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文档简介
第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难)(50)
一、解答题(本大题共30小题,共360.0分)
1.己知向量$=(coscox,a),n=(a,2+V3sina)x),co>0,函数=m-n-5(aG/?,a0).
(1)当函数f(x)在xeR上的最大值为3时,求a的值;
(2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)—1在(0,用上至少有5个零点,求3的最小值.
2.已知函数/'(x)=Asin^wx+(p)(x&R,A>0,a)>0,0<(p<》图象如图,P是图象的最高点,。
为图象与x轴的交点,O为原点,且网=2,两=冬OPOQ=1.
(1)求函数丫=/。)的解析式:
(II)将函数y=/(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x€[0,2]时,求函
数九(%)=/(%)-g(%)的最大值.
3.已知函数/'(%)=sinx+1
(1)已知a,06(0,1),且sina=%cosp=求f(a+/?)的值;
(2)求函数y=/(%)-/©-%)的最大值.
4.已知函数/(%)=sin(7r-a)x)cosa)x+cos2a)x(a)>0)的最小正周期为江,
(1)求。的值;
(2)将函数y=/(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的5纵坐标不变,得到函数y=g(x)的
图像,求函数y=g(x)在区间[0,盘上的最小值.
5.已知向量五=(sinx,-1),b~(V3cosx,-,函数f(x)=(1+石).五一2.
(1)求函数/(%)的最小正周期T;
(2)已知/()=?,/()=嘿,ae(O(),£€(0(),求a-0.
x=-14,--1cosa,
加\(a是参数),以原点为极点,x
__
[y=+sina
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)在曲线C上取一点直线0M绕原点。逆时针旋转成交曲线C于点N,求|OM|“ON|的
最大值.
7.己知函数f(%)=4sinxsin2(^+:)+cos2x.
⑴设3>0为常数,若y=/3c)在区间[-J;上是增函数,求出的取值范围;
⑵设集合4={x|^<x<y),B={x||/(x)-m|<2},若AcB,求实数〃?的取值范围.
8.已知集合M是满足下列性质的函数/(x)的全体:存在非零常数T,对任意X6R,有/Q+7)
T"(x)成立.
(1)函数/(x)=x是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数fQ)=a,(a>0,且aR1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:/(x)=标6M;
(3)若函数f(x)=sinkxeM,求实数上的取值范围.
9.在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:5+《=l(a>d>0)的长轴长为4,P(1,|)为椭圆E上一点,
且七〃2为椭圆E上的两个动点.
(1)求椭圆E的标准方程:
(2)求R点到直线。P距离的最大值及取最大值时B的坐标;
(3)椭圆E上是否存在Pi,P2,使得直线OP与匕「2平行且直线PP1/P2斜率互为相反数?并说明
理由.
10.已知函数/'(%)=V3sin2x+sinxcosx——
(1)求函数y=f(x)在[0,§上的单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移*个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2
倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求证:存在无穷多个互不相同的整数出,使得
gOo)>今
11.已知函数/'(x)=26sin(x+E)cos(x+9+sin2x+a的最大值为1.
(I)求常数。的值;
(n)求函数/(乃的单调递增区间;
(皿)若将f(x)的图象向左平移,个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,§上的最大
值和最小值.当2%+零=半时,sin(2x+y)=-1,g(x)取最小值一3.
12.已知函数f(x)=cos2%—sin2x+sin2x
(1)求f(x)的最大值和最小正周期;
⑵设a,pG[0,5,%+)=',/(f+nr)=V2,求sin(a+£)的值.
卜=1+、,
13.在平面直角坐标系x0),中,直线/的参数方程为{2(t为参数);以坐标原点。为极点,
(y=i+?t
X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p2=就法,设直线/交曲线。于A,
8两点,点尸的坐标为(1,1).
(1)求曲线C的直角坐标方程,直线/的普通方程,以及伊川•|PB|的值.
(2)设点Q(x,y)为曲线C上的一动点,求点Q到直线/的距离的最大值.
14.已知函数/(x)=2sin(4x+0)(O<。<夕的图象经过点(0,遮).
(1)求/管的值;
(2)若一6=|,ae<㈤,凭”驾)=甯;/?是第三象限角,求cos(a—n)的值;
(3)在(2)的条件下,求向|的值.
