2021届高三数学“小题速练”含答案解析04

2021届高三数学“小题速练”4

答案解析

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.)

L己知集合A={x[y=ln(x-l)},5=-x-2<0^,则人口3=()

A.|x|x>-l|B.{即<%42}c.|x|l<x<21D.|x|x>21

【答案】B

【解析】vA={A|X>1},B={x|-l<x<2},/.AnjB={x|l<x<2}.

故选:B.

2.在复平面内，复数z=i对应的点为Z,将向量0讶绕原点。按逆时针方向旋转?，所得向量对应的复数是

6

()

口6.「1百.口石1.

D.-----1--IL.-------1U.-------1

222222

【答案】A

【解析】•.•复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),

••.oz=(o.1),将反绕原点。逆时针旋转2得到而,

设加=3，b),a<0,b>0,则应•砺=8=|西幽cos^=苧，即。=乎，

又/+〃=],解得：〃=_2.力=且，.方=对应复数为一工+立人

22(22)22

故选：A.

3.已知向量£是单位向量，石=(3,4),且二〃)，则卜-2q=()

A.11B.9C.11或9D.121或81

【答案】C

【解析】由题意，因为:〃力，则两向量的夹角为。或n,

4.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、

礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一-位，且“智信”相邻的概率为()

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

【答案】A

【解析】“仁义礼智信”排成一排，任意排有用种排法，其中“仁'’排在第一位，且“智信”相邻的排法有种排

431

法,故概率P=一中=一

Aio

故选：A

5.已知直线a,匕与平面a,/?,且。〃0,b_La,则aJ■尸是a///?()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】在a〃。力时，则a_Lc,

若。，尸，则有a//4或au£,不充分，

若a///?,设过。作一平面与夕相交于直线。，则a//c,从而c_La,所以尸，a,必要性成立,

因此就在是必要不充分条件.

故选：B.

6.若函数/（》）=］由工+¥3%在［2①句上单调递增，则a的最大值为（）

Ar八54八77r13乃

A.3冗B.---C.---D.---

236

【答案】D

711jr7T7T

【解析】由题意可得/（x）=sinx+一，令一一<x+-<2k7V+-,keZ

k3J232

57r7t741341

得2k兀一」£x£2k兀+—,k&Z,令Z=l,得——4x4——，所以。的最大值为

66666

故选：D

7.已知。为等腰直角三角形POO的直角顶点，以0P为旋转轴旋转一周得到几何体T,CO是底面圆。上

的弦，△COD为等边三角形，则异面直线0C与所成角的余弦值为（）

A.1B.巫C.无D.也

4442

【答案】B

【解析】设OP=r,过点。作OC的平行线，与CO平行的半径交于点E,

则OE=OC=CD=OD=r，PC=PD-，

所以NPDE为异面直线。。与PO所成的角，

r

在三角形POE中，PE=PD=E，DE=r，所以cosNPDE=2=也'

后4

故选：B.

8.已知函数g(x),〃(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g(x)+〃(x)=e'+sinx-x,若函数

/(力=3卜-2网一沏(》_2020)-2%有唯一零点，则实数％的值为()

A.一1或上B.1或-LC.一1或2D.-2或1

22

【答案】A

【解析】2^1g(x)+〃(x)=e*+sinx-x,①

且g"),分别是R上的偶函数和奇函数,

则g(—x)+〃(—x)=e-*+sin(—x)+x,

得：g(x)-〃(x)=0-*—sinx+x,②

①+②得：g(x)=《|",

由于1x—2020|关于x=2020对称,

贝l]3Q2020I关于*=2020对称，

g(x)为偶函数，关于y轴对称，

则g(X-2020)关于X=2020对称,

由于/(x)=3k-202Q_2g(x-2020)-2%有唯一零点，

则必有,”2020)=0,g(O)=l,

即：/(2020)=3°-/lg(0)-2A2=l-A-2/l2=0,

解得：2=—1或一.

2

故选：A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不

重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法正确的是()

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

【答案】ABC

【解析】该市总有900・6%=15000户低收入家庭，A正确;

在该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800户，B正确;

在该市失无业人员中，低收入家庭有158X)x29%=4350户，C正确；

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600户，D错误.

故选:ABC.

10.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当了<0时，/(x)=e'(x+l),则下列命题正确的是()

A.当x>0时，/(x)=—e7(x-l)

B.函数/(x)有3个零点

C./(力<0的解集为(—,一1)5。,1)

D.YxgGR,都有七)一/(々)|<2

【答案】BCD

【解析】(1)当x〉0时，一刀<0,则由题意得"一"=""(-%+1),

V函数/(X)是奇函数，

f(0)=0,且x>0时，f(x)=—f(—x)——e'(―x+1)=c'(x—1),A错；

e'(%+l),x<0

A/(%)=-0,x=0,

e-v(x-l),x>0

(2)当x<0时，由/(x)=e*(x+l)=0得x=-l,

当龙>()时，由/(%)=0-*(%—1)=0得％=1,

函数/(%)有3个零点一1,0』，B对；

(3)当x<0时，由/(X)=e"(x+1)<0得x<—1,

当尤>0时、由/(%)=0-*(%—1)<0得0cx<1,

，〃x)<0的解集为C对;

(4)当％<0时，由/(x)=e*(x+l)得/'(x)=e'(x+2),

由/'(x)=e*(x+2)<。得》<—2,由/'(x)=e*(x+2)N。得一2«x<0,

函数/(x)在(-8,-2］上单调递减，在［-2,0)上单调递增，

函数在(-00,0)上有最小值〃-2)=-"2,且〃x)=e'(x+l)<e°-(O+l)=l,

又•••当x<0时，/(x)=e'(x+l)=0时》=—1,函数在(y),0)上只有一个零点，

...当x<0时，函数“X)的值域为［―eEi),

由奇函数的图象关于原点对称得函数/(x)在R的值域为eFl)=(-1,1),

对\/公々€K，都有|/(百)一/(々)|<2,D对；

故选：BCD.

