人教A版高中数学第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难) (50)(有解析)

第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难)(50)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.己知向量$=(coscox,a),n=(a,2+V3sina)x)，co>0,函数=m-n-5(aG/?,a0).

(1)当函数f(x)在xeR上的最大值为3时，求a的值；

(2)在(1)的条件下，若函数y=f(x)—1在(0,用上至少有5个零点，求3的最小值.

2.已知函数/'(x)=Asin^wx+(p)(x&R,A>0,a)>0,0<(p<》图象如图，P是图象的最高点，。

为图象与x轴的交点，O为原点，且网=2,两=冬OPOQ=1.

(1)求函数丫=/。)的解析式：

(II)将函数y=/(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象，当x€[0,2]时，求函

数九(%)=/(%)-g(%)的最大值.

3.已知函数/'(%)=sinx+1

(1)已知a,06(0,1),且sina=%cosp=求f(a+/?)的值;

(2)求函数y=/(%)-/©-％)的最大值.

4.已知函数/(%)=sin(7r-a)x)cosa)x+cos2a)x(a)>0)的最小正周期为江，

(1)求。的值；

(2)将函数y=/(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的5纵坐标不变，得到函数y=g(x)的

图像，求函数y=g(x)在区间［0,盘上的最小值.

5.已知向量五=(sinx,-1),b~(V3cosx,-,函数f(x)=(1+石).五一2.

(1)求函数/(%)的最小正周期T;

(2)已知/()=?,/()=嘿，ae(O(),£€(0(),求a-0.

x=-14,--1cosa,

加\(a是参数)，以原点为极点，x

__

[y=+sina

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)在曲线C上取一点直线0M绕原点。逆时针旋转成交曲线C于点N,求|OM|“ON|的

最大值.

7.己知函数f(%)=4sinxsin2(^+：)+cos2x.

⑴设3>0为常数，若y=/3c)在区间[-J；上是增函数，求出的取值范围；

⑵设集合4={x|^<x<y),B={x||/(x)-m|<2},若AcB,求实数〃?的取值范围.

8.已知集合M是满足下列性质的函数/(x)的全体：存在非零常数T,对任意X6R,有/Q+7)

T"(x)成立.

(1)函数/(x)=x是否属于集合M?说明理由；

(2)设函数fQ)=a，(a>0,且aR1)的图象与y=x的图象有公共点，证明：/(x)=标6M；

(3)若函数f(x)=sinkxeM,求实数上的取值范围.

9.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:5+《=l(a>d>0)的长轴长为4,P(1,|)为椭圆E上一点,

且七〃2为椭圆E上的两个动点.

(1)求椭圆E的标准方程：

(2)求R点到直线。P距离的最大值及取最大值时B的坐标；

(3)椭圆E上是否存在Pi，P2,使得直线OP与匕「2平行且直线PP1/P2斜率互为相反数？并说明

理由.

10.已知函数/'(%)=V3sin2x+sinxcosx——

(1)求函数y=f(x)在［0,§上的单调递增区间；

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移*个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2

倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数出,使得

gOo)>今

11.已知函数/'(x)=26sin(x+E)cos(x+9+sin2x+a的最大值为1.

(I)求常数。的值；

(n)求函数/(乃的单调递增区间；

(皿)若将f(x)的图象向左平移，个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间［0,§上的最大

值和最小值.当2%+零=半时，sin(2x+y)=-1,g(x)取最小值一3.

12.已知函数f(x)=cos2%—sin2x+sin2x

(1)求f(x)的最大值和最小正周期；

⑵设a,pG[0,5,%+)='，/(f+nr)=V2,求sin(a+£)的值.

卜=1+、，

13.在平面直角坐标系x0)，中，直线/的参数方程为｛2(t为参数)；以坐标原点。为极点,

(y=i+?t

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2=就法,设直线/交曲线。于A,

8两点，点尸的坐标为(1,1).

(1)求曲线C的直角坐标方程，直线/的普通方程，以及伊川•|PB|的值.

(2)设点Q(x,y)为曲线C上的一动点，求点Q到直线/的距离的最大值.

14.已知函数/(x)=2sin(4x+0)(O<。<夕的图象经过点(0,遮).

