2022年中考数学考前辅导 任意角的三角函数及诱导公式

课题任意角的三角函数及诱导公式

授课时间：备课时间：

1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义

2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；

教学目标3、了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正切

函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

4、灵活运用诱导公式

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义

重点、难点

教学难点：灵活运用诱导公式

、任意角的三角函数的求法

考点及考试要求1

2、三角函数的诱导公式

教学内容

第一课时任意角的三角函数及诱导公式知识点梳理

知识梳理

1.三角函数定义

利用单位圆定义任意角的三角函数，设a是一个任意角，它

的终边与单位圆交于点p(x,y),那么：

(1)y叫做。的正弦，记做sina,即since=y；

(2)x叫做a的余弦，记做cosa,BPcosa=x；

(3)—叫做a的正切,记做tana,即tana=)(尤工0)。

xx

2.三角函数线

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函

数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值

大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长

度不一定就是1厘米或1米)。当角a为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x,y),过

点P作PM_Lx轴交x轴于点M,根据三角函数的定义：|MP|=|y|=|sina|；|OM|=|x|=|cosa|。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角a的终边不在坐标轴时，以。为始

点、M为终点,规定：

当线段与x轴同向时，的方向为正向，且有正值x；当线段。河与x轴反向时，QW的

方向为负向，且有正值X；其中x为P点的横坐标.这样，无论那种情况都有

OM=x=cosa

同理，当角a的终边不在x轴上时，以用为始点、尸为终点，

规定：当线段与y轴同向时，的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP

的方向为负向，且有正值y；其中)，为P点的横坐标。

这样，无论那种情况都有MP=y=sina。像MP、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线

段。

如上图,过点A(1,O)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴，设它与a的终边交于点T,请根据

正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段04AT,我们有

tana=AT--

X

我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角。的正弦线、余弦线、正切线，

统称为三角函数线。

3.同角三角函数关系式

(1)平方关系：sin2a+cos2«=1,1+tan2a-sec2a,1+cot2a=esc2a

(2)倒数关系：sinacsca=l,cosasec«=l,tanacota=1,

/c、*七sinacosa

(3)商数关系：tan«=------,cota=-------

cosasina

使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常

重要的方法。

几个常用关系式：sina+cosa,sina-cosa,sina•cosa；(三式之间可以互相表示)

设sin。+cosQ=叵，&],两边平方，得

t2-1

1+2sinCl♦cos。=tJ2=>sin。•cosCl=―-—,

又1-2sinCl♦cosCL=2-t*=sin。-cos。=±^2-t2.

同理可以由sina—cosa或sinQ•cosa推出其余两式。

4.诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限:

诱导公式一：sin(a+2&乃)=sina,cos(a+2左乃)=cosa,其中

诱导公式二：sin(18(T+a)=-sina；cos(180°+a)=-cosa

诱导公式三：sin(-a)=-sincr；cos(-a)=cosa

诱导公式四：sin(180°—a)=sina；cos(180-a)=-cosa。

诱导公式五：sin(360°-a)=-sina；cos(360°-a)=cosa

sin(-x)=-sinxsin(^+x)=-sinxsin(2^-x)=-sinA:cosj乃+a)=_sina

cos(-x)=cosxcos(乃+x)=-cosxcos(2^-x)=cosx.J

')scin(一乃+a)=cosa

tan(-x)=-tanxtan(1+x)=tanxtan(2万-x)=-tanx2

cot^-x)=-cotxcot(^+x)=cotxcot(2〃-x)=-cotxtan(-4+a)=-cola

sin(乃-x)=sinx,1、

sin(一万一a)=cosa

cos(乃一x)=一cosx

cosg4-a)=sina

tan(^-x)=-tanx

tan(^-a)=cota

cot^r-x)=-cotx

5.几种终边在特殊位置时对应角的集合为

角的终边所在位置角的集合

X轴正半轴{a|a=Zx360。，k&Z]

Y轴正半轴{a|a=Z:x360o+90o,k^Z}

X轴负半轴{a|c=kx360°+180°,k&Z]