11•.已知圆方程为：(x-l)?+(>—1>=4与直线x+〃?y-?n-2=0,下列选项正确的是()

A.直线与圆必相交B.直线与圆不一定相交

C.直线与圆相交且所截最短弦长为2GD.直线与圆可以相切

【答案】AC

【解析】由题意，圆(x—l>+(y—1)2=4的圆心。(1,1),半径r=2，

直线x+my—机-2=0变形得%—2+机(丁一1)=0,得直线过定点A(2,l),

：|CA|=^(2-1)2+(1-1)2=1<2，

，直线与圆必相交，故A对，B、D错;

由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值,

此时弦长为2小产=2百，故C对;

故选：AC.

12.对于定义城为R的函数〃x),若满足：①/(0)=0；②当xeR,且无。0时，都有矿(x)>0；③

当再<0<々且1玉1<"|时，都有/(王)</(工2)，则称“X)为"偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”

的是()

A.(X)=-Xi4"X2,B.%(x)=e'-x-l

ln(-x+l),x<0

c.力(X)=D.力(x)=xsinx

2x,x>0

【答案】BC

【解析】经验证，力(x),/式x)，力(x)，力(x)都满足条件①;

x>0x<0

矿(x)>00<

ru)>oyv)<o:

当X]<0<々且1%1<1%21时，等价于一々<X,<0<-x,<x2,

即条件②等价于函数/(x)在区间(一刃,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增;

A中，,/[(x)=-x3+x2,/J,(X)=-3X2+2X,则当xo0时，由里，(%)=-3/+2%2=/(2-3x)«0,

2

得九不符合条件②，故工(x)不是“偏对称函数”；

x

B中，,力(x)=e，-x-l,f2\x)=e,当x>()时，e*>l，人'(%)>。，当尤<0时,0<e*<l，

£'(x)<0,则当x/0时，都有虎'(x)>0,符合条件②，

•••函数力(x)=e、-x-l在(―8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增,

由J；(x)单调性知，当一々<西<0<-芯时，力(%)<力(一元2)，

x

.•.人(8)-右。2)〈人(-々)-人(%)=-e-++2X2,

令F(x)=-ex+e~x+2x,x>0,F'(x)=-ex-ex+2<-2Je*.e"+2=0,

当且仅当"=e"即X=0时，"=”成立，

.(x)在［0,+8)上是减函数，.•.尸(芍)〈尸(0)=0,即6(%)<八(%),符合条件③，

故人(幻是“偏对称函数”；

°ln(-x+l),x<01…八八

C中，由函数力(幻=<V7,当天<0时，f.\x)=——<0,当x>0时，力'(x)=2>0,

2x,x>0x-1

符合条件②，

...函数力(X)在(9,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

有单调性知，当一马<再<。<一西时，力(百)<八(一%2)，

设尸(x)=ln(x+l)-2x,x>0,则户(x)=J-—2<0,

x+\

F(x)在(0,+8)上是减函数，可得F(x)<F(0)=0,

，/(内)~f(x2)<f(-x2)-f(x2)=In(£+1)-/(w)=F(A2)<0,

即/(%)</(%2)，符合条件③，故人(%)是“偏对称函数”；

D中,力（x）=xsinx,则,力（一）=一双11（一力=,%00，则力（幻是偶函数，

而力'（x）=sinx+xcosx=Jl+炉sin（x+0）（tane=x）,则根据三角函数的性质可知，当x＞（）时，

UW的符号有正有负，不符合条件②，故人（x）不是“偏对称函数”；

故选：BC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派

方案种数为.（用数字作答）

【答案】14

【解析】

法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，

故不同的选派方案种数为CI2*C34+C22*C24=2X4+1x6=14；

法二：从4男2女中选4人共有C，6种选法，4名都是男生的选法有C，4种，

故至少有1名女生的选派方案种数为C46-C44=15-l=14.

故答案为14

14点A（2,0）,C（2,2）,\AP\=\AB-AC\,0为坐标原点，则而与砺的夹角的取值范围

是.

花

【答案】0,-

_6_

【解析】因为B（l,2）,C（2,2）,所以而=（一1,0）,

所以|AP|=|AB-AC|=|CB|=1.

所以点P的轨迹是以A（2,0）为圆心，1为半径的圆，

如图:

由图可知，当OP与圆相切时，ZPOA最大，也就是丽与丽夹角最大，

此时OPLQ4,OA=2,PA=\,所以NPQ4=」TT，

6

兀

所以0P与。4夹角的取值范围是o>—.

_o

-n

故答案为：0.~.

_6_

15.(尤2+》+田5