(1)求/管的值;

(2)若一6=|,ae<㈤,凭”驾)=甯；/?是第三象限角，求cos(a—n)的值;

(3)在(2)的条件下，求向|的值.

15.已知函数/'(x)=asin(2x-g)+b.

(1)若a>0,写出函数f(x)的单调递减区间和对称中心；

(2)设x€［。用，函数/'(X)的最小值为-2,最大值为遮，求函数g(x)=acos2%+sinx+b的最

大值.

16.已知五=(遮sin(7r+3x),cosa>x).b=(sin(|jr-a)x),—cosa)x'),3>0.设fQ)=五.B的最小正

周期为兀.

(I)求/(x)的单调增区间；

(n)当xe(/()时，求f(x)的值域；

(HI)求满足f(a)=0且0<a<兀的角a的值.

17.已知五=(5V5cosx,cosx),b=(s讥%,2cosx)，函数/(x)=W•b+|b产.

(1)求函数y=/(x)的周期和对称轴方程；

(2)求函数y=/Q)的单调递减区间.

18.在4ABe中，角力,B,C的对边分别是a,b,c,已知bcosC+遮bsinC—a—c=0.

(1)求角B的大小；

(2)若匕=b，求a+c的取值范围.

19.已知圆的参数方程为优二吃［0,2可,0为参数)，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的6

(y—sintj

倍，纵坐标不变得到曲线Cl；以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的

极坐标方程为psin(e+>=4V2.

(I)求曲线J的普通方程与曲线C2的直角坐标方程

(II)设尸为曲线C1上的动点，求点尸与曲线C2上点的距离的最小值，并求此时P点的坐标.

20.已知函数/'(x)=2-/3sinxcosx—2cos2x+1.

(/)求/⑨

(n)求函数八%)图象的对称轴方程.

21.判断方程sinx=2的根的个数.

y=1S2

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为一2'(s为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的

y=>/2s

正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos。+2psin。+9=0.

(1)求C和/的直角坐标方程；

(2)设P为曲线C上的动点，求点尸到直线/的距离的最小值.

23.己知函数/(X)=2y/3sinxcosx-cos2x

(I)求〃乃的最小正周期；

(口)求函数/(x)在区间［0,g］上的取值范围.

24.已知函数f(x)=a-•b~,其中a~=(2cosx,V5sin2x),b-*=(cosx,1)»x&R.

(1)求函数y=/(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)在44BC中，角4B,C所对的边分别是a,b,c,/'(4)=2,a=3,且sinB=2sinC,求44BC的

面积

25.已知向量五=(1,1),b=(sin(x+^),sin(x-^)),若函数/'(x)=五•3+cosx+a的最大值为L

(1)求常数a的值；

(2)求/(x)的单调递增区间.

x=cos2/

2《taug©为参数),以坐标原点。为极

{"1+tair<p

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为&pcos(e+9=1.

(1)求椭圆C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)设直线/与x轴，y轴的交点分别为A,8,点户在椭圆C上，求4PAB面积的最大值.

27.已知函数y=Asin(a)x+(p)(A>0,a)>0,\<p\<兀)的一段图象如图所示,

(1)求振幅A和周期T；

(2)求函数的解析式；

(3)求这个函数的单调递增区间.

28.如图，己知半圆0：/+产=i(y20)及点42,0),8为半圆周上任意一点，以AB为一边作等

边△力BM.设乙40B=。，其中0＜。＜兀.

(I)将边AB表示为。的函数;

(II)求四边形OAM8面积的最大值.

29.已知函数f(x)=sin4x+2-73sinxcosx—cos4x

(I)求/。)的最小正周期和最小值；

(II)讨论〃x)在区间［0,兀］上的单调递增区间.

30.［选修4-4：坐标系与参数方程］

在直角坐标系xOy中，曲线&的参数方程为［"=8c°sa,(a为参数)，以坐标原点为极点,

(y—sma,

.1,轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为psin(。+£)=2.

(1)写出G的普通方程和C2的直角坐标系方程；

(2)设点尸在G上，点。在上，求IPQI的最小值及此时P的直角坐标.