15.已知函数/'(x)=asin(2x-g)+b.
(1)若a>0,写出函数f(x)的单调递减区间和对称中心;
(2)设x€[。用,函数/'(X)的最小值为-2,最大值为遮,求函数g(x)=acos2%+sinx+b的最
大值.
16.已知五=(遮sin(7r+3x),cosa>x).b=(sin(|jr-a)x),—cosa)x'),3>0.设fQ)=五.B的最小正
周期为兀.
(I)求/(x)的单调增区间;
(n)当xe(/()时,求f(x)的值域;
(HI)求满足f(a)=0且0<a<兀的角a的值.
17.已知五=(5V5cosx,cosx),b=(s讥%,2cosx),函数/(x)=W•b+|b产.
(1)求函数y=/(x)的周期和对称轴方程;
(2)求函数y=/Q)的单调递减区间.
18.在4ABe中,角力,B,C的对边分别是a,b,c,已知bcosC+遮bsinC—a—c=0.
(1)求角B的大小;
(2)若匕=b,求a+c的取值范围.
19.已知圆的参数方程为优二吃[0,2可,0为参数),将圆上所有点的横坐标伸长到原来的6
(y—sintj
倍,纵坐标不变得到曲线Cl;以坐标原点为极点,以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的
极坐标方程为psin(e+>=4V2.
(I)求曲线J的普通方程与曲线C2的直角坐标方程
(II)设尸为曲线C1上的动点,求点尸与曲线C2上点的距离的最小值,并求此时P点的坐标.
20.已知函数/'(x)=2-/3sinxcosx—2cos2x+1.
(/)求/⑨
(n)求函数八%)图象的对称轴方程.
21.判断方程sinx=2的根的个数.
y=1S2
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为一2'(s为参数),以坐标原点。为极点,x轴的
y=>/2s
正半轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为pcos。+2psin。+9=0.
(1)求C和/的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C上的动点,求点尸到直线/的距离的最小值.
23.己知函数/(X)=2y/3sinxcosx-cos2x
(I)求〃乃的最小正周期;
(口)求函数/(x)在区间[0,g]上的取值范围.
24.已知函数f(x)=a-•b~,其中a~=(2cosx,V5sin2x),b-*=(cosx,1)»x&R.
(1)求函数y=/(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)在44BC中,角4B,C所对的边分别是a,b,c,/'(4)=2,a=3,且sinB=2sinC,求44BC的
面积
25.已知向量五=(1,1),b=(sin(x+^),sin(x-^)),若函数/'(x)=五•3+cosx+a的最大值为L
(1)求常数a的值;
(2)求/(x)的单调递增区间.
x=cos2/
2《taug©为参数),以坐标原点。为极
{"1+tair<p
点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为&pcos(e+9=1.
(1)求椭圆C的普通方程和直线/的直角坐标方程;
(2)设直线/与x轴,y轴的交点分别为A,8,点户在椭圆C上,求4PAB面积的最大值.
27.已知函数y=Asin(a)x+(p)(A>0,a)>0,\<p\<兀)的一段图象如图所示,
(1)求振幅A和周期T;
(2)求函数的解析式;
(3)求这个函数的单调递增区间.
28.如图,己知半圆0:/+产=i(y20)及点42,0),8为半圆周上任意一点,以AB为一边作等
边△力BM.设乙40B=。,其中0<。<兀.
(I)将边AB表示为。的函数;
(II)求四边形OAM8面积的最大值.
29.已知函数f(x)=sin4x+2-73sinxcosx—cos4x
(I)求/。)的最小正周期和最小值;
(II)讨论〃x)在区间[0,兀]上的单调递增区间.
30.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线&的参数方程为["=8c°sa,(a为参数),以坐标原点为极点,
(y—sma,
.1,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为psin(。+£)=2.
(1)写出G的普通方程和C2的直角坐标系方程;
(2)设点尸在G上,点。在上,求IPQI的最小值及此时P的直角坐标.
