云南省红河州2025届数学九上期末调研试题含解析

云南省红河州2025届数学九上期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（）A． B． C． D．2．对于题目“抛物线l1：（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（）A．只有甲的结果正确B．只有乙的结果正确C．甲、乙的结果合起来才正确D．甲、乙的结果合起来也不正确3．下列事件是必然事件的是()A．打开电视播放建国70周年国庆阅兵式B．任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习C．去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同D．食用保健品后长生不老4．已知二次函数y=a(x+1)2+b(a≠0)有最大值1，则a、b的大小关系为（）A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定5．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（）A．3.0m B．4.0m C．5.0m D．6.0m6．函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．7．从下列两组卡片中各摸一张，所摸两张卡片上的数字之和为5的概率是（）第一组：1,2,3第二组：2,3,4A． B． C． D．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC="4"cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交9．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）．A．； B．； C．； D．．10．下列事件中是必然发生的事件是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．射击运动员射击一次，命中十环C．在地球上，抛出的篮球会下落D．明天会下雨11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，1)，下列结论：①abc＜1；②b2－4ac＝1；③a＜2；④4a－2b＋c＞1．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．412．如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，F在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．在数、、中任取两个数（不重复）作为点的坐标，则该点刚好在一次函数图象的概率是________________.14．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），若圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是_____cm．15．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．16．在二次函数中，y与x的部分对应值如下表：x......-101234......y......-7-2mn-2-7......则m、n的大小关系为m_______n．（填“>”,“=”或“<”）17．双曲线经过点，，则______（填“”，“”或“”）.18．已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1，x2，且，则a的值为．三、解答题（共78分）19．（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．请根据图中信息完成下列各题．（1）将频数分布直方图补充完整人数；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．20．（8分）今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；（2）求抽奖人员获奖的概率．21．（8分）在正方形和等腰直角中，，是的中点，连接、.（1）如图1，当点在边上时，延长交于点.求证：；（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形为菱形，且，为等边三角形，点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.22．（10分）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，位于轴右侧且垂直于轴的动直线沿轴正方向从运动到(不含点和点)，分别与抛物线、直线以及轴交于点，过点作于点，求面积的最大值．23．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1，0)，C(0，3)．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴及点B的坐标；（3）设点P为该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P使△BPC为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长；（2）设点Q2为(m，n)，当tan∠EOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．25．（12分）已知，二次三项式﹣x2+2x+1．（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+1＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．26．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写下表．时间第一个月第二个月每套销售定价（元）销售量（套）（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少；（3）求当4≤x≤6时第二个月销售利润的最大值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】证明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，设EF=x，则DE=3x，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：设EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=3x，AD∥EC，

∴△AFD∽△CFE，

∴，，设CF=n，设EF=m，

∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n，∵△ECD是直角三角形，，

∴△CFE∽△DFC，

∴，∴，即，

∴，∵，∴tan∠CAE=，

故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．2、C【分析】画出抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）的图象，根据图象即可判断．【详解】解：由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），如图所示：∵m为整数，由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，∴甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题，作出函数的图象是解题的关键．3、C【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．【详解】A.打开电视播放建国70周年国庆阅兵式是随机事件，故不符合题意；B.任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习是随机事件，故不符合题意；C.去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同是必然事件，符合题意；D.食用保健品后长生不老是不可能事件，故不符合题意；故选C.【点睛】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．4、B【解析】根据二次函数的性质得到a＜0，b=1，然后对各选项进行判断．【详解】∵二次函数y=a（x-1）2+b（a≠0）有最大值1，∴a＜0，b=1．∴a<b，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值5、B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．【详解】根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，∴＝．∴AD＝1．∴AB＝AD+DB＝1+1＝2．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．6、D【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．【详解】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．7、D【分析】根据题意，通过树状图法即可得解.【详解】如下图，画树状图可知，从两组卡片中各摸一张，一共有9种可能性，两张卡片上的数字之和为5的可能性有3种，则P(两张卡片上的数字之和为5)，故选：D.【点睛】本题属于概率初步题，熟练掌握树状图法或者列表法是解决本题的关键.8、B【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．【详解】解：作CD⊥AB于点D．

