初中数学余弦综合强化练习2

初中数学余弦综合强化练习2

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一、单选题

1.在用ZXABC中，/C=90°,若AC=6,BC=8,则cosA的值为（）

2.在RrAABC中，AC=4,BC=3,则cosA的值等于（）

3n出„477425/7

AA.-B.—C.一或:一D.一或二一

545457

3.三角函数sin30。、cos16%cos43。之间的大小关系是（）

A.cos43°>cos16°>sin30°B.cos16°>sin300>cos43°

C.cos160>cos43°>sin30°D.cos43°>sin300>cos16°

4.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连

接BD,若cosZBDC=1,则BC的长是（）

5.在AMC中，NC=90。，A8=6,cosA=g,则AC等于（）

A.3B.2C.yD.-

6.如果放AABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是

（）

A.都扩大为原来的3倍B,都缩小为原来的;

C.没有变化D.不能确定

7.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos/B的值为（）

B.也C.立D.迫

223

8.在RfAABC中，NC=90。，a、b、c分别是乙4、/B、NC的对边，贝U()

..a二Aa厂.b一„a

A.siaA="B.cosA=—C.sinB="D.tan8=一

bccb

二、填空题

9.如图，在R/AABC中，ZACB=90,。是斜边A8的中点，DELAC,垂足为E,

若DE=2,CD=4l3,则cosNCBE的值为

10.在Rr/ABC中，ZB=90°,AB=5,BC=12,则ssC=

2

11.在RtzxABC中，ZC=90°,AB=6,cosB=§,则BC的长为

12.在AABC中，ZC=90°,tanB=-,则cosA等于

3

13.如图，在向AABC,NC=90。，AC=6,BC=8,。是8C的中点，点E在边AB

上，将ABDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点8'处，线段9。交边A8

于点尸，联结4",当AAB'F是直角三角形时，BE的长为

14.如图1,邻边长为2和6的矩形分割成①，②，③，④四块后，拼接成如图2不

重叠、无缝隙的正方形ABC。，则图2中cos”的值为,图1中EF的长为

图2

15.如图，在菱形ABC。中，ZBAD=\20°,8c交8c的延长线于点£连结

4E交8。于点F,交CD于点G.FHLCD于点、H,连结CF.贝ljcos/CFH的值为

三、解答题

17.如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别是A(0,2),8(2,4),

C(4』).

(1)将AABC向左平移4个单位长度后得到AABC，请画出48©;

(2)以点。为位似中心，在》轴的左侧画出AABC的位似图形△ASK2,使△A/K?与

的位似比为1:2；

(3)请直接写出cosZOAC的值.

18.已知：如图，R/AABC中，NACB=90。，C£>_LAB于。点，AB=4,BC=3.求:

sinNAOcosNAC。、tanZACD.

19.如图，在AABC中，BC上的一点。在边A8的垂直平分线上，AB-=BDBC.

(1)求证：ZB=ZC；

(2)如果45=2厢，BC=IO,求cos/ADC的值.

20.如图，帖是以AC为直径的的切线，切点为点A,过点A作ABL0P,垂足

为点。，交OO于点B.

(1)求证：PB是。。的切线;

3

(2)若48=6,cosZPAB=-,求P0的长.

5S/

21.如图，在AABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，cosNC：；；；,求甘班

12

22.已知AABC的一边AC为关于x的一元二次方程/+,如+4=0的两个正整数解之

一，且另两边长为3c=4,43=6,求cosA的值.

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

首先利用勾股定理求得AB的长，然后利用余弦的定义即可求解.

【详解】

解：在RfzlABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,

'AB=y)AC2+BC2=^62+82=10>

.AC63

贝nIJcosA==——=—.

AB105

故选:A.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦

为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

2.C

【解析】

【分析】

分两种情况：①AB为斜边；②AC为斜边，根据勾股定理求出AB长，然后根据余弦定义即

可求解.

【详解】

由题意，存在两种情况：

①当AB为斜边时，ZC=90°,

'：AC=4,BC=3,

AB=yjAC2+BC2=>/42+32=5,

AB5

②当AC为斜边时，NB=90。,

VAC=4,BC=3,

・•・VAC2-BC2=A/42-32=币，

.AABx/7

..cosA=----=——,

AC4

答案第1页，共19页

综上，c3A的值等于士或也，

54

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义，并注意分类

讨论是解答本题的关键.