【答案与解析】

1.答案：（本题满分为12分）

解：（1）/（%）=m-n-5=acosa）x+\/3asina）x+2Q—5,...（1分）

=2asin（3%+》+2Q-5,…（3分）

由当sin（2a%+看）=1时y7ng=2+2Q—5=3,得Q=3...（6分）

（2）•・•由（1）可得：/（%）=6sin（3%+》+1,

・•・y=/（%）—1=6sin（a）x+-）,

6

,・,函数y=/（x）-1在％e（0,扪上至少有5个零点,

=IX—<7T,解得：0）>5,

.♦.3的最小值为5....（12分）

解析：（1）利用数量积化简函数，通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，通过最

大值求出。的值；

（2）由（1）可得y=f（x）-1=6sin（3x+0,要在xe（0,机上至少有5个零点只需在区间（0,加上出现

|个周期即可，进而求出3的值.

本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质的应

用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.

2.答案：（本题满分为12分）

解：（I）由已知可得得：cos/P°Q=点翡=壶=?，…Q分）

X2

sinZ.POQ=—»得P点坐标为（，1）,

52

HL-，

3=g....（5分）

由=sin《+"）=1可得8=p

y=/(x)的解析式为/(x)=sin(^x+)...(6分)

(II)根据函数、=Asin^x+。)的图象变换规律求得g(x)=sin",...(7分)

可得:h(x)=f(x)g(x)

nn7i

=sin(-x+-)sin-x

1.«71,y/3.HTC

=-sin2-xH——sin-xcos-%

23233

《27rL

l-cosq-xV327r

—4—+TsinTx

=|sin(yx-J)+[(10分)

当xe[0,2]时，与尤一a[一,争,

二当争Y=],即X=1时，/imaxQ)=*...(12分)

解析：(I)由平面向量数量积的运算得coszPOQ的值，可得sin/POQ,求出P的坐标可得4的值，

再由函数的周期求出3的值，再把点P的坐标代入函数解析式求出W，即可求得y=f(x)的解析式.

(U)求出g(x)的解析式，化简可得/i(x)=f(x)g(x)=：sin(gx-g)+：,再根据x的范围求出/i(x)的

N364

值域，从而求得九。)的最大值.

本题主要考查由函数y=Asin^x+。)的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin(a)x+。)的图象变

换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.

3.答案：解:(1)a,pe(0彳)，且sina=cosp=

2yf2.门通

:.cosa——»sinp=—2，

:.f(a+6)=sin(a+0)+1

=sinacos^+cosasinp4-1="6^~-

7T

(2)y=f(x)-/(--x)

=(sinx4-l)(cosx+1)

=sinxcosx+sinx+cosx+1

令t=sinx+cosx=V2sin(x+：)E[—&,&],

•••sinxcosx=

・・.y卡+£+%

3L

•*-Vmax=]+V2

解析：(1)首先，根据已知条件，得至kosa=誓，sin0=等，然后，根据两角和的正弦公式求解即

可；

(2)首先，化简函数解析式，然后，令1=sinx+cosx=&sin(x+3€[-&,&],转化成二次函数

问题的最值问题进行求解.

本题重点考查了三角公式、三角恒等变换、辅助角公式等知识，属于中档题.

4.答案:解：(1)函数f(%)=sin(7r—a)x)cosa)x+cos2a)x

1+cos2a)x

=sina)x-cosa)xH-----------------

2

111

=-sin2a)x4--cos2a)x+-

222

=¥sin(23x+9+13>0)的最小正周期为穿=n,

・•・3=1.

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的右纵坐标不变，

得到函数y=g(x)=乎sin(4x+：)+和图象.

[€[0，勺，4工+叱《勺,sin(4x+^)G[y,l]>

故当4x+g=2时，

44

f(x)取得最小值为1.

解析：(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得3的值.

(2)利用了=加%(3》+9)的图象变换规律求得9(为的解析式，再利用正弦函数的周期性、定义域和

值域求得函数g(x)在区间[0,看]上的最小值.

本题主要考查三角恒等变换，、=念讥(3X+尹)的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值

域，属于基础题.

