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文档简介
专题07导数的应用(专题过关)
考试时间:120分钟满分:150分
一、选择题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.(2019・全国能考真题(理))已知曲线丫=役'+》11在点(1j)处的切线方程为产2》+。,
则
A.a=e,b=-\B.a=e,h=\C.a=e"',b=\D.a=e~',b=-\
【答案】D
【分析】
通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得。,将点的坐标代入直线方程,求得6.
【详解】
详解:y'=aex+\nx+\,
k=y'\x^=ae+\=2,:.a=e~'
将(1,1)代入y=2x+匕得2+%=l,b=T,故选D.
【点睛】
本题关键得到含有a,b的等式,利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.
2.(2021•吉林•长春市第二十九中学高三阶段练习(文))己知函数的导函数为了'(X),
且满足关系式/(力=』+3矿(2)+",则/'⑵的值等于
222
A.-2B.---2C.--D.---2
222
【答案】D
【分析】
求得函数的导数,然后令x=2,求得/(2)的值.
【详解】
依题意〃x)=2x+3/(2)+e"令-2得八2)=4+3〃2)+乙-2,故选D.
【点睛】
本小题在导数运算,考查运算求解能力,属于基础题.
3.(2017•浙江•高考真题)函数y=/(x)的导函数y=〃(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)
的图象可能是
【详解】
原函数先减再增,再减再增,且x=0位于增区间内,因此选D.
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与x轴的交点为方,
且图象在与两侧附近连续分布于x轴上下方,则与为原函数单调性的拐点,运用导数知识来
讨论函数单调性时,由导函数尸(x)的正负,得出原函数/“)的单调区间.
4.(2022•全国•高三专题练习)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,
则导函数丫=「(x)的图象可能是()
【分析】
根据原函数的单调性,判断导数的正负,由此确定正确选项.
【详解】
根据/(X)的图像可知,函数从左到右,单调区间是:增、减、增、减,也即导数从左到右,
是:正、负、正、负.结合选项可知,只有A选项符合,故本题选A.
【点睛】
本小题主要考查导数与单调性的关系,考查数形结合的思想方法,属于基础题.
5.(2021•全国•高二单元测试)已知,(x)=当,则/(x)
e
A.在(-=»,y)上单调递增B.在(F,1)上单调递减
C.有极大值3?,无极小值D.有极小值39,无极大值
ee
【答案】C
【分析】
求出导函数/(X),根据导函数的正负,导函数的零点判断各选项.
【详解】
由题意((%)=叫工,当X<1时,f'M>0,/(X)递增,X>1时,f'(x)<0,f(x)递减,
e
/⑴是函数的极大值,也是最大值/⑴=三3,函数无极小值.
e
故选:C.
6.(2021•全国•高三专题练习)若/(xo)=-3,则]im"%+")=/(A「3/7)等于()
/J->Oh
A.13B.—6
C.-9D.-12
【答案】D
【分析】
由于/(xo)=]"(*。+词-〃*。)=-3,而1皿/仇+/?)一"/一”)的形态与导数的定义
AxfoArmh
形态不一样,故需要对lim/(/+“)一-3/?)转化成
hiOh
lim〃/+“)-〃々)+/(/)-八%-3〃)
/>->oh
利川Hm/I%+力)-/(与)+.,(%)-/(/-3。=
力->0h
lim(X。)+31im/(*0-3切-/(%)
/TOh/TO-3A
即可求解.
【详解】
/(灿)=limI-,人私甘匕鱼网
4v->oA丫/»->Oh.
一%/("。+")一/(/)+/(/)一/(/一3〃)
-nm-----------------------------------
/?-»oh
=HmJ〃x。+〃)-/(/)+3.—〃)-"%)-
Xh-3h
3/tx
=lim*x。+,)-〃为)+3.lim/U-)-/(o)
/TOh力TO-3/t
=f(xo)+3f(xo)=4f(xo)=-l2.
答案:D
【点睛】
本题主要考察导数的定义和极限的运算,本题的难点在于要把极限化成导数定义的形态,需
要对分式进行合理变形.属于中等题.
7.(2008•湖北•高考真题(理))若£a)=-3炉+r11。+2)在(-1,+8)上是减函数,则人的取
值范围是
A.[-1,+oo]B.(-1,+oo)C.(-oo,-1JD.(-oo,-1)
【答案】C
【详解】
b
由题意可知/'*)=-》+总5<0,在xw(-l,+<»)上恒成立,即匕<x(x+2)在X€(-1,+00)上
恒成立,由于XH-1,所以64-1,故C为正确答案.