∵∠B=30°，BC=4cm，∴即CD等于圆的半径．

∵CD⊥AB，

∴AB与⊙C相切．

故选：B．9、B【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：、左边得出的是的方向不是单位向量，故错误；、符合向量的长度及方向，正确；、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；、左边得出的是的方向，右边得出的是的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：．【点睛】本题考查了向量的性质．10、C【解析】试题分析：A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上是随机事件，故A错误；B．射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故B错误；C．在地球上，抛出的篮球会下落是必然事件，故C正确；D．明天会下雨是随机事件，故D错误；故选C．考点：随机事件．11、A【分析】根据抛物线的图像和表达式分析其系数的值，通过特殊点的坐标判断结论是否正确．【详解】∵函数图象开口向上，∴，又∵顶点为(，1)，∴，∴,由抛物线与轴的交点坐标可知：，∴c＞1，∴abc＞1,故①错误；∵抛物线顶点在轴上，∴，即，又，∴，故②错误；∵顶点为(，1)，∴，∵，∴，∵，∴，则，故③错误；由抛物线的对称性可知与时的函数值相等，∴，∴，故④正确．综上，只有④正确，正确个数为1个．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出之间的关系是解题的关键．12、C【分析】通过证明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的长，即可求解．【详解】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∵EF＝2EH，BC=8，AD=6，∴∴EH＝，∴EF＝，∴矩形EFGH的周长＝故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在一次函数y=x-2图象上的点个数，即可求出所求的概率．【详解】列表得：

-112-1---（1，-1）（2，-1）1（-1，1）---（2，1）2（-1，2）（1，2）---所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在一次函数y=x-2图象上的情况有：（1，-1）共1种，则故答案为：【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14、1【解析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．【详解】解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得＝π×80，解得r＝1．故这个扇形铁皮的半径为1cm，故答案为1．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．15、2或【分析】设BF=，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC∽△ABC和△B′FC∽△BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．【详解】设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，（1）当△B′FC∽△ABC时，有，即：，解得：；（2）当△B′FC∽△BAC时，有，即：，解得：；综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或故答案为2或．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．16、=【分析】根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，即可得出答案．【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线x＝，