5.答案：解：

(1)/(%)=(a4-K)-a—2=(sinx+\/3cosx,—|)•(sinx,—1)—2=sin2%+>/3sinxcosx—1=

/sin2x—i=sin2x—|cos2x=sin(2x-.)・・.(4分)

故函数/(%)的最小正周期T=TT,…(6分)

⑵由/弓)=寻/©)=甯得：sin(a_》=f,sin(°_》=誓

又a6(0,>0e(0,今aTe(一?》，G

•••cos(a一》=誓,cos(£一》=詈...(8分)

7171

•••cos(a-/?)=cos[(a--)-(/?--)]

7T7TITTT

=cos(a——)cosQ?——)+sin(a——)sin(/?——)

2V5VToVs3V10

=~rx^o+Tx~iT

=号…(10分)

•••«G(0,5,S€((),》•••a(一黑)

又

sin(a-go)<osin(°-g),

Aa</?

TT

a-pe(--,0)

•••a..=_:..(12分)

解析：（1）利用向量的数量积以及是，两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解周期;

（2）利用已知条件求出角的正弦函数余弦函数值，然后求解a-0即可.

本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力.

1,1

x=-4--cosa,「

加2]消去a得曲线C的普通方程为好+丫2一工X-在y=o.

（y=7+5=Sina,

所以C的极坐标方程为p=^sin0+[cos。，

即。=5也（。+三）.

6

(2)不妨设M(P1，8),N(P2，J+》，P1>0,p2>0,。6[0,2兀),

则|0M|•|0N|=p〃2=sin(0+7)-sin(e+7+7)=；sin(20+7)+7,

663264

当。屋时，|。河|・|。时取得最大值，最大值为*

解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题.

(1)消去a可得曲线C的普通方程，再转为极坐标方程即可；

(2)不妨设M(pi，。)，N(p2,8+»由极坐标的几何意义|OM|“ON|〜也化简，由正弦函数性质可

得|0M|•|0N|的最大值.

•曲羽.1一£5(万+/)

,口,I'.-'n.r---+C<JM2X=2sinjr(l+siikr)+1-2sin\r=2sinj-+1'

vy=/(a)x)=2sina)x+1在区间局等上是增函数，

7T27rr7T7T1

「才司二匹后卜

解得36(0,|];

(2)由|/(x)—m\<2可得一2<f(x)-mV2,

即/(%)—2<m</(%)+2,

vAQB,

7T,)7T

・,・当;7<N《一时，不等式/(%)-2<mV/(%)+2恒成立，

b3

・・・V。)-2]max<巾<[/(尤)+2]而n，

〃叽加=/1)=2,/")”皿=/点)=3,

・•・m6(1,4).

解析：本题考查了正弦函数的图象与性质，考查了二倍角公式与不等式恒成立问题.

(1)首先根据三角公式进行化简，然后根据正弦函数的性质得到关于3的不等式,解不等式可得答案；

(2)由不等式恒成立可得关于m的不等式，求出f(x)的最值即可.

8.答案：解：(1)对于非零常数7,

/(X+7)=x+T,T/(x)=Tx.

因为对任意x€R,x+T=Tx不能恒成立，

所以/(x)=xiMi

(2)因为函数f(x)=a\a>0且a*1)的图象与函数y=x的图象有公共点，

_X

有解，消去y得ax=x,

y-x

显然％=0不是方程户=%的解，所以存在非零常数7,使。丁=7\

于是对于f(%)=a*有/(x+7)=Q*+T=aT-ax=T-ax=T/(x)故/(%)=axEM；

(3)当k=0时，/(%)=0,显然f(%)=OEM.

当々WO时，因为f(%)=sink%EM,所以存在非零常数7,

对任意％GR,有/(久+T)=7/(%)成立，

即sin(k%+kT)=Tsinkx.

因为/cHO,且所以kxWR,kx+kTER,

于是sink%6[—1,1],sin(kx+kT)6[—1,1],

故要使sin(/cx+kT)=Tsinkx.成立，

只有7=±1,当T=1时，sin(/cx+k)=sink%成立，

则k=2mn,mEZ.

当T=-1时，sin(fcx-k)=-sink%成立，

即sin(kx-fc+TT)=sin依成立，

则一/c+7T=2mn,mEZ,即/c=45—(2m—l)7r,m6Z.