8.(2020•全国•高二课时练习)已知函数/。)=(》-3)靖+4(2所》-犬+1)在(1,+00)上有两个极
值点,且f(x)在(1,2)上单调递增,则实数”的取值范围是
A.(e,+oo)B.(e,2e2)
C.(2e2,+oo)D.(e,2e2)U(2e2,+oo)
【答案】C
【分析】
求得函数的导数/'(x)=(x-2)•(士@),根据函数/(X)在(1,”)上有两个极值点,转化为
X
xe、-a=0在(1,m)上有不等于2的解,令g(x)=M,利用奥数求得函数的单调性,得到
a>g(1)=e且a#g(2)=2/,又由fM在(1,2)上单调递增,得到f\x)20在(1,2)上恒成立,
进而得到a2叱在(1,2)上恒成立,借助函数g(x)=xe、在(1,e)为单调递增函数,求得
«>g(2)=2e2,即可得到答案.
【详解】
由题意,函数/(》)=(X-3)6*+。(2111》-》+1),
可得f'(x)=,+(x-3)e*+“(2—1)=(x-2)(e*-巴)=(x-2)•(^^),
XXX
乂由函数/(X)在(1,钟)上有两个极值点,
贝ijr(x)=0,即(X_2)•(叱二@)=0在(1,E)上有两解,
X
即x/-a=O在在(1,也)上有不等于2的解,
令g(x)=xex,则短(x)=(x+l)e*>0,(x>1),
所以函数g(x)=Ae、在(1,抬)为单调递增函数,
所以a>g⑴=6且"8⑵=源,
又由/(x)在(1,2)上单调递增,则/'(x)20在(1,2)上恒成立,
即(》一2).(空二0)20在(1,2)上恒成立,即坨*一°40在。,2)上恒成立,
X
即a*xe*在(1,2)上恒成立,
又由函数g(x)=^'在(1,—)为单调递增函数,所以a>g(2)=2e。
综上所述,可得实数。的取值范围是a>2e?,QP«e(2<?2,+oo),故选C.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算
能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线
在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;
(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的
应用.
二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
9.(2021•福建省将乐县第一中学高二阶段练习)函数/(x)的定义域为凡它的导函数
y=7'(x)的部分图象如图所示,则下面结论正确的是()
A.在(1,2)上函数“X)为增函数B.在(3,5)上函数〃x)为增函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x=3是函数/(x)在区间[1,5]上的极小值
点
【答案】AC
【分析】
根据图象判断出的单调区间、极值(点).
【详解】
由图象可知f(x)在区间(1,2)和(4,5)上)(x)>0,f(x)递增;在区间(2,4)h/(x)<o,
/(x)递减.
所以A选项正确,B选项错误.
在区间(,3)上,f(x)有极大值为〃2),C选项正确.
在区间[1,5]上,x=4是f(x)的极小值点,D选项错误.
故选:AC
10.(2021•福建省漳州第一中学高二阶段练习)已知函数f(x)=xln(l+x),则()
A./*)在。+<⑼单调递增
B./⑴有两个零点
C.曲线y=f(x)在点(一!,/卜£|)处切线的斜率为T—ln2
D./(x)是偶函数
【答案】AC
【分析】
根据函数的定义域可判断D,利用函数的导数的正负可判断A,利用导数的几何意义可判断
C,根据函数值的情况及零点定义可判断B.
【详解】
由/(x)=xln(l+x)知函数的定义域为(-1,+00),
X
,m=ln(l+x)+T-)
Y
当xe(0,+oo)时,ln(l+x)>0,---->0,/.f\x)>0,
l+x
故Ax)在(0,+8)单调递增,A正确;
由/(0)=0,当一1VXV0时,ln(l+X)<0,/(x)=xln(l+x)>。,
当加(l+x)>0J*)>0,所以八幻只有0一个零点,B错误;
令X=-;,/'(-;)=In;-1=-In2-1,故曲线y=“X)在点卜;J处切线的斜率为
—1-In21C正确;
由函数的定义域为(T,KO),不关于原点对称知,f(x)不是偶函数,D错误.
故选:AC
【点睛】
关键点点睛:解决本题时,利用函数的导数判断函数的增减性,利用导数的几何意义求切线
的斜率,属于中档题.
11.(2021•江苏•高二单元测试)定义在R上的可导函数y=/(x)的导函数的图象如图所示,
以下结论正确的是()
"W'(x)
A.-3是/(x)的一个极小值点;
B.-2和-1都是/(x)的极大值点;
C.“X)的单调递增区间是(-3,钙);
D.“X)的单调递减区间是(f,-3).
