2025届新高考数学冲刺复习函数的概念及其表示

【命题规律与备考策略】本章内容一般不会出现单一知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性命制，或将函数的性质融入函数的图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式等知识进行求解．针对本章的知识特点，备考时首先将学习重点放在以下几个方面：函数的基本性质、二次函数与幂函数、指数函数与对数函数、函数的零点与方程的根、函数模型及综合应用，其次对常见的结论或方法要加强记忆与理解，例如：①基本初等函数的解析式；②常见函数定义域的求法；③函数解析式的求法；④函数图象的变换；⑤周期函数的常用结论；⑥函数零点的常见求法等，最后，要注重函数知识与不等式、方程、导数知识的综合问题，对于函数模型及综合应用则需掌握解题思路与常见的几类函数模型．2025届新高考数学冲刺复习函数的概念及其表示知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一函数的概念及其表示1．函数的概念

函数两个集合A，B设A，B是两个____________对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有___________的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A非空数集任意唯一确定2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.(2)如果两个函数的定义域相同，并且____________完全一致，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有__________、图象法和列表法．定义域值域对应关系解析法知识点二分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的________.并集知识点三函数的定义域函数y＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)2．求函数定义域的主要依据(1)整式函数的定义域为R.(2)分式函数中分母____________.(3)偶次根式函数被开方式________________.(4)一次函数、二次函数的定义域均为______.(5)函数f(x)＝x0的定义域为_________.(6)指数函数的定义域为______.(7)对数函数的定义域为___________.不等于0大于或等于0R{x|x≠0}R(0，＋∞)R{y|y≠0}(0，＋∞)R归

纳

拓

展1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．3．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．5．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．×√×××题组二走进教材2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)[解析]

A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数的值域不是[0,2]．B[解析]

根据f(1)＝3以及函数的奇偶性确定正确答案．f(1)＝2≠3，A选项错误；f(1)＝－3≠3，B选项错误；f(x)＝3x2是偶函数，C选项错误；f(1)＝3，f(x)＝3x3为奇函数，符合题意．故选D.D4．(必修1P73T11改编)(多选题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是(

)A．函数f(x)的定义域为[－4,4)B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应[解析]

由图象得此函数定义域为[－4,0]∪[1,4)，值域为[0，＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y∈(5，＋∞)时都有唯一的x与之对应．因此，A、C不正确．故选BD.BD5．(必修1P67T2改编)由f(u)＝u2，u＝2＋x复合而成的复合函数是y＝_______.[解析]

利用复合函数的性质直接求解．由f(u)＝u2，u＝2＋x复合而成的复合函数是y＝(2＋x)2.(2＋x)2(－∞，0)∪(0,1]2考点突破·互动探究求函数的定义域——多维探究BB名师点拨：函数定义域的求解策略1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．3．抽象函数(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．DD3．(角度2)已知函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，则函数f(1－2x)的定义域为(

)A．[－2,1] B．[1,2]C．[－2,3] D．[－1,3][解析]

因为函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，所以－1≤x≤4，即－5≤2x－3≤5，所以f(x)的定义域为[－5,5]，所以f(1－2x)满足－5≤1－2x≤5，所以－2≤x≤3，所以函数f(1－2x)的定义域为[－2,3].C求函数的解析式——师生共研(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.名师点拨：求函数解析式的四种方法2．若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为____________________.

f(x)＝x2－x＋33．定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)的解析式为__________________________________________.分段函数及应用——多维探究[解析]

x＝2时，f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cos0＋2＝1＋2＝3.a3C名师点拨：分段函数问题的求解策略根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时，应根据分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域．(1，＋∞)名师点拨：分段函数问题的求解策略1．分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．2．分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．[解析]

由f(x)＝f(x－3)得f(x＋3)＝f(x)，因而f(2025)＝f(3×675)＝f(0)＝eln2＝2.A[解析]

∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)