3.C

【解析】

【详解】

试题解析：•.,sin30ci=cos60。，

又16。<43。<60。，余弦值随着角的增大而减小，

cos16°>cos43°>sin300.

故选C.

4.D

【解析】

【分析】

设CD=5x,BD=7x,则BC=2"x,由垂直平分线的性质可得BD=AD,可得AC=12x,

由AC=12即可求x,进而求出BC；

【详解】

VZC=90°,cosZBDC=-,

7

设CD=5x,BD=7x,

•*.BC=276x,

VAB的垂直平分线EF交AC于点D,

；.AD=BD=7x,

AC=12x,

VAC=12,

Ax=l,

；.BC=26；

故选D.

答案第2页，共19页

【点睛】

本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的

性质是解题的关键.

5.B

【解析】

【分析】

直接根据余弦定义求解即可.

【详解】

解：♦.•△ABC中，ZC=90°,AB=6,cosA=1,

.,AC1

・・cosA=-----=—,

AB3

：.AC=-AB=2.

3

故选B.

B

【点睛】

在心△ABC中，若/C=90。，则/A的正弦等于/A的对边比斜边,/A的余弦等于/A

的邻边比斜边，/A的正切等于/A的对边比邻边.

6.C

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答.

【详解】

三角形各边长度都扩大为原来的3倍，

.•.得到的三角形与原三角形相似，

二锐角A的大小不变，

二锐角A的正弦、余弦值不变，

答案第3页，共19页

故选：c.

【点睛】

三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化.

7.B

【解析】

【分析】

作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45。角的cos值即

可得出答案.

【详解】

____

三二范

1.一丁1一

作AD垂直BC的延长线于点D

则△ABD为等腰直角三角形，ZB=45°

cos/B=

2

故答案选择B.

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值.

8.C

【解析】

【分析】

根据RtzkABC中，cosB,tanB,sinA的定义，进行判断.

【详解】

'.,RsABC中，sinA=—,cosA=—,sinB=—,tanB=—,

ccca

.•.选项C正确，选项A、B^D错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义.关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及其变形.

答案第4页，共19页

4

9.-##0.8

5

【解析】

【分析】

先求解CD=BD=AD=V13,AB=2>/13,再证明CE=AE,利用勾股定理求解CE,BC,BE,

再利用余弦的定义可得答案.

【详解】

解：=90,。是斜边A8的中点，CD=历,

：.CD=BD=AD=V13,AB=2疽

•••DEVAC,DE=2

22

：.CE=>JCD-DE=3>

：△CAO是等腰三角形，DELAC,

AE=CE=3,AC=6,

在RIAABC中，BC=JBA?-AC?=4,

在RfVBCE中，BE=yjBC2+CE2=5,

BC4

...cos/CBE=—=-.

BE5

4

故答案为：—.

【点睛】

本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，求

角的余弦，熟练的运用勾股定理求值是解题的关键.

10.乜

13

【解析】

【分析】

根据余弦的定义进行解答

【详解】

在RtAABC中，AC=JAB?+BC?=45?+1=13，

答案第5页，共19页

【点睛】

本题考查三角函数的定义，余弦值=角的邻边与斜边之比.

11.4

【解析】

【分析】

根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.

【详解】

VZC=90°,AB=6,

•R2BC

3AB

:.BC=—AB=4.

3

【点睛】

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的

NA的对边ZA的邻边

关键.在RSABC中，sin4=cosA=

斜边斜边NA的邻边

⑵噂

【解析】

【分析】

根据已知条件设8=3a=3k,根据勾股定理求出c,再利用余弦定义求解即可;

【详解】

在AABC中，ZC=90°,

答案第6页，共19页

*.*tanB=—=—,

a3

•,.设b=Z,a=3k,根据勾股定理，得c=J1+9%=，

则8sA=高二*

故答案为亚

10

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义即勾股定理，准确计算是解题的关键.

13.2或与

【解析】

【分析】

分两种情况讨论，当NAEB'=9()。时，则NBFO=90。，利用锐角三角函数先求解〃尸,

BF,B'F,设再表示B'E,EF,再利用勾股定理求解x即可得到答案；当

ZA8N=90°时，如图，连接AO,过E作于〃，先证明：RsADC%AADB',再

证明NADE=90。，设8£=5x,利用DB的锐角三角函数可得EH=3,BH=4x,DH=4-4x,

AE=10-5x,利用勾股定理求解x可得答案.