【答案】ACD
【分析】
由导函数与单调性、极值的关系判断.
【详解】
当x<-3时,f'{x)<0,》€(-3,+=0)时/'(%)20,
•••-3是极小值点,无极大值点,增区间是(-3,内),减区间是(fo,-3).
故选:ACD.
【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值的关系,一定要注意极值点两侧导数的符号相反.
12.(2021•福建•福清西山学校高三期中)意大利画家列奥纳多・达・芬奇(1452.4—1519.5)
的画作《抱银貂的女人》中,女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与
光泽,达・芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,项链所形成的曲线
是什么?这就是著名的“悬链线问题”,后人给出了悬链线的函数解析式:/(%)=«cosh-,
a
其中〃为悬链线系数,coshA称为双曲余弦函数,其函数表达式为coshx=咨匚,相应地
双曲正弦函数的表达式为sinhx=三匚.若直线x=/n与双曲余弦函数Cl与双曲正弦函数
Cz的图象分别相交于点A,B,曲线G在点A处的切线(与曲线C2在点8处的切线2相交
于点P,则下列结论正确的为()
A.cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy
B.y=sinlircoshx是偶函数
C.(coslny=sinh¥
D.若△办8是以A为直角顶点的直角三角形,则实数m=0
【答案】ACD
【分析】
根据函数的定义代入验证判断A,求出y=sinhxcoshx的表达式后由奇偶性定义可判断B,
对函数求导判断C,由y=coshx在A点的导数值为0求得加值判断D.
【详解】
「e'+e-"e'+eTe'-e-1e'-e-ye"+6一中卜、.
coshxcoshuy-sinhxsinhy=—---------------------—=-----------=cosh(x-y),AA止T确T(r;
2_v—lx2x—2x—2x2A-
y=sinh.rcosh.r=---------,i己/z(x)=---------以,则h(-x)=-----=-/?(%),力(x)为奇函
444
数,即y=sinlircoshA-是奇函数,B错误;
(e/=e,B|J(coshr),=sinhx,C正确;
对于D,因为轴,因此若△F8是以A为直角顶点的直角三角形,则浮八=0,由
kpA=-----------=0解得m=0
2
D正确.
故选:ACD.
【点睛】
思路点睛:本题考查新定义函数,考查新定义函数的性质.解题方法是正确理解新定义函数,
然后根据奇偶性,求导法则,导数的儿何意义等知识求解.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.(2018•全国•高考真题(理))曲线y=(or+l)ex在点(0,1)处的切线的斜率为一2,则
【答案】-3
【分析】
求导,利用导数的几何意义计算即可.
【详解】
解:y'=aex+[ax+\)ex
则f'(O)=a+l=_2
所以“=—3
故答案为-3.
【点睛】
本题主要考查导数的计算和导数的几何意义,属于基础题.
14.(2018•全国•高考真题(理))曲线y=21n(x+l)在点(0,0)处的切线方程为.
【答案】y=2x
【分析】
先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率,最后根据点斜式求切线方程.
【详解】
22
•/y,=------k=--------=2y=2x
x+10+1
【点睛】
求曲线的切线要注意”过点P的切线”与”在点P处的切线''的差异,过点P的切线中,点P
不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
15.(2018•江苏•高考真题)若函数〃x)=2f-ar2+l(ae/?)在((),”)内有且只有一个零点,
则f(x)在[T1]上的最大值与最小值的和为.
【答案】-3.
【详解】
分析:先结合三次函数图象确定在(0,+8)上有且仅有一个零点的条件,求出参数”,再根据
单调性确定函数最值,即得结果.
详解:由尸(x)=6/-2ax=0得x=0,x=],因为函数f(x)在(0,+8)上有且仅有一个零点、
口J(0)=1,所以]>0J/)=0,因此2(y_吗y+1=0,a=3.从而函数在[-1,0]上
单调递增,在[0川上单调递减,所以/(幻3=/(0),/(x)min=min{/(-1),/(1)}=/(-1),
f(x)3+f(x'/(O)V(-D=l-4=-3.
点睛:对于函数零点个数问题,可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件.从图象
的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性:从图象
的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
16.(2020•北京•高考真题)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水
治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量卬与时间/的关系为w=/Q),
用一丝二△色的大小评价在海向这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,
b-a
甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论:
①在[tvt2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在12时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在4时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[。川口出[及⑷这三段时间中,在[。/]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是.