综合得，实数人的取值范围是伙生=抽兀,抽€2}.

解析：本题考查对函数新定义的理解，考查元素与集合的关系，函数的零点和方程的关系、正弦函

数的性质的应用，属中档题.

(1)将/(久)=%代入定义。+T)=T/(%)验证知函数/(%)=久不属于集合M；

(2)由题意存在％ER使得a%=x,由新定义知存在非零常数7使得M=7,将函数关系式代入

/(%+7)=7/(X)验证知，/(x)=axEM；

(3)若函数/(%)=sinkxGM,依据定义应该有sin(/c%+kT)=TsinkxE[-1,1]对任意实数都成立，

故T=±1,将T=±1代入sin(/c%+kT)=Tsin/cr求k的范围即可.

9.答案：解：(I)：2a=4,.・.£!=2,P(l,|)为椭圆E上一点，

则；+杀=1,

44bz

解得接=3,

.•椭圆E的标准方程为：-+^=1;

43

(2)二0P直线方程为：3x-2y=0.

设P|(2cosa.gsiun)(()《c<2万)，

则Pi到直线0P的距离

|(icu«a—卜gsi'a-

•「()&aV2?r,

二当。=誓或0=半时，dmax~

此时P1(-低多或Pi(火，一泉.

(3)若存在P1，P2，使得直线0P与P1P2平行且直线PP1与PP2的斜率互为相反数，

则的也=号，设。2(孙先)，

设直线PiPz：y=|x4-n,

fy=|x+n

由〈22=3/+3建工+九2—3=0,

二+匕=1

(43

需满足4=36-3n2>0,则必<12,

贝卜1+犯=一九%1%2=

kpp]+kpp2=0,

33

・・•—+组=0，

xt-lX2-l

T

(|x1+n-1)(x2-l)+(1x2+i-1)(x1-l)_0

(Xl-l)(X2-l)-'

解得n=0,即直线AP2与直线OP重合，显然直线PP1与PP2的斜率互为相反数不成立，

所以椭圆E上是不存在匕〃2,使得直线0P与P1P2平行且直线PPi，PP2斜率互为相反数.

解析：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查

推理论证能力、运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题.

(1)根据题意求。，代入尸点求6,确定方程；

(2)借助点到直线的距离公式以及三角函数性质求最值；

(3)联立直线P1P2与椭圆方程，借助韦达定理整理kp%+加％=°，解出直线的方程，进而得到

结论.

10.答案：W：(l)/(x)=V3sin2x+sinxcosx—^=V3x1c<^2x+^sin2x—=|sin2x—

Ycos2x=sin(2x—柒；

因为2/CTTS2xS2忆兀+g,k?r一卷wxW卜兀+居，k&Z,

所以函数y=/(x)在［。币上的单调递增区间为［0,净；

(2)将函数向左平移?个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到

函数y=g(x)=sinx,g(%o)>当即sinx>当，

所以2卜兀+—<X<2/CTTd~~k€Z,

则(2/OT+9-(2/OT+；)=g>1,所以对任意的整数/都存在&e(2"+或2而+争，kez,

即存在无穷多个互不相同的整数尤0,使得g(&)>当.

解析：(1)化简三角函数式，利用正弦函数的单调性求单调区间；

(2)利用三角函数图象的变换规律得到函数y=g(x),然后证明.

本题看错了三角函数的化简以及三角函数的性质、图象变换；属于中档题.

11.答案：解:(I)•.,函数/(%)=2V3sin(x+9cos(%+：)+sin2x+a=y/3cos2x4-sin2x+a=

2sin(2x+§+QW2+Q=1,

Aa=—1.

(11)令2时一牌2%+江2/£兀+akEz,求得而一,+故函数f(x)的单调递增区

间为［k兀一工,卜兀+勺，k&z,

(HI).•・将/。)的图象向左平移，个单位，得到函数g(x)的图象，

-g(x)=f(x+?)=2sin［2(x+g)+m-1=2sin(2x+等一1.

当xe［0,堂时，2x+与eg,净，故当2%+等=§时，函数/(乃取得最大值为6一1,

当2x+等=学时，函数〃x)取得最小值为-2-1=-3.