【详解】

解：-.-AC=6,BC=8,ZC=90°,

.'.AB=10,

•••。是BC的中点,

:.BD=CD=B'D=4,

当ZAFB'=90。时，则4BFD=90°，

./nAC3DF

•：sinNB=-----=—=-----

AB5DB

D“F=—12f

5

2

...BF=

・・.BT=4--=-,

55

答案第7页，共19页

A

B'

CD，3

6

设3E=x,则8'E=x,EF=BF-x=-~5~X，

■■-x!=©-

x=2,

即：BE=2.

当NAB'R=90°时，如图，连接AO,过E作EHLBD于H,

同理可得：CD=BD=B'D=4,

AD=AD,NC=90°,

/.Rt^ADC^^ADS(HL)

.-.ZADC=ZADB,,

■.ZBDE^ZB'DE,

ZADB'+NB'DE=90°=ZADE,

设BE=5x,

由而人生、=空，

AB5BE

EH=3x,BH=4x,

/.DH=4-4xf

DE2=(3x『+(4-4x)2,

AE2=(10-5x)2,

AD2=62+42=52,

r.(10-5x)2=52+(3x)2+R_旬2,

8

/.x=—,

答案第8页，共19页

A

当NB'A产=90。，不合题意，舍去.

综上：8E的长为2或得40.

故答案为：2或得40.

【点睛】

本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握

以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论.

14.巫6-3近

3

【解析】

【分析】

由等积法解得正方形的边长，再利用勾股定理解得图④的直角边尸〃的长，在图2中，利

用正弦的定义解得sin/Q9C=期=*,接着利用勾股定理解得QC=",QO=3>/^,据

此解得cosa的值，最后利用EF=6-〃Q-尸”解答即可.

【详解】

解：矩形的面积为：2x6=12

，正方形的边长DC=y/v2=2^3

如图I,

答案第9页，共19页

H

7XI

G

图］

FG=2\/3

QHG=2

2222

•1•FH=4FG-HG=7（273）-2=2V2

如图2,

.-.sinZ//DC=-==

DC2+3

QsinZ0DC=—=—

DQ3

设。C=7LMQ=3X

QC2+DC2=DQ?

3x2+12=9x2

：.x=6.或乂=-近（舍去）

QC=#3=3&

...c°sa=/=彩=昱

QD3&3

答案第10页，共19页

HQ=DQ-DH=3yli-DH=3®-FH=3叵-2叵=五

EF=6-42-FH=6-yf2-2y/2=6-3y/2

故答案为：乎，6-3夜.

【点睛】

本题考查正方形与矩形、图形的拼接，涉及勾股定理、正弦、余弦等知识，是重要考点,

掌握相关知识是解题关键.

15.叵

7

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可得"=AD，ABHCD,ADUCB,则有NCDE=30。，设

Al)=CD=BC=m,贝U有CE=gw=f,然后根据勾股定理及三角函数解答即可.

【详解】

解：•••四边形48CQ是菱形，

：.AB=AD,AB//CD,AD//CB,

^AD=CD=BC=mf设CEl,

VZBAD=120°,

・♦・ZABC=60°,

・•・ZDCE=60°,

・：DEtBC,

：.ZCDE=30°,

/.CE=—m=t,

2

RtACDE中，CD=2t=AD,DE=8,

RtASOE中，BD=2DE=2向,

­.­AD//BE,

.DFAFAD2

"~BF~~EF~~BE~3'

DF=-BD=—t,

55

答案第11页，共19页

在RtADFH中，FH=-DF=-t,DH=\lDF2-FH2=-/,

255

4

Z.CH=CD-DH=-t,

/.在RtACFH中，CF=siFH2+CH2=,

2x/3

•"一丁［⑨

•・cos/CFH=---=—产一=----

FC2>/77

~5~

故答案为：叵.

7

【点睛】

此题考查菱形的性质、勾股定理及三角函数，关键是根据菱形的性质和三角函数解答.

【解析】

【分析】

根据余弦的定义解答即可.

【详解】

AC5

解：在RsABC中，cos4=---=一,

AB13

故答案为：—.