【答案】①②③
【分析】
根据定义逐一判断,即可得到结果
【详解】
二八")表示区间端点连线斜率的负数,
b-a
在1百]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的
污水治理能力比乙企业强;①正确;
甲企业在[0,4,[4由],上2,修这三段时间中,甲企业在这段时间内,甲的斜率最小,其
相反数最大,即在,,4]的污水治理能力最强.④错误;
在G时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治
理能力比乙企业强;②正确;
在4时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下,所以都已达标;③正确;
故答案为:①②③
【点睛】
本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用,考查基本分析识别能力,属中档题.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2021•新疆•皮山县高级中学高二阶段练习(理))已知函数/(司=9+才111
(I)求这个函数的导数r(x);
(II)求这个函数在X=1处的切线方程.
【答案】(I)r(x)=2x+/nx+l;(II)3x-y-2=0.
【分析】
(I)由导数的运算法则直接计算即可得出结果;
(II)由(1)的结果求出尸(1),再求出切点坐标,进而可得出结果.
【详解】
(I)因为,f(x)=x2+xliu,所以/'(x)=2x+/nr+l;
(II)由题意可知,切点的横坐标为1,
所以切线的斜率是%=/'(1)=2+1=3,
=所以切线方程为y-l=3(x-l),整理得3x—y—2=0.
【点睛】
本题主要考查导数的运算以及导数的几何意义,熟记运算法则和几何意义即可,属于基础题
型.
18.(2021•全国•高二专题练习)已知函数f(x)=x2-lnx.
(1)求曲线y=/(x)在点(1J。))处的切线方程;
(2)求函数r(x)>o的解集.
【答案】(1)y=x;(2)—,+^0.
<>
【分析】
(1)求出F。)、;。)的值,利用点斜式可得出所求切线的方程:
⑵求得函数"x)=x2-lnx的定义域为(0,也),然后在x«0,”)上解不等式/''(x)〉。即
可得解集.
【详解】
(1)依题意,函数=Inx的定义域为(0,+8),且/(力=2》」,
.-./(l)=l2-lnl=l,广⑴=27=1,
因此,曲线y=f(x)在点(1J(1))处的切线方程为y-i=x-i,即尸X;
(2)依题意,函数〃x)=x2—Inx的定义域为(0,+8),且:(x)=2x-:,
令f'(x)>0且x>0,解得,x>叵,故不等式/'(力>。的解集为fW,”.
2k27
19.(2018•全国•高考真题(文))已知函数〃x)=;x3—“(d+x+i)
(1)若4=3,求“X)的单调区间;
(2)证明:/(x)只有一个零点.
【答案】(l)/(x)在(7,3-26),(3+2石,+8)单调递增,在(3-26,3+26)
单调递减.
(2)见解析.
【详解】
分析:(1)将。=3代入,求导得尸(X)=彳2_6X-3,令/。)>0求得增区间,令尸。)<0求
13
得减区间;(2)令f(x)=;x3-a(x2+x+])=o,即^r——3a=0,贝IJ将问题转化为函数
3x+x+\
g(x)=/——3a只有一个零点问题,研究函数g(x)单调性可得.
X+X+1
322
详解:⑴当〃=3时,f(x)=^x-3x-3x-3ff(x)=x-6x-3.
令((x)=0解得户3-26或x=3+2百.
当不£(—00,3-2月)U(3+2石,+oo)时,f'(%)>0;
当xe(3-2A/3,3+2月)时,尸(x)<0.
故/(x)在(-00,3-25,(3+2石,+oo)单调递增,在(3-26,3+2出)单调递减.
(2)由于Y+x+l>0,所以/(x)=0等价于丁石——3«=0.
X-+X+1
3x2(X2+2x+3)
设g(x)=—-----3a,则g'(亢)=——------廿却,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)
%+x+l(x+X+1)
在(-00,4-00)单调递增.故g(X)至多有一个零点,从而/(X)至多有一个零点.
又/(3A1)=-6a2+2a--=-6(a-->)一,<0,(3〃+l)=^->0,故/'(x)有一个零点.
316)63
综上,f(%)只有一个零点.
点睛:(1)用导数求函数单调区间的步骤如下:①确定函数/(X)的定义域;②求导数7•'*);
③由:。)>0(或/。)<0)解出相应的x的取值范围,当(。)>。时,F(X)在相应区间上
是增函数;当r(x)<o时,“X)在相应区间上是减增函数.
(2)本题第二问重在考查零点存在性问题,解题的关键在于将问题转化为求证函数g(x)有
唯一零点,可先证明其单调,再结合零点存在性定理进行论证.