【答案与解析】
1.答案:(本题满分为12分)
解:(1)/(%)=m-n-5=acosa)x+\/3asina)x+2Q—5,...(1分)
=2asin(3%+》+2Q-5,…(3分)
由当sin(2a%+看)=1时y7ng=2+2Q—5=3,得Q=3...(6分)
(2)•・•由(1)可得:/(%)=6sin(3%+》+1,
・•・y=/(%)—1=6sin(a)x+-),
6
,・,函数y=/(x)-1在%e(0,扪上至少有5个零点,
=IX—<7T,解得:0)>5,
.♦.3的最小值为5....(12分)
解析:(1)利用数量积化简函数,通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式,通过最
大值求出。的值;
(2)由(1)可得y=f(x)-1=6sin(3x+0,要在xe(0,机上至少有5个零点只需在区间(0,加上出现
|个周期即可,进而求出3的值.
本题主要考查了平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质的应
用,考查了数形结合思想的应用,属于中档题.
2.答案:(本题满分为12分)
解:(I)由已知可得得:cos/P°Q=点翡=壶=?,…Q分)
X2
sinZ.POQ=—»得P点坐标为(,1),
52
HL-,
3=g....(5分)
由=sin《+")=1可得8=p
y=/(x)的解析式为/(x)=sin(^x+)...(6分)
(II)根据函数、=Asin^x+。)的图象变换规律求得g(x)=sin",...(7分)
可得:h(x)=f(x)g(x)
nn7i
=sin(-x+-)sin-x
1.«71,y/3.HTC
=-sin2-xH——sin-xcos-%
23233
《27rL
l-cosq-xV327r
—4—+TsinTx
=|sin(yx-J)+[(10分)
当xe[0,2]时,与尤一a[一,争,
二当争Y=],即X=1时,/imaxQ)=*...(12分)
解析:(I)由平面向量数量积的运算得coszPOQ的值,可得sin/POQ,求出P的坐标可得4的值,
再由函数的周期求出3的值,再把点P的坐标代入函数解析式求出W,即可求得y=f(x)的解析式.
(U)求出g(x)的解析式,化简可得/i(x)=f(x)g(x)=:sin(gx-g)+:,再根据x的范围求出/i(x)的
N364
值域,从而求得九。)的最大值.
本题主要考查由函数y=Asin^x+。)的部分图象求函数的解析式,函数y=Asin(a)x+。)的图象变
换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
3.答案:解:(1)a,pe(0彳),且sina=cosp=
2yf2.门通
:.cosa——»sinp=—2,
:.f(a+6)=sin(a+0)+1
=sinacos^+cosasinp4-1="6^~-
7T
(2)y=f(x)-/(--x)
=(sinx4-l)(cosx+1)
=sinxcosx+sinx+cosx+1
令t=sinx+cosx=V2sin(x+:)E[—&,&],
•••sinxcosx=
・・.y卡+£+%
3L
•*-Vmax=]+V2
解析:(1)首先,根据已知条件,得至kosa=誓,sin0=等,然后,根据两角和的正弦公式求解即
可;
(2)首先,化简函数解析式,然后,令1=sinx+cosx=&sin(x+3€[-&,&],转化成二次函数
问题的最值问题进行求解.
本题重点考查了三角公式、三角恒等变换、辅助角公式等知识,属于中档题.
4.答案:解:(1)函数f(%)=sin(7r—a)x)cosa)x+cos2a)x
1+cos2a)x
=sina)x-cosa)xH-----------------
2
111
=-sin2a)x4--cos2a)x+-
222
=¥sin(23x+9+13>0)的最小正周期为穿=n,
・•・3=1.
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的右纵坐标不变,
得到函数y=g(x)=乎sin(4x+:)+和图象.
[€[0,勺,4工+叱《勺,sin(4x+^)G[y,l]>
故当4x+g=2时,
44
f(x)取得最小值为1.
解析:(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再根据正弦函数的周期性求得3的值.
(2)利用了=加%(3》+9)的图象变换规律求得9(为的解析式,再利用正弦函数的周期性、定义域和
值域求得函数g(x)在区间[0,看]上的最小值.
本题主要考查三角恒等变换,、=念讥(3X+尹)的图象变换规律,正弦函数的周期性、定义域和值
域,属于基础题.
