2025届福建省泉州市洛江区数学九上期末质量跟踪监视试题含解析

2025届福建省泉州市洛江区数学九上期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）．A． B． C． D．2．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2 B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣3．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知关于的一元二次方程两实数根为、，则（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣15．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（）A． B．C． D．6．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（）A．8 B．10 C．12 D．187．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，：：25，则DE：=()A．2：5 B．3：2 C．2：3 D．5：38．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（）A． B． C． D．9．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．10．如图，在四边形中，，对角线、交于点有以下四个结论其中始终正确的有（）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．下列关于抛物线有关性质的说法，正确的是（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为C．其最大值为 D．当时，随的增大而减小12．将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm．14．小莉身高，在阳光下的影子长为，在同一时刻站在阳光下，小林的影长比小莉长，则小林的身高为_________．15．平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线y＝上，连接OP，则OP的最小值为_____．16．如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在矩形内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为___________.17．函数中自变量x的取值范围是________.18．若，则＝______．三、解答题（共78分）19．（8分）西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，≈1.732)20．（8分）如图1，的余切值为2，，点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，联结，并延长，交射线于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；①；②；③；④；⑤；⑥；（2）设正方形的边长为x，线段的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果与相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一点，且BD＝CD，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交直线AC，AB于F，E两点．（1）AD＝；（2）如图1，当GF＝1时，求的值；（3）如图2，随点G位置的改变，FG+EG是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．22．（10分）计算：cos30°•tan60°+4sin30°．23．（10分）如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：(1)在图1中作出圆心O；(2)在图2中过点B作BF∥AC．24．（10分）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米?（2）专家建议：从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加11025．（12分）对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：（尝试）（1）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；（发现）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．（应用）二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．26．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：或者．（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．2、C【解析】分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=OB=1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=，AC=2CD=2，∵sin∠COD=，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=B×AC=×2×2=2，S扇形AOC=，则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=，故选C．点睛：本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=，有一定的难度．3、D【分析】根据抛物线的开口向下可知a<0，由此可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；根据x=1时y的值可判断③；根据抛物线与x轴交点的个数可判断④；根据x=-2时，y的值可判断⑤.【详解】抛物线开口向下，∴a<0，故①错误；∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为x==1，∴2a+b=0，故②正确；观察可知当x=1时，函数有最大值，a+b+c>0，故③正确；∵抛物线与x轴有两交点坐标，∴△>0，故④正确；观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即4a-2b+c<0，故⑤正确，故选D.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．4、A【解析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】∵关于的一元二次方程两实数根为、，∴.故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次项系数为1，常用以下关系：、是方程的两根时，，．5、D【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，故选D．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.6、C【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可．【详解】∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，∴OA=OB=AC，∵∠AOD=10°，∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-10°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=2×6=1．故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．7、B【分析】根据平行四边形的性质得到DC//AB，DC=AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】四边形ABCD是平行四边形，