解析：(I)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数/(x)=2sin(2x+^+a<2+a=l,

可得Q=—1.

(口)令2时*42%+上kwz,求得x的范围，可得函数/(%)的单调递增区间.

(HI)根据函数y=Asin(a)x+@)的图象变换规律，可得g(%)=2sin(2x+y)-1.再根据％E[。,J

利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值.

本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=4s出(5：+3)的图象变换规律，正弦函数

的单调性、定义域、值域，属于基础题.

12.答案：解：(1)・・,/(%)=cos2%-sin2%+sin2x=cos2x+sin2x

=^2(^COS2X+/s讥2%)=V2sin(2x4-?)...(3分)

由振幅的意义可得，函数/(%)的最大值为/...(4分)

最小正周期T=§=7T…(5分)

(2)f(q+)=V2sin(2(|+》+：)=V2sin(a+)=y[2cosa=当

cosa=—»又因为aW[0,曰，・,,sina=渔…(8分)

同理可得/(§+兀)=V2sin(2(^+兀)+》=V2sin(j3+?=/，…(9分)

又因为6e[o,J.••/?+(e覃争，解得夕=>.("分)

sin(a+0)=sin(a+^)=sinacos+cosasin=停:"…(12分)

解析：(1)由三角函数的运算可得/Q)=«sin(2x+9，易得最值和周期；

(2)由题意可得cosa=票进而可得sina=乎，同理可得6=1,进而可得sin(a+°)=sin(a+»

代入数值计算即可.

本题考查三角函数的化简和求值，涉及函数的周期和最值的求解，属中档题.

13.答案：解：(1)由曲线C的极坐标方程为p2=就诏，可化为3p2ol2,

由,J=r2+/y=/Jbin0，代入上式方程可得3(/+y2)+y2=12,

化简可得式+日=1.

43

(X=1+^t,

将直线%(t为参数)消去参数得6x—y+l-遍=0,

!7=1+食

将直线/的参数方程42代入土+匕=1,

y=i+*43

并整理得竽12+(3+4V3)t-5=0,

易知点尸的坐标为(1,1)在直线/上，

设方程的两根为直线/与曲线C的两个交点A,B对应的参数t2,

(2)可设点Q的坐标为Q(2eus尸&sin.),

因此点Q到直线/的距离可表示为

.12-禽疝卜/+1—1vzTKsin(。一⑼+1—廿百、

a=------------------/“-----------=------------------------•具甲tann=2,

x/T+T2

因为1一次<0,所以当Sin(c—w)k-1时，5=凤“1.

解析：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数的几何意义、考查

运算求解能力、化归与转化思想、应用意识.

(1)通过公式可得曲线C的直角坐标方程，消参可得直线/的普通方程，利用直线参数方程的几何意

义即可求解.

(2)设点。的坐标为Q(2es，v/3sii^),根据点到直线的距离公式求得距离

d:恒小仁月+匕退,然后求得最大值.

2

14.答案：解：⑴・.•函数"%)=2sin(4x+0)(0<。<》的图象经过点(0,百)，

・•・f(0)=2sin(0+0)=2sme=V3>sincp=号，又0<0<］，故0=pf(%)=2sin(4x+g),

/(—)=2sin(4x—4--)=2sin—=2sin(67r4--)=2sin—=2x—=V3.

7k127'123，3'3)32

(2)・・•/©a—勺=|=2sinaf:.sina=1,

••,aG(\zr),cosa=—“一sin2a=——.

23

,:-|^)==2sbi(6~~)=-2cos£,:.cosp=一辞,

又夕是第三象限角，，sinfi=-Jl—cos?.=—彳萨，

:.cos(a—/?)=cosacosp+sinasinp=—雷•(―噜)+|•(―

.a..a,2V2

(3)在(2)的条件下，tanq=N-W=0组=±A=3+2VL

2cos-2stn-sma-

223

・•・Jtan]=A/3+2V2=V2+1.

解析：(1)利用函数/(X)=2sin(4x+0)(0<0<9的图象经过点(0,V5),求得3的值，从而利用诱

导公式求得/(等)的值.