∵m，n分别为点（1，m）和（2，n）的纵坐标，

两点关于直线x＝对称，

∴m=n，

故答案为：=．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．17、>【分析】将点A、B的坐标分别代入双曲线的解析式，求得、，再比较、的大小即可.【详解】双曲线经过点，，当时，，当时，，∴．故答案为：>．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接将横坐标代入解析式求得纵坐标，再作比较更为简单．18、1．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1，x2，∴x1+x2=-2，x1x2=-a，∴∴a=1．三、解答题（共78分）19、（1）答案见解析（2）54%（3）【解析】（1）根据各组频数之和等于总数可得分的人数，据此即可补全直方图；（2）用成绩大于或等于80分的人数除以总人数可得；（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】（1）70到80分的人数为人，补全频数分布直方图如下：（2）本次测试的优秀率是；（3）设小明和小强分别为、，另外两名学生为：、，则所有的可能性为：、、、、、，所以小明与小强同时被选中的概率为．【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．20、（1）详见解析（2）12【解析】试题分析：（1）根据列表法与画树状图的方法画出即可。（2）根据概率公式列式计算即可得解。解：（1）画树状图表示如下：抽奖所有可能出现的结果有12种。（2）∵由（1）知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种，∴抽奖人员的获奖概率为P=621、（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3），图详见解析.【分析】（1）利用已知条件易证，则有，，从而有，再利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；（2）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；（3）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值即可求出答案.【详解】（1）证明：，又，(ASA)，又，，在中，（2）成立，证明如下：延长到，使，连接、、.，，、、，，，在中，（3）论证过程中需要的辅助线如图所示证明：延长GP到点E，使,连接DE，CE,CG,∵∴∴∵为等边三角形∴∴∵∴∴∵∴∵∴又∵∴∴又∵∴∵∴∴∴【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.22、（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）最大值为．【分析】(1)利用待定系数法求出解析式；(2)设点N的坐标为(0，m)，过点M做MH⊥y轴于点H，证得△MHN∽△NOB，利用对应边成比例，得到，方程无实数解，所以假设错误，不存在；(3)△PQE∽△BOC，得，得到，当PE最大时，最大，求得直线的解析式，设点P的坐标为，则E，再求得PE的最大值，从而求得答案．【详解】(1)把点A（-2，0）、B（8，0）、C（0，4）分别代入，得：，解得，则该抛物线的解析式为：；(2)不存在∵抛物线经过A（-2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为，将代入得：，∴抛物线的顶点坐标为：，假设在轴上存在点，使∠MNB=90，设点N的坐标为(0，m)，过顶点M做MH⊥y轴于点H，∴∠MNH+∠ONB=90，∠MNH+∠HMN=90，∴∠HMN=∠ONB，∴△MHN∽△NOB，∴，∵B（8，0），N(0，m)，，∴，∴，整理得：，∵，∴方程无实数解，所以假设错误，在轴上不存在点，使∠MNB=90；(3)∵PQ⊥BC，PF⊥OB，∴，∴EF∥OC，∴，∴△PQE∽△BOC，得，∵B（8，0）、C（0，4），∴，，，∴，∴，∴当PE最大时，最大，设直线的解析式为，将B（8，0）、C（0，4）代入得，解得：，∴直线的解析式为，设点P的坐标为，则点E的坐标为，∴，∵，∴当时，有最大值为4，∴最大值为．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数、一次函数解析式，点坐标，相似三角形的判定与性质和三角形的面积求法，特别注意利用数形结合思想的应用．23、（1）；（2）x=-1；（-3，0）；（3）存在；P的坐标为或或或．【分析】（1）将点A、C两点的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；（2）根据对称轴公式即可求出抛物线的对称轴，然后令y=0，求出x的值，即可求出点B的坐标；（3）设P(-1，t)，利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式求出，，，然后根据直角顶点分类讨论，分别利用勾股定理列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）把点A(1，0)，C(0，3)代入二次函数，得解得：．∴抛物线的解析式是；（2）∵，∴抛物线的对称轴为x=-1．令y=0，则解得．∴点B的坐标为（-3，0）；（3）存在,设P(-1，t)，又∵C（0，3），∴，，．①若点B为直角顶点，则．即：．解之得：；②若点C为直角顶点，则．即：．解之得：；③若点P为直角顶点，则．即：．解之得：，．综上所述P的坐标为或或或．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴公式、平面直角坐标系中任意两点的距离公式和勾股定理是解决此题的关键．24、（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3）①，②的长为或.【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，即可得到OE；（2）如图，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由和，可得结论；（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt＋b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝，根据Q3（−4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式；②分三种情况：（i）当PQ∥OE时，根据，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；（ii）当PQ∥OF时，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程为2t−2＝(7−t)，可得t的值．（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．【详解】解：（1）令，则，∴，∴为.∵为，在中，.又∵为中点，∴.（2）如图，作于点，则，∴，∴，∴，∴.∵，∴，由勾股定理得，∴，∴.∵，∴，∴为.（3）①∵动点同时作匀速直线运动，∴关于成一次函数关系，设，将和代入得，解得，∴.②（ⅰ）当时，（如图），，作轴于点，则.∵，又∵，∴，∴，∴，∴.（ⅱ）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得.∵,∴,∴，∴.∵，∴，∴，∴.（ⅲ）由图形可知不可能与平行.综上所述，当与的一边平行时，的长为或.【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．25、（1）m＝7；（2）n≤﹣2或1≤n＜2．【分析】（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）