考查计算能力.

11.有一块矩形花圃A8CO如图所示，其中A3=10cm,BC=6cm,现引进了新品种需将其

扩大成矩形区域EFG",点A,B,C,。均落在矩形EFG”的边上(不包括顶点)，则扩

大后的花圃的最大面积为()

A.10