(2)利用同角三角函数的基本关系求得a、夕的正弦、余弦值，利用两角和差的三角公式求得cos(a-£)

的值.

(3)利用二倍角公式求得tanm的值，可得加!的值.

本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属

于中档题.

15.答案：解：(l)；/(x)=asin(2x-9+b(a>0),

二由2kn+1W2x—；W2kn+~(kGZ)得：

0+居WXW/OT+詈(kez),

该函数的单调递减区间为/OT+工4x4卜兀+詈(keZ),

由2x-J=k7T可得X=-+-(/cGZ),

326

函数f(x)的对称中心为(?+m,b)；

No

(2)VXG[0,5(

•••--<2xsin(2x--)<1,

3332

又/(x)的最小值是-2,最大值是3,

V3,Q

业、nn-+------rb=­Z

当Q>0时，2,

a+b=V3

a=2

b=V3-2'

vg(%)=acos2%+sinx+b,

:.(%)=2cos2%+sinx+遮一2=-2(sinx—；)+8+£，

•••xG[0,^],

•••sinx=:时,g{x}max=V3+i；

当a<0时，，一日。+。=8，

Q+Z?=—2

・•・/=-2,

U=o

g(x)=-2cos2%4-sinx=2(sinx+》一手，

•••XG[0,J

：•Sinx=1时，9(X)max~1.

解析：本题考查正弦函数的单调性与最值，考查方程思想与运算能力，属于中档题.

(1)依题意，利用正弦函数的单调性，解不等式组2"+三2%一牌2"+手(kez)即可求得函数

的单调递减区间，由2x-^=k兀可得x=f+m(kez),进而得出函数f(x)的对称中心：

•JZ6

(2)x6[0,J=>-^<2X-2<^=>-|<Sin(2x-^)<1,f(x)的最小值是一2,最大值是3,即可

求得实数”，〃的值，进而得出答案.

16.答案：解：a=(V3sin(?r+cox'),cosa)x)-b=(sin(|7T—wx),—cosatx'),>0.

•••/(%)=Q•b，

:./(%)=V3sin(7r+cox)sin(17r—cox)—cos2cox=y/3sina)xcosa)x—cos2eox=-^sin2a)x—

^cos2a)x—1=sin(2tox——1,

y=f(X)的最小正周期为T=83>0,

解得口=1,

f(x)=sin(2x-

由2/CTT-<2%-<2/CTT+三,kGZ.

26Z

可得：fc7T-7<X</C7T+

63

•••/(X)的单调递增区间为［E•-2，k兀+§,fcez.

(n);一;y,

5兀，r71/n

・•・-----<2x——<

666

:,-1工sin(2x-“)<1，

-1<sin(2x-7)-;<0,

ZOz

故得/(x)6［—1,0);即/(%)的值域为［—1,0).

(HI)V/(a)=0,

即sin(2a0,

62

•••sin(2a-^)=

v0<a<7T,

元,CTT,117T

—V2Q—<——,

666

c7T7T―u.57r

A2a——=一或——，

666

7T—p7T

・•・a=一或一.

62

解析：(I)根据向量的运算求出/(工)解析式，化简，根据最小正周期为凡求出3,结合三角函数的

性质求出/"(X)的单调增区间；

(H)当xe(一?引时，求出内层函数的范围，结合三角函数的性质，可得f(x)的值域；

(HI)由/(a)=0,进行化简，0<a</r,求出内层范围，即可确定角a的值.

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.

17.答案：解：(1)方=(5遍cosx,cosx)花=(sinx,2cosx)，

a-b=Sy/3cosxsinx+2cos2x,\b\2=sin2x+4cos2x

由函数f(%)=小,+|石

：,f(x)=5y/3cosxsinx+2cos2x+sin2%+4cos2x=SVScosxsinx+6cos2x+sin2%

5^31+cos2x5A/35COS2X7

=———sin2x+5-------------F1=---sirClx4-----------F-

22222

V317n7

=5(sin2x•—+cos2x•-)+2=5sin(2x+-)+-

所以，函数的周期7=段=兀;

由2x+g=kn+

oN

得：x=?理,kWZ

No

•••对称轴方程为：x=^+^,kez.