Y轴负半轴{a|a=0360。+270。，k&Z}

X轴{a\a=A:xl80°,k^Z}

Y轴{«|«=^xl80o+90°,k&Z}

坐标轴\a|a=Z:x90o,keZ}

6.a、巳、2a之间的关系

2

若a终边在第一象限则巴终边在第一或第三象限；2a终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

2

若a终边在第二象限则区终边在第一或第三象限；2a终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

2

若a终边在第三象限则区终边在第二或第四象限；2a终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

2

若a终边在第四象限则里终边在第二或第四象限；2a终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

2

第二课时任意角的三角函数及诱导公式典型例题

型例题

题型一：三角函数定义

例1.已知角a的终边过点m,2a)(aw0),求a的四个三角函数值。

解析：因为过点3,2a)(a。0),所以厂=逐|。|,x=a,y=2ao

2a2A/5

当a>00寸,sina=—=3=

ry/5\a\\[5a

xa亚a

cosa=—=—^=-----，tana=2o

ry/5a5

2a275Xa45a

_|C<、VWJfdillC4>—cosa---tana=2。

rV5|a|_y/Sci5r—\/5ci5

爻龙^72<

变：已知角c的终边经过点P(2,-3),求c的正弦，余弦，正切值。

/T

例2.已知角a的终边上一点P(-加)，且sina=——,求cos/sina的值。

4

解析：由题设知％=-必\y=m,所以厂2=|OP『=(一6)2+/，

得7=73+毋,

.y/lmmm

从而sina=----=—=/

4r,3+济

解得加=0或16=6+2〃/=>/%=土石o

当机=0时，r=5/3,x=,costz=—=-l,tana=—=0；

rx

当m=时,r=2>/2,x=-5/3,cosa=-=--,tancr=—=-^^-

r4x3

2=巫

当〃2=—5/5■时，r=2V2,x=-y/3,cosa=-=tana

r4X3

夕备成72更

变1、已知点在角a的终边上，求sin二、cosa、tan。的值。

变2、已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值。

题型二：诱导公式

ccs4050

例3.(2001全国文，1)tan300°+侬誓的值是()

sin405°

A.1+V3B.1-73C.-1—V3D.11+V3

.cos405°cos(360°+45°)=

解析：答案：Btan300°+cosqvjtan(360°-60°)+—tan60°+

sin405°sin(360°+45°)

例4.化简:

(D-sin(180+a)+sin(-a)-tan(360+a)

tan(a+180)+cos(—a)+cos(l80-a)

/c、sin(a+〃乃)+sin(a-mr)/_

\ZJ(〃wN)x©

sin(a+"乃)cos(a-〃乃)

五力4-7\H-Usina—sina—tanatana.

解析：(1)原式=----------------=------=-1;

tana+cosa-cosatana

(2)①当〃=时，原式=吧@+2⑺t?m(a二而)=j。

sin(a+2k7r)cos(a-2k兀)cosa

②当〃=2H1,*Z时，原式=网经邯+坦此si四”(如也一工。

sin[(z+(2k+l)^]cos[a~(2k+1)乃]cosa

点评：关键抓住题中的整数〃是表示万的整数倍与公式一中的整数攵有区别，所以必须把〃分成

奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。

^^72<

变：已知cos(兀+a)=-月.a是第四象限角，计算：

sin[a+(2〃+l)Q+sin[a-(2〃+1)。

(1)sin(2兀一a)；)sin(a+2n7r)-cos(a—2n7c),)

题型三：同角三角函数的基本关系式

mi广口八/1+sina1-sina_

例5.已知J--------J-------=-2tana试确定使等式成立的角。的集合。

Vl-sin6ZYl+sina

解^...、禺逅-J|1-sina_/(I+sina)2/(l-sin6z)2

V1-sinaV1+sinaVcos2aycos2a

11+sina|11-sina_l+sina-1+sina_2sina

\cosa|\cosa\|cosa|\cosa\

D../I+sinaJl-sina.

.2sina2sina„

，・--------------1------------=(J,

\cosa|cosa

即得sina=0或|cosa|=-cosaw0。

rr\TT

所以，角a的集合为：｛。|a=或2%乃+—<]<2k兀+二—,ksZ｝。

22

2(cosa-sina)_coscrsina

例6.(1)证明:

1+sina+cosa1+sina1+cosa

,c、4Tcosxl+sinx

(2)求证：------=------

1-sinxcosx

AC

解析：(1)分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证2=上，只要证

BD

A-D=B-C,从而将分式化为整式。

coscir+cos2(2-sin(2-sin2a

证法一:右边二

(l+sina)(l+cosa)

(cosa-sina)(l+cosa+sina)

1+sina•coscr+sina+cosa

2kosa-sina)(l+cosa+sina)

2(1+sina+cosa+sinacosa)

2(cosa-sina)(l+cosa+sina)

1+sin2a+cos2a+2sina+2cosa+2sinacosa

2(cosa-sina)(l+sina+cosa)

=左边

(1+sina+cosa)

证法二：要证等式，即为

2(cosa-sina)_(cosa-sina)(l+sina+cosa)

1+sina+cosa(1+sina)(l+cosa)

只要证2(1+sina)(l+cosa)=(1+sina+cosa)?

即证：2+2sina+2cosa+2sinacosa

=1+sin2+cos2a+2sina+2cosa+2sinocosa,

即l=sin26z+cos2a,显然成立,

故原式得证。

点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当

地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。(2)同角三角函数的基本关系式有

三种，即平方关系、商的关系、倒数关系。

(2)证法一：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO,l-sinx工0。

.左边—cosx(l+sinx)_cosx(l+sinx)_l+sinx_右边

(l-sinx)(l+sinx)cos2xcosx

J原式成立。

证法二：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO,l—sinxwO。

又丁(l-sinx)(l+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx-cosx,

.cosx_1+sinx

••--0

1-sinxcosx

证法三：由题义知cosxwO,所以l+sinxwO,l—sinxwO。

22