【点睛】

此题考查解直角三角形，正确掌握三角函数的计算公式是解题的关键.

17.(1)作图见解析

(2)作图见解析

⑶*

【解析】

【分析】

(1)先根据平移的性质得到点A，5,G的坐标，然后在坐标系中描点，再顺次连接即可

得；

(2)先根据位似图形的性质分别求出点的坐标，然后在坐标系中描点并顺次连接

即可得;

答案第12页，共19页

(3)如图，先根据点坐标求出A。=1,8=4,再利用勾股定理求出AC的长，然后根据

余弦三角函数的定义即可得.

(1)

解：由题意得，A(-4,2)，g(-2,4)，G(0,l),在坐标系中描点，然后顺次连接，如图，

△A8c即为所作.

⑵

解：由题意得：A2(0,-；x2),B2,gx2,-gx4),cj-gx4,-；xl

即A,(0,—1),B2(—1,—2),C2(—2,——),

如图，2c2即为所作.

(3)

解:如图，•.•A(0,2),C(4,l),0(0,1),

AD=1,CD=4,

:.AC^\l12+42

答案第13页，共19页

An

则cosNOAC=—

ACV1717

【点睛】

本题考查平移作图、画位似图形、余弦，勾股定理，熟练掌握余弦三角函数的定义、位似

图形以及平移作图的方法是解题关键.

18.sinNACD=互,cosZACD=~,tanNACD=旦.

443

【解析】

【分析】

先得到NB=NACD,根据勾股定理可以求得AC的长度，即可求得即/AC。的三角函

数值.

【详解】

解：VCD1AB,NACB=90。，

NB+NBCD=/AC£>+NBC£>=90。，

,NB=NACD,

RdABC中，AB=4,SC=3,

AC=JAB、BC2=不，

sinZACD=sinB=,

AB4

Be3

cosZACD=cosB=----=—,

AB4

tanZAC£>=tanB=.

BC3

【点睛】

本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，考查了勾股定理的运用，本题中求AC的长

答案第14页，共19页

是解题的关键.

19.(1)见解析；(2)cosZADC=-

4

【解析】

【分析】

(1)由A32=8ZXBC,得出空=空，可证得八4囱>-2\804,进而证得N3A£)=NC,

BDAB

再根据线段垂直平分线的性质可推得NB4/1=NB,根据等量代换即可解得；

(2)作DELAB于E,由A/7垂直平分BC,求出8E=AE=W，BH=CH=5,由勾

股定理求出AH,设£>"=x,则B£)=A£)=5—x,再由勾股定理求出AD,然后由三角函

数定义即可得出结果.

【详解】

解：(1)证：AB?=BD-BC,

ABBC

…说一益’

又NB=NB,

:.AABD^ABCA,

:.NBAD=NC,

又DE是AB的垂直平分线，

/.AD=BD，

:.ABAD=ZB,

;.NB=NC.

:.BE=AE=M,BH=CH=5,

在RtA4B”中，AH=>lAB2-BH-=«2回丫-5?=V15

在RIAAD”中，^DH=x,则3£>=AO=5-x

答案第15页，共19页

X2+15=(5-X)2

x=\

.\AD=4

cos乙ADC=—.

4

【点睛】

本题考查了相似三角形的判断和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角函数的

定义，难度不大，正确做出辅助线是解题的关键.

20.⑴见解析；

艰

【解析】

【分析】

(1)连接08,证明△以。丝△PBO(SAS),由全等三角形的性质得出/PB0=/%0=

90°,则可得出结论；

3

(2)利用AAOB是等腰三角形，ABA.OP,48=6,cosNPA8=1求出以=5,由勾股定

理求出PD=4,由锐角三角函数的定义可求出答案.

(1)

证明：如图，连接02,

是以AC为直径的。。的切线，切点为A,

ZB4O=90°,

'：OA=OB,

二△AOB是等腰三角形

'：AB±OP,

：.ZPOA=ZPOB,

在4^0和4P80中,

答案第16页，共19页

AO=BO

-ZPOA=NPOB

OP=OP

:.△PAgXPBO(SAS),

NPBO=N附。=90°,

J.OBYPB,

•；OB是O。的半径

是。。的切线;

⑵

解：•••△AOB是等腰三角形，ABLOP,AB=6,

.'.DA=DB=3,ZPDA=ZPDB=90°,

V