高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)1.2集合间的关系(精讲)(原卷版+解析)

1.2集合间的关系（精讲）考点一集合间的关系【例1-1】(2023·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【例1-2】(2023·陕西）设集合，，则（

）A． B．C． D．集合与元素关系：属于不属于集合与元素关系：属于不属于集合与集合的关系：包含、不包含、真包含温馨提示【一隅三反】1．(2023·全国·高一）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（

）A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④2(2023·甘肃张掖·高一期末）（多选）下列关系式错误的是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高一期末）（多选）若集合，，则A与B之间最适合的关系是（

）A． B．C． D．考点二空集【例2-1】(2023·全国·高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．，且C． D．【例2-2】(2023·北京市）若集合，则实数a的取值范围______．【一隅三反】1．(2023·浙江）下列集合是空集的是（

）A．或 B．C． D．2．(2023·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D．设集合，那么，若，则3．(2023·全国·高一课时练习）已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是____.考点三集合的（真）子集个数【例3-1】(2023·河南）集合的非空真子集的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【例3-2】(2023·内蒙古赤峰）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【一隅三反】1．(2023·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是()A．7 B．8 C．16 D．42．(2023·江西·高一阶段练习）设集合，且，则满足条件的集合的个数为（

）A． B． C． D．3．(2023·河北衡水）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5考点四集合相等【例4】(2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）．A．，B．，C．，D．，【一隅三反】1．(2023·江西新余·高一期末）下列集合与集合相等的是()A．(1,2022) B．C． D．{(2023,1)}2．(2023·江苏）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}3．(2023·全国·高一）下列各组两个集合和表示同一集合的是（

）A． B．C． D．考点五已知集合关系求参数【例5-1】(2023·江苏）已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．【例5-2】(2023·山西太原）若集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·宁夏·银川一中）已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（

）A． B． C． D．2．(2023·北京密云）已知集合，且，则可以是（

）A． B． C． D．3．(2023·北京工业大学）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是（

）A． B． C． D．4.(2023·江苏·高一）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______.1.2集合间的关系（精讲）考点一集合间的关系【例1-1】(2023·广西桂林）已知集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．答案:D解析：因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：D.【例1-2】(2023·陕西）设集合，，则（

）A． B．C． D．答案:A解析：由且，即，而，所以为的子集，则.故选：A集合与元素关系：属于不属于集合与元素关系：属于不属于集合与集合的关系：包含、不包含、真包含温馨提示【一隅三反】1．(2023·全国·高一）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（

）A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④答案:D解析：对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D2(2023·甘肃张掖·高一期末）（多选）下列关系式错误的是（

）A． B． C． D．答案:AC解析：A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；B选项根据子集的定义可知正确；C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；D选项是整数集，所以正确.故选：AC.3．(2023·全国·高一期末）（多选）若集合，，则A与B之间最适合的关系是（

）A． B．C． D．答案:D解析：依题意，集合的元素是的倍数，集合的元素是的倍数，所以集合是集合的真子集.故选：D考点二空集【例2-1】(2023·全国·高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．，且C． D．答案:B解析：A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素．故选：B．【例2-2】(2023·北京市）若集合，则实数a的取值范围______．答案:解析：故无解则故答案为：【一隅三反】1．(2023·浙江）下列集合是空集的是（

）A．或 B．C． D．答案:D解析：A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集；对D，因为，所以不存在实数，使得，所以.故选：D2．(2023·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D．设集合，那么，若，则答案:D解析：A选项，空集是其本身的子集，A错；B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.故选：D.3．(2023·全国·高一课时练习）已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是____.答案:m≥1解析：∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案为m≥1考点三集合的（真）子集个数【例3-1】(2023·河南）集合的非空真子集的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8答案:B解析：由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.故选：B.【例3-2】(2023·内蒙古赤峰）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:D解析：因为集合的所有非空真子集为：，所以有，故选：D【一隅三反】1．(2023·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是()A．7 B．8 C．16 D．4答案:A解析：，集合含有3个元素，真子集的个数是，故选A.2．(2023·江西·高一阶段练习）设集合，且，则满足条件的集合的个数为（

）A． B． C． D．答案:B解析：因为，由题意可知，集合为的子集，则满足条件的集合的个数为.故选：B.3．(2023·河北衡水）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案:C解析：由知．又，则集合．又，则满足条件的集合C可以为，，，，共4个，故选：C．考点四集合相等【例4】(2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）．A．，B．，C．，D．，答案:B解析：选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．故选：B【一隅三反】1．(2023·江西新余·高一期末）下列集合与集合相等的是()A．(1,2022) B．C． D．{(2023,1)}答案:C解析：(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符；集合的元素是点，与集合A不相等，B不符；，故C符合题意；集合{(2023,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符题意.故选：C.2．(2023·江苏）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}答案:C解析：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C3．(2023·全国·高一）下列各组两个集合和表示同一集合的是（

）A． B．C． D．答案:C解析：A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故；B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故；C选项中因为，则集合，故；D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故．故选：C．考点五已知集合关系求参数【例5-1】(2023·江苏）已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．答案:C解析：因为，所以，解得，或，解得，当时，，，，满足题意.当时，，不满足集合的互异性.当时，，，若，满足题意.当时，，，若，满足题意.故选：C.【例5-2】(2023·山西太原）若集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案:A解析：因为，所以，所以或，所以或，当时，不成立，所以，所以满足，当时，因为，所以，又因为，所以，所以，当时，因为，所以，又因为，所以，所以，综上可知：.故选：A.【一隅三反】1．(2023·宁夏·银川一中）已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（

）A． B． C． D．答案:C解析：由于，所以，所以实数m的取值集合为.故选：C2．(2023·北京密云）已知集合，且，则可以是（

）A． B． C． D．答案:A解析：因为，又，所以任取，则，所以可能为，A对，又，，∴