20.(2020•全国•高考真题(理))己知函数/(幻=/+依2一X.
(1)当。=1时,讨论了(天)的单调性;
(2)当史0时,f(x),求a的取值范围.
【答案】(1)当x«9,0)时,尸(x)<OJ(x)单调递减,当X€(0,M)时,f(x)>0J(x)
-7-e1、
单调递增.(2)——,-H»
L4)
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导,然后确定导函数的符号,最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论尸0的情况,然后分离参数,构造新函数,结合导函数研究构造所得的函数的
最大值即可确定实数”的取值范围.
【详解】
⑴当。=1时,f(x)=e'+x2-x,f^x)—ex+2x-l,
由于/(x)=e'+2>(),故r(x)单调递增,注意到f'(0)=0,故:
当xe(ro,0)时,_f(x)<0J(x)单调递减,
当xe(O,e)时,/'(x)>0J(x)单调递增.
(2)由/(X)N+1得,e1+ax2—x..x3+1,其中xNO,
①.当x=0时,不等式为:1之1,显然成立,符合题意;
②.当x>0时,分离参数。得,ex--x-x-1
a…-------;------
讶e'-^-x3-x-l"-2)(
e*一;J?-x-1
“(》)=―-5—,(3——-
x3
^/?(x)=eA-^x2-x-l(x>0),
则h'(x)=ex-x-l,h"(x)=ex-1>(),
故"(x)单调递增,/(司2以0)=0,
故函数〃(x)单调递增,/7(X)>/Z(O)=O,
由/i(x)NO可得:ex—r-x—1..0恒成立,
故当xe(O,2)时,*x)>0,g(x)单调递增:
当xe(2,他))时,g«x)<0,g(x)单调递减;
因此,[g(ML=g(2)=子,
「7-1
综上可得,实数a的取值范围是一:,”•
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,
对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、
微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)
利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.
21.(2019•全国•高考真题(理))已知函数/(王)=2/3+尻
(1)讨论的单调性;
(2)是否存在。力,使得“幻在区间的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出〃力的
所有值;若不存在,说明理由.
fa=0[a=4
【答案】⑴见详解;⑵八I或八「
[o=-l[0=1
【分析】
(1)先求/(X)的导数,再根据。的范围分情况讨论函数单调性;(2)根据。的各种范围,利用
函数单调性进行最大值和最小值的判断,最终得出b的值.
【详解】
(1)对/(x)=2x'-ax2+b求导得f'(x)=6x2-lax=6Mx-]).所以有
当a<0时,(v,全区间上单调递增,(*0)区间上单调递减,(0,+8)区间上单调递增:
当。=0时,(-«>,”)区间上单调递增;
当。>0时,(-8,0)区间上单调递增,(0苧区间上单调递减,§+8)区间上单调递增.
⑵若/(X)在区间10,1]有最大值1和最小值-1,所以
若a<0,(ro,二)区间上单调递增,(9,0)区间上单调递减,(。,钟)区间上单调递增;
33
此时在区间[0,1]上单调递增,所以f(0)=T,/⑴=1代入解得b=T,a=0,与a<0矛盾,
所以a<0不成立.
若。=0,(―)区间上单调递增;在区间[0J.所以〃0)=-1,f⑴=1代入解得
[p=-l
若0<a42,(-8,0)区间上单调递增,(0,学区间上单调递减,年+8)区间上单调递增.
即/*)在区间(0,全单调递减,在区间q,i)单调递增,所以区间mi上最小值为吗)
而/(0)=b,f(\)=2-a+b>/(0),故所以区间[0,1]上最大值为/(I).
即“(3)相减得2—a+《=2,即“(a—3石)(4+36)=(),又因为0<a42,
2-a+h=\27
所以无解.
若2<a43,y,0)区间上单调递增,(0,至区间上单调递减,年+00)区间上单调递增.
即,(x)在区间(0,全单调递减,在区间(早1)单调递增,所以区间[0J匕最小值为吗)
而/(0)=^,/(1)=2-a+b</(0),故所以区间[0,1]上最大值为/(0).
*
即2(§)-«(-)+6=7相减得《=2,解得%=3次,又因为2<aW3,所以无解.
[人127
若。>3,(7,0)区间上单调递增,(0,9区间上单调递减,(*+oo)区间上单调递增.
所以有/(x)区间[0,1]上单调递减,所以区间[0,1]上最大值为了(0),最小值为/(I)
[/?=1[a
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