5.答案:解:
(1)/(%)=(a4-K)-a—2=(sinx+\/3cosx,—|)•(sinx,—1)—2=sin2%+>/3sinxcosx—1=
/sin2x—i=sin2x—|cos2x=sin(2x-.)・・.(4分)
故函数/(%)的最小正周期T=TT,…(6分)
⑵由/弓)=寻/©)=甯得:sin(a_》=f,sin(°_》=誓
又a6(0,>0e(0,今aTe(一?》,G
•••cos(a一》=誓,cos(£一》=詈...(8分)
7171
•••cos(a-/?)=cos[(a--)-(/?--)]
7T7TITTT
=cos(a——)cosQ?——)+sin(a——)sin(/?——)
2V5VToVs3V10
=~rx^o+Tx~iT
=号…(10分)
•••«G(0,5,S€((),》•••a(一黑)
又
sin(a-go)<osin(°-g),
Aa</?
TT
a-pe(--,0)
•••a..=_:..(12分)
解析:(1)利用向量的数量积以及是,两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求解周期;
(2)利用已知条件求出角的正弦函数余弦函数值,然后求解a-0即可.
本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数,二倍角公式的应用,考查计算能力.
1,1
x=-4--cosa,「
加2]消去a得曲线C的普通方程为好+丫2一工X-在y=o.
(y=7+5=Sina,
所以C的极坐标方程为p=^sin0+[cos。,
即。=5也(。+三).
6
(2)不妨设M(P1,8),N(P2,J+》,P1>0,p2>0,。6[0,2兀),
则|0M|•|0N|=p〃2=sin(0+7)-sin(e+7+7)=;sin(20+7)+7,
663264
当。屋时,|。河|・|。时取得最大值,最大值为*
解析:本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程,是中档题.
(1)消去a可得曲线C的普通方程,再转为极坐标方程即可;
(2)不妨设M(pi,。),N(p2,8+»由极坐标的几何意义|OM|“ON|〜也化简,由正弦函数性质可
得|0M|•|0N|的最大值.
•曲羽.1一£5(万+/)
,口,I'.-'n.r---+C<JM2X=2sinjr(l+siikr)+1-2sin\r=2sinj-+1'
vy=/(a)x)=2sina)x+1在区间局等上是增函数,
7T27rr7T7T1
「才司二匹后卜
解得36(0,|];
(2)由|/(x)—m\<2可得一2<f(x)-mV2,
即/(%)—2<m</(%)+2,
vAQB,
7T,)7T
・,・当;7<N《一时,不等式/(%)-2<mV/(%)+2恒成立,
b3
・・・V。)-2]max<巾<[/(尤)+2]而n,
〃叽加=/1)=2,/")”皿=/点)=3,
・•・m6(1,4).
解析:本题考查了正弦函数的图象与性质,考查了二倍角公式与不等式恒成立问题.
(1)首先根据三角公式进行化简,然后根据正弦函数的性质得到关于3的不等式,解不等式可得答案;
(2)由不等式恒成立可得关于m的不等式,求出f(x)的最值即可.
8.答案:解:(1)对于非零常数7,
/(X+7)=x+T,T/(x)=Tx.
因为对任意x€R,x+T=Tx不能恒成立,
所以/(x)=xiMi
(2)因为函数f(x)=a\a>0且a*1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
_X
有解,消去y得ax=x,
y-x
显然%=0不是方程户=%的解,所以存在非零常数7,使。丁=7\
于是对于f(%)=a*有/(x+7)=Q*+T=aT-ax=T-ax=T/(x)故/(%)=axEM;
(3)当k=0时,/(%)=0,显然f(%)=OEM.
当々WO时,因为f(%)=sink%EM,所以存在非零常数7,
对任意%GR,有/(久+T)=7/(%)成立,
即sin(k%+kT)=Tsinkx.
因为/cHO,且所以kxWR,kx+kTER,
于是sink%6[—1,1],sin(kx+kT)6[—1,1],
故要使sin(/cx+kT)=Tsinkx.成立,
只有7=±1,当T=1时,sin(/cx+k)=sink%成立,
则k=2mn,mEZ.
当T=-1时,sin(fcx-k)=-sink%成立,
即sin(kx-fc+TT)=sin依成立,
则一/c+7T=2mn,mEZ,即/c=45—(2m—l)7r,m6Z.