，，

∽，

：，

，

：：2，

故选B．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8、C【解析】外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.9、B【分析】本题可先通过抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y＝ax图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．【详解】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误；A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确；故选：B．【点睛】此题考查的是一次函数的图象及性质和二次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与系数关系和二次函数的图象及性质与系数关系是解决此题的关键．10、C【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式判断即可．【详解】解：∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD，①正确；∵∠ADO不一定等于∠BCO，∴△AOD与△ACB不一定相似，②错误；∴，③正确；∵△ABD与△ABC等高同底，∴，∵，∴，④正确；故选C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.11、D【分析】根据抛物线的表达式中系数a的正负判断开口方向和函数的最值问题，根据开口方向和对称轴判断函数增减性.【详解】解：∵a=2>0，∴抛物线开口向上，故A选项错误；抛物线的对称轴为直线x=3，故B选项错误；抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，没有最大值，故C选项错误；因为抛物线开口向上，所以在对称轴左侧，即x<3时，y随x的增大而减小,故D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象和性质，掌握图象特征与系数之间的关系即数形结合思想是解答此题的关键.12、D【详解】因为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移1个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-1），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-1．故选D．二、填空题（每题4分，共24分）13、6π【分析】直接利用弧长公式计算即可.【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）故答案为6π【点睛】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键.14、【分析】由同一时刻物高与影长成比例，设出小林的身高为米，列方程求解即可．【详解】解：由同一时刻物高与影长成比例，设小林的身高为米，则即小林的身高为米．故答案为：【点睛】本题考查的是利用相似三角形的原理：“同一时刻物高与影长成比例”，测量物体的高度，掌握原理是解题的关键．15、1【分析】设点P（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得＝18，根据＝，且≥2ab，可求OP的最小值．【详解】解：设点P（a，b）∵点P在曲线y＝上，∴＝18∵≥0，∴≥2ab，∵＝，且≥2ab，∴≥2ab＝31，∴OP最小值为1．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用≥2ab是本题的关键．16、【分析】分别求出矩形ABCD的面积和阴影部分的面积即可确定概率.【详解】设每相邻两个点之间的距离为a则矩形ABCD的面积为而利用梯形的面积公式和图形的对称性可知阴影部分的面积为∴小球停留在阴影区域的概率为故答案为【点睛】本题主要考查随机事件的概率，能够求出阴影部分的面积是解题的关键.17、x≥－1且x≠1.【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即可求得答案.【详解】解：根据题意，得，解得x≥－1且x≠1.故答案为x≥－1且x≠1.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，难度不大，属于基础题型.18、【详解】设x=2k.y=3k，（k≠0）∴原式=.故答案是：三、解答题（共78分）19、12.20米【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度．【详解】设AB=x米．Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米．Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°x米．CD=BD﹣BC=(1)x=6，解得：x=9+3，即AB=(9+3)米．∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2，∴AM=AB﹣BM=7+312.20(米)．答：这棵树高12.20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．20、（1）④⑤；（2）；（3）或.【分析】（1）作于M，交于N，如图，利用三角函数的定义得到，设，则，利用勾股定理得，解得，即，，设正方形的边长为x，则，，由于，则可判断为定值；再利用得到，则可判断为定值；在中，利用勾股定理和三角函数可判断在变化，在变化，在变化；（2）易得四边形为矩形，则，证明，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于，与相似，且面积不相等，利用相似比得到，讨论：当点P在点F点右侧时，则，所以，当点P在点F点左侧时，则，所以，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【详解】（1）如图，作于M，交于N，在中，∵，设，则，∵，∴，解得，∴，，设正方形的边长为x，在中，∵，∴，∴，在中，，∴为定值；∵，∴，∴为定值；在中，，而在变化，∴在变化，在变化，∴在变化，所以和是始终保持不变的量；故答案为：④⑤（2）∵MN⊥AP，DEFG是正方形，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，即，∴（3）∵，与相似，且面积不相等，∴，即，∴，当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF==，∴，解得，当点P在点F点左侧时，，∴，解得，综上所述，正方形的边长为或．【点睛】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．21、（1）AD＝；（2）；（3）FG+EG是一个定值，为．【分析】（1）先由勾股定理求出BC的长，再由直角三角形斜边中线的性质可求出AD的长；（2）先证FG=CG=1，通过BD=CDBC=AD，求出BG的长，再证△BGE∽△BDA，利用相似三角形的性质可求出的值；（3）由（2）知FG=CG，再证EG=BG，即可证FG+EG=BC=2．【详解】（1）∵∠BAC=90°，且BD=CD，∴ADBC．∵BC2，∴AD2．故答案为：；（2）如图1．∵GF∥AD，∴∠CFG=∠CAD．∵BD=CDBC=AD，∴∠CAD=∠C，∴∠CFG=∠C，∴CG=FG=1，∴BG=21．∵AD∥GE，∴△BGE∽△BDA，∴；（3）如图2，随点G位置的改变，FG+EG是一个定值．理由如下：∵ADBC=BD，∴∠B=∠BAD．∵AD∥EG，∴∠BAD=∠E，∴∠B=∠E，∴EG=BG，由（2）知，GF=GC，∴EG+FG=BG+CG=BC=2，∴FG+EG是一个定值，为2．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．22、．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】原式＝×+4×，＝+2，＝．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．23、见解析.【分析】（1）画出⊙O的两条直径，交点即为圆心O．（2）作直线AO交⊙O于F，直线BF即为所求．【详解】解：作图如下：（1）；（2）.【点睛】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24、（2）2600；（2）2．【分析】（2）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了32千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l2千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用26小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；（2）根据题意得出：(80+120)(1-m%)(8+1【详解】试题解析：（2）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：8(120+x)=y(8+16)x=320+y解得：x=80y=1600答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是2600千米；（2）由题意可得出：(80+120)(1-m%)(8+1解得：m1=20，答：m的值为2．考点：2．一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．25、[尝试]（1）（1，﹣2）；（2）点A在抛物线L上；（3）n=1；[发现]（2，0）,（﹣1，1）；[应用]不是，理由见解析．【分析】[尝试]

（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；

（2）将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可；

（3）已知点B在抛物线L上，将该点坐标代入抛物线L的