全等三角形的七大模型综合训练(二)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型综合训练（二）1．如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作与点．(1)如图1，若点是中点，求证：①；②．(2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论；(3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论．2．如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F．(1)求证：．(2)若，请直接写出的度数．(3)过点A作于点H，求证：．3．在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）：(1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中；③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________．感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．4．在直角三角形中，，直线过点．(1)当时，①如图1，分别过点和作直线于点，直线于点．求证：；②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于，连接．求证：．(2)当cm，cm时，如图3，点与点关于直线对称，连接、．点从点出发，以每秒1cm的速度沿路径运动，终点为，点以每秒3cm的速度沿路径运动，终点为，分别过点、作直线于点，直线于点，点、同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，求的值．5．在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．6．如图、等腰中，，E点为射线上一动点，连接，作且．(1)如图1，过F点作交于G点，则与的数量关系是_____________．(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；(3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值．7．问题提出，如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系；(2)再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.问题拓展(3)如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，则___________（用含m，n的式子表示）8．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且．(1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系；(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；(3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求．9．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：．10．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)如图1，当点在线段上，且时，那么________度；(2)设，．①如图2，当点D在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整；写出此时与之间的数量关系，并说明理由．全等三角形的七大模型综合训练（二）1．如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作与点．(1)如图1，若点是中点，求证：①；②．(2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论；(3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论．答案:(1)①见解析；②见解析(2)成立，见解析(3)成立，见解析分析：（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论；（2）仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论；（3）结论仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论．【详解】（1）证明：如图①∵为等边三角形，∴，又为中点，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，∴为等腰三角形，∵，∴．（2）仍然成立，理由如下：如图，过点D作DM//BC交AC于M∵为等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，为等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，而，∴．（3）的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图．作交的延长线于，易证为等边三角形，，，而，∴，∵，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F．(1)求证：．(2)若，请直接写出的度数．(3)过点A作于点H，求证：．答案:(1)见解析(2)50°(3)见解析分析：(1)根据SAS可证得；（2）由，可得，故，即可得出的度数；（3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论．【详解】（1）证明：∵．∴．在和中，，∴．（2）∵，∴，∴．∴，∵，∴．故答案为：50°．（3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J．∵，∴，，∵，．∴，∴．在和中，，∴，∴．在和中，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键．3．在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）：(1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中；③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________．感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．答案:(1)(2)；(3)证明见解析．分析：（1）先判断出，进而得出，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论；（2）由（1）知，，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；（3）如图2，过作于延长交于证明可得再证明即可得出结论．解析：（1）解：如图1，延长到Q，使得，连接，∵是的中线，∴，在和中，∴，∴，在中，∴，即，∴，（2），理由是：由（1）知，，∴，∴（3）理由：如图2，过作于延长交于∵是的中线，则∵∴∴∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴∴相交所成的角为直角，即综上：【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．4．在直角三角形中，，直线过点．(1)当时，①如图1，分别过点和作直线于点，直线于点．求证：；②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于，连接．求证：．(2)当cm，cm时，如图3，点与点关于直线对称，连接、．点从点出发，以每秒1cm的速度沿路径运动，终点为，点以每秒3cm的速度沿路径运动，终点为，分别过点、作直线于点，直线于点，点、同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，求的值．答案:(1)①见解析；②见解析；(2)3.5或5或6.5分析：（1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可；②根据对称的性质得到，根据全等得到，，结合线段的和差可得结论；（2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可．【详解】（1）解：①证明：，，直线，，，在和中，，；②证明：点与点关于直线对称，，，，，，；（2）由题意得，cm，由（1）得，，，当时，，当点沿路径运动时，，解得，，不合题意，当点沿路径运动时，，解得，，当点沿路径运动时，，解得，，当点沿路径运动时，，解得，，综上所述，当或5或6.5时，．【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．答案:(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)，证明见解析分析：（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论；（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．【详解】（1）解：结论：．理由：如图1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，．故答案为：；（2）解：仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，；（3）解：结论：．理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，即，．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．6．如图、等腰中，，E点为射线上一动点，连接，作且．(1)如图1，过F点作交于G点，则与的数量关系是_____________．(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；(3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值．答案:(1)(2)见解析(3)分析：（1）根据同角的余角相等得到，证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）过点F作于D，证明，得到，进而求出，证明结论；（3）过点F作交的延长线于H，由（1）（2）可知，，根据全等三角形的性质计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故答案为：；（2）证明：如图2，过点F作于D，∵，∴，由（1）可知，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，即E点为中点；（3）解：如图3，过点F作交的延长线于H，∵，，∴，由（1）（2）可知，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．7．问题提出，如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系；(2)再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.问题拓展(3)如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，则___________（用含m，n的式子表示）答案:(1)；(2)见解析；(3)．分析：（1）如图2，由，得易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；（2）成立，如图，将绕点C旋转交于点M，得求得，结合（1）易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接可知，得，，结合（1）易证得、，结合易证得，利用等量代换即可求解．【详解】（1）解：如图2，在和中，，，，和是等边三角形，，即，，，，又，，，，即，，即；（2）成立，如图，将绕点C旋转交于点M，，，，由（1）可知，，，又，，，，又，是等边三角形，，，即；（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接，，，，，，由（1）可知，，，又，，，又，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质；解题的关键是做辅助线构造全等．8．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且．(1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系；(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；(3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求．答案:(1)见解析，；(2)见解析．(3)或．分析：（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；（2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题；（3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题．【详解】（1）证明：如图1，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；（2）证明：（2）如图2，过F点作于D点，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴＝2，∴＝，∵∴＝，∴E点为中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3，∵，，∴，由（1）（2）知：，∴，∴，∴，设，则∴，

当点E在线段BC上时，∵，，∴，由（1）（2）知：，∴，∴，∴，设，则∴．综上所述：或．【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．9．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：．答案:（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）或或分析：（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；（2）如图2，同理可得：；（3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：；如图4，作辅助线，同理证明和，可得新结论；【详解】解：（1）如图1，延长到G