综合得,实数人的取值范围是伙生=抽兀,抽€2}.
解析:本题考查对函数新定义的理解,考查元素与集合的关系,函数的零点和方程的关系、正弦函
数的性质的应用,属中档题.
(1)将/(久)=%代入定义。+T)=T/(%)验证知函数/(%)=久不属于集合M;
(2)由题意存在%ER使得a%=x,由新定义知存在非零常数7使得M=7,将函数关系式代入
/(%+7)=7/(X)验证知,/(x)=axEM;
(3)若函数/(%)=sinkxGM,依据定义应该有sin(/c%+kT)=TsinkxE[-1,1]对任意实数都成立,
故T=±1,将T=±1代入sin(/c%+kT)=Tsin/cr求k的范围即可.
9.答案:解:(I):2a=4,.・.£!=2,P(l,|)为椭圆E上一点,
则;+杀=1,
44bz
解得接=3,
.•椭圆E的标准方程为:-+^=1;
43
(2)二0P直线方程为:3x-2y=0.
设P|(2cosa.gsiun)(()《c<2万),
则Pi到直线0P的距离
|(icu«a—卜gsi'a-
•「()&aV2?r,
二当。=誓或0=半时,dmax~
此时P1(-低多或Pi(火,一泉.
(3)若存在P1,P2,使得直线0P与P1P2平行且直线PP1与PP2的斜率互为相反数,
则的也=号,设。2(孙先),
设直线PiPz:y=|x4-n,
fy=|x+n
由〈22=3/+3建工+九2—3=0,
二+匕=1
(43
需满足4=36-3n2>0,则必<12,
贝卜1+犯=一九%1%2=
kpp]+kpp2=0,
33
・・•—+组=0,
xt-lX2-l
T
(|x1+n-1)(x2-l)+(1x2+i-1)(x1-l)_0
(Xl-l)(X2-l)-'
解得n=0,即直线AP2与直线OP重合,显然直线PP1与PP2的斜率互为相反数不成立,
所以椭圆E上是不存在匕〃2,使得直线0P与P1P2平行且直线PPi,PP2斜率互为相反数.
解析:本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查
推理论证能力、运算求解能力,注意解题方法的积累,属于难题.
(1)根据题意求。,代入尸点求6,确定方程;
(2)借助点到直线的距离公式以及三角函数性质求最值;
(3)联立直线P1P2与椭圆方程,借助韦达定理整理kp%+加%=°,解出直线的方程,进而得到
结论.
10.答案:W:(l)/(x)=V3sin2x+sinxcosx—^=V3x1c<^2x+^sin2x—=|sin2x—
Ycos2x=sin(2x—柒;
因为2/CTTS2xS2忆兀+g,k?r一卷wxW卜兀+居,k&Z,
所以函数y=/(x)在[。币上的单调递增区间为[0,净;
(2)将函数向左平移?个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到
函数y=g(x)=sinx,g(%o)>当即sinx>当,
所以2卜兀+—<X<2/CTTd~~k€Z,
则(2/OT+9-(2/OT+;)=g>1,所以对任意的整数/都存在&e(2"+或2而+争,kez,
即存在无穷多个互不相同的整数尤0,使得g(&)>当.
解析:(1)化简三角函数式,利用正弦函数的单调性求单调区间;
(2)利用三角函数图象的变换规律得到函数y=g(x),然后证明.
本题看错了三角函数的化简以及三角函数的性质、图象变换;属于中档题.
11.答案:解:(I)•.,函数/(%)=2V3sin(x+9cos(%+:)+sin2x+a=y/3cos2x4-sin2x+a=
2sin(2x+§+QW2+Q=1,
Aa=—1.
(11)令2时一牌2%+江2/£兀+akEz,求得而一,+故函数f(x)的单调递增区
间为[k兀一工,卜兀+勺,k&z,
(HI).•・将/。)的图象向左平移,个单位,得到函数g(x)的图象,
-g(x)=f(x+?)=2sin[2(x+g)+m-1=2sin(2x+等一1.
当xe[0,堂时,2x+与eg,净,故当2%+等=§时,函数/(乃取得最大值为6一1,
当2x+等=学时,函数〃x)取得最小值为-2-1=-3.
