集合中元素的个数

关于集合中元素的个数例1

学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合。那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合。试分析

A∪B、A、B、A∩B中元素个数的关系.第2页,共26页，星期六，2024年，5月解：设A={田径运动会参赛的学生}，

B={球类运动会参赛的学生}，那么