26

(2)由2/C7T+*W2.X4—W2/CTT+——j

262

得：kn-V-<x<kn+—,kEZ

63

所以函数的单调递减区间为［而+?卜兀+争,kez.

解析：(1)利用向量的坐标运算求解f(x)解析式，即可求解周期和对称轴方程；

(2)结合三角函数的图象及性质求解函数y=/(x)的单调递减区间.

本题主要考查向量坐标的运算和三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决

本题的关键.

18.答案：解：(1)由正弦定理，可得，

bcosC+y/3bsinC—a—c=0即为

sinBcosC+VSsinBsinC

=sinA+sinC

=sin(B+C)+sinC

=sinBcosC+cosBsinC+sinC,

即有遮s讥8—cosB=1,

即2弓sinB-

1

i

cosB)=1,

即有sin(B-

71

0

)=

1

i

f

由于0V8V7T,则有8—

n

0

n

Fl

则8=

n

i♦

(2)4+C=yr—B=

27r

则0<C<

27T

则a+c=bcosC+y/3bsinC

V3

cosC+3sinC

=2V3(

E

V3、

cosC+—sinC)

=2

7-r

6

-

%

由

于

7-r

6

一

<c+

7r一

6

-

<

5

7r

则

1

-

2

一

<sin(C4-

7T

0

)<1，

则a+c的取值范围是(b,2V31.

解析：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查两角和差的正弦公式，正弦函

数的图形和性质，考查运算能力，属于中档题.

(1)运用正弦定理，将边化为角，再由两角和差的正弦公式，化简整理即可得到角B；

(2)运用两角和的正弦公式，结合C的范围，由正弦函数的图象和性质即可得到范围.

19.答案：解：(I)由己知可得曲线G的参数方程为鲁需°,

2

消去参数。可得土+y2=1,

3J

•••曲线C2的极坐标方程为psin(e+》=4V2,

pcos0+psinO=8,即x+y=8；

(口)设P(遮cosasin0)为曲线J上的动点，

则点P与曲线Cz：x+y=8上点的距离d=血39曾也可=修轲")/,

v2V2

当sin(e+》=i即e=?时，d取最小值3包，此时p[A).

•SOZL

解析：本题考查极坐标方程和参数方程.

(I)先求得曲线C1的参数方程为靠0,消去参数。可得曲线C1的普通方程，由题可得曲线C2的

极坐标方程为pcos。+psine=8,由极坐标与直角坐标的关系即可得出；

(H)设P(6cos0,sin0)为曲线G上的动点，由点到直线的距离公式求出d,再求其最小值即可.

20.答案：解：(/)因为/(x)=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-》

所以/'舄兀)=2siny=V3.

(II)令2x-旨而+式k€2),得久=:+全

所以函数/(%)图象的对称轴方程是X=y+^(fcGZ).

解析：此题考查二倍角公式、辅助角公式和三角函数的对称轴方程，属于基础题.

(/)化简函数2CO.S2J-+1,为一个角的一个三角函数形式，然后求/(工)的值;

(U)利用(/)化简的函数的表达式，结合三角函数的对称轴方程，求函数/(x)图象的对称轴方程.

21.答案：解：因为当x=3耐，y=^=g<1；

当x=4〃时，y==1.

所以直线'=看在y轴右侧与曲线y=sinx有且只有3个交点(如图所示)，

又由对称性可知，在)，轴左侧也有3个交点，加上原点(0,0),一共有7个交点.

所以方程sinx=芯有7个根.

解析：

本题考查三角函数的图象与性质以及函数与方程的应用，属于中档题.

将问题转化为研究y=sinx和y=裔图象交点的个数，作出两个函数的图象，由图象观察得到答案.

22.答案：解：(1)C的直角坐标方程为：y2=4x,

将x=pcos&y=psin。代入/的极坐标方程得/的直角坐标方程为：x+2y+9-0.

(2)设P&s2,Vis),

则点P到直线/的距离d=史坦!”=%+2砂+5],

41+4V5

当s=—2夜时，距离最小，最小值为d=^=z，

所以点P到直线/的距离的最小值为行.

解析：

本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运

算求解能力，属中档题.求解时注意