解析:(I)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数/(x)=2sin(2x+^+a<2+a=l,
可得Q=—1.
(口)令2时*42%+上kwz,求得x的范围,可得函数/(%)的单调递增区间.
(HI)根据函数y=Asin(a)x+@)的图象变换规律,可得g(%)=2sin(2x+y)-1.再根据%E[。,J
利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值.
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,函数y=4s出(5:+3)的图象变换规律,正弦函数
的单调性、定义域、值域,属于基础题.
12.答案:解:(1)・・,/(%)=cos2%-sin2%+sin2x=cos2x+sin2x
=^2(^COS2X+/s讥2%)=V2sin(2x4-?)...(3分)
由振幅的意义可得,函数/(%)的最大值为/...(4分)
最小正周期T=§=7T…(5分)
(2)f(q+)=V2sin(2(|+》+:)=V2sin(a+)=y[2cosa=当
cosa=—»又因为aW[0,曰,・,,sina=渔…(8分)
同理可得/(§+兀)=V2sin(2(^+兀)+》=V2sin(j3+?=/,…(9分)
又因为6e[o,J.••/?+(e覃争,解得夕=>.("分)
sin(a+0)=sin(a+^)=sinacos+cosasin=停:"…(12分)
解析:(1)由三角函数的运算可得/Q)=«sin(2x+9,易得最值和周期;
(2)由题意可得cosa=票进而可得sina=乎,同理可得6=1,进而可得sin(a+°)=sin(a+»
代入数值计算即可.
本题考查三角函数的化简和求值,涉及函数的周期和最值的求解,属中档题.
13.答案:解:(1)由曲线C的极坐标方程为p2=就诏,可化为3p2ol2,
由,J=r2+/y=/Jbin0,代入上式方程可得3(/+y2)+y2=12,
化简可得式+日=1.
43
(X=1+^t,
将直线%(t为参数)消去参数得6x—y+l-遍=0,
!7=1+食
将直线/的参数方程42代入土+匕=1,
y=i+*43
并整理得竽12+(3+4V3)t-5=0,
易知点尸的坐标为(1,1)在直线/上,
设方程的两根为直线/与曲线C的两个交点A,B对应的参数t2,
(2)可设点Q的坐标为Q(2eus尸&sin.),
因此点Q到直线/的距离可表示为
.12-禽疝卜/+1—1vzTKsin(。一⑼+1—廿百、
a=------------------/“-----------=------------------------•具甲tann=2,
x/T+T2
因为1一次<0,所以当Sin(c—w)k-1时,5=凤“1.
解析:本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数的几何意义、考查
运算求解能力、化归与转化思想、应用意识.
(1)通过公式可得曲线C的直角坐标方程,消参可得直线/的普通方程,利用直线参数方程的几何意
义即可求解.
(2)设点。的坐标为Q(2es,v/3sii^),根据点到直线的距离公式求得距离
d:恒小仁月+匕退,然后求得最大值.
2
14.答案:解:⑴・.•函数"%)=2sin(4x+0)(0<。<》的图象经过点(0,百),
・•・f(0)=2sin(0+0)=2sme=V3>sincp=号,又0<0<],故0=pf(%)=2sin(4x+g),
/(—)=2sin(4x—4--)=2sin—=2sin(67r4--)=2sin—=2x—=V3.
7k127'123,3'3)32
(2)・・•/©a—勺=|=2sinaf:.sina=1,
••,aG(\zr),cosa=—“一sin2a=——.
23
,:-|^)==2sbi(6~~)=-2cos£,:.cosp=一辞,
又夕是第三象限角,,sinfi=-Jl—cos?.=—彳萨,
:.cos(a—/?)=cosacosp+sinasinp=—雷•(―噜)+|•(―
.a..a,2V2
(3)在(2)的条件下,tanq=N-W=0组=±A=3+2VL
2cos-2stn-sma-
223
・•・Jtan]=A/3+2V2=V2+1.
解析:(1)利用函数/(X)=2sin(4x+0)(0<0<9的图象经过点(0,V5),求得3的值,从而利用诱
导公式求得/(等)的值.
(2)利用同角三角函数的基本关系求得a、夕的正弦、余弦值,利用两角和差的三角公式求得cos(a-£)
的值.
(3)利用二倍角公式求得tanm的值,可得加!的值.
本题主要考查诱导公式,同角三角函数的基本关系,两角和差的三角公式、二倍角公式的应用,属
于中档题.
15.答案:解:(l);/(x)=asin(2x-9+b(a>0),
二由2kn+1W2x—;W2kn+~(kGZ)得:
0+居WXW/OT+詈(kez),
该函数的单调递减区间为/OT+工4x4卜兀+詈(keZ),
由2x-J=k7T可得X=-+-(/cGZ),
326
函数f(x)的对称中心为(?+m,b);
No
(2)VXG[0,5(
•••--<2xsin(2x--)<1,
3332
又/(x)的最小值是-2,最大值是3,
V3,Q
业、nn-+------rb=Z
当Q>0时,2,
a+b=V3
a=2
b=V3-2'
vg(%)=acos2%+sinx+b,
:.(%)=2cos2%+sinx+遮一2=-2(sinx—;)+8+£,
•••xG[0,^],
•••sinx=:时,g{x}max=V3+i;
当a<0时,,一日。+。=8,
Q+Z?=—2
・•・/=-2,
U=o
g(x)=-2cos2%4-sinx=2(sinx+》一手,
•••XG[0,J
:•Sinx=1时,9(X)max~1.
解析:本题考查正弦函数的单调性与最值,考查方程思想与运算能力,属于中档题.
(1)依题意,利用正弦函数的单调性,解不等式组2"+三2%一牌2"+手(kez)即可求得函数
的单调递减区间,由2x-^=k兀可得x=f+m(kez),进而得出函数f(x)的对称中心:
•JZ6
(2)x6[0,J=>-^<2X-2<^=>-|<Sin(2x-^)<1,f(x)的最小值是一2,最大值是3,即可
求得实数”,〃的值,进而得出答案.
16.答案:解:a=(V3sin(?r+cox'),cosa)x)-b=(sin(|7T—wx),—cosatx'),>0.
•••/(%)=Q•b,
:./(%)=V3sin(7r+cox)sin(17r—cox)—cos2cox=y/3sina)xcosa)x—cos2eox=-^sin2a)x—
^cos2a)x—1=sin(2tox——1,
y=f(X)的最小正周期为T=83>0,
解得口=1,
f(x)=sin(2x-
由2/CTT-<2%-<2/CTT+三,kGZ.
26Z
可得:fc7T-7<X</C7T+
63
•••/(X)的单调递增区间为[E•-2,k兀+§,fcez.
(n);一;y,
5兀,r71/n
・•・-----<2x——<
666
:,-1工sin(2x-“)<1,
-1<sin(2x-7)-;<0,
ZOz
故得/(x)6[—1,0);即/(%)的值域为[—1,0).
(HI)V/(a)=0,
即sin(2a0,
62
•••sin(2a-^)=
v0<a<7T,
元,CTT,117T
—V2Q—<——,
666
c7T7T―u.57r
A2a——=一或——,
666
7T—p7T
・•・a=一或一.
62
解析:(I)根据向量的运算求出/(工)解析式,化简,根据最小正周期为凡求出3,结合三角函数的
性质求出/"(X)的单调增区间;
(H)当xe(一?引时,求出内层函数的范围,结合三角函数的性质,可得f(x)的值域;
(HI)由/(a)=0,进行化简,0<a</r,求出内层范围,即可确定角a的值.
本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.
17.答案:解:(1)方=(5遍cosx,cosx)花=(sinx,2cosx),
a-b=Sy/3cosxsinx+2cos2x,\b\2=sin2x+4cos2x
由函数f(%)=小,+|石
:,f(x)=5y/3cosxsinx+2cos2x+sin2%+4cos2x=SVScosxsinx+6cos2x+sin2%
5^31+cos2x5A/35COS2X7
=———sin2x+5-------------F1=---sirClx4-----------F-
22222
V317n7
=5(sin2x•—+cos2x•-)+2=5sin(2x+-)+-
所以,函数的周期7=段=兀;
由2x+g=kn+
oN
得:x=?理,kWZ
No
•••对称轴方程为:x=^+^,kez.
26
(2)由2/C7T+*W2.X4—W2/CTT+——j
262
得:kn-V-<x<kn+—,kEZ
63
所以函数的单调递减区间为[而+?卜兀+争,kez.
解析:(1)利用向量的坐标运算求解f(x)解析式,即可求解周期和对称轴方程;
(2)结合三角函数的图象及性质求解函数y=/(x)的单调递减区间.
本题主要考查向量坐标的运算和三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决
本题的关键.
18.答案:解:(1)由正弦定理,可得,
bcosC+y/3bsinC—a—c=0即为
sinBcosC+VSsinBsinC
=sinA+sinC
=sin(B+C)+sinC
=sinBcosC+cosBsinC+sinC,
即有遮s讥8—cosB=1,
即2弓sinB-
1
i
cosB)=1,
即有sin(B-
71
0
)=
1
i
f
由于0V8V7T,则有8—
n
0
n
Fl
则8=
n
i♦
(2)4+C=yr—B=
27r
则0<C<
27T
则a+c=bcosC+y/3bsinC
V3
cosC+3sinC
=2V3(
E
V3、
cosC+—sinC)
=2
7-r
6
-
%
由
于
7-r
6
一
<c+
7r一
6
-
<
5
7r
则
1
-
2
一
<sin(C4-
7T
0
)<1,
则a+c的取值范围是(b,2V31.
解析:本题考查正弦定理的运用,考查三角函数的化简和求值,考查两角和差的正弦公式,正弦函
数的图形和性质,考查运算能力,属于中档题.
(1)运用正弦定理,将边化为角,再由两角和差的正弦公式,化简整理即可得到角B;
(2)运用两角和的正弦公式,结合C的范围,由正弦函数的图象和性质即可得到范围.
19.答案:解:(I)由己知可得曲线G的参数方程为鲁需°,
2
消去参数。可得土+y2=1,
3J
•••曲线C2的极坐标方程为psin(e+》=4V2,
pcos0+psinO=8,即x+y=8;
(口)设P(遮cosasin0)为曲线J上的动点,
则点P与曲线Cz:x+y=8上点的距离d=血39曾也可=修轲")/,
v2V2
当sin(e+》=i即e=?时,d取最小值3包,此时p[A).
•SOZL
解析:本题考查极坐标方程和参数方程.
(I)先求得曲线C1的参数方程为靠0,消去参数。可得曲线C1的普通方程,由题可得曲线C2的
极坐标方程为pcos。+psine=8,由极坐标与直角坐标的关系即可得出;
(H)设P(6cos0,sin0)为曲线G上的动点,由点到直线的距离公式求出d,再求其最小值即可.
20.答案:解:(/)因为/(x)=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-》
所以/'舄兀)=2siny=V3.
(II)令2x-旨而+式k€2),得久=:+全
所以函数/(%)图象的对称轴方程是X=y+^(fcGZ).
解析:此题考查二倍角公式、辅助角公式和三角函数的对称轴方程,属于基础题.
(/)化简函数2CO.S2J-+1,为一个角的一个三角函数形式,然后求/(工)的值;
(U)利用(/)化简的函数的表达式,结合三角函数的对称轴方程,求函数/(x)图象的对称轴方程.
21.答案:解:因为当x=3耐,y=^=g<1;
当x=4〃时,y==1.
所以直线'=看在y轴右侧与曲线y=sinx有且只有3个交点(如图所示),
又由对称性可知,在),轴左侧也有3个交点,加上原点(0,0),一共有7个交点.
所以方程sinx=芯有7个根.
解析:
本题考查三角函数的图象与性质以及函数与方程的应用,属于中档题.
将问题转化为研究y=sinx和y=裔图象交点的个数,作出两个函数的图象,由图象观察得到答案.
22.答案:解:(1)C的直角坐标方程为:y2=4x,
将x=pcos&y=psin。代入/的极坐标方程得/的直角坐标方程为:x+2y+9-0.
(2)设P&s2,Vis),
则点P到直线/的距离d=史坦!”=%+2砂+5],
41+4V5
当s=—2夜时,距离最小,最小值为d=^=z,
所以点P到直线/的距离的最小值为行.
解析:
本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式,考查逻辑推理能力和运
算求解能力,属中档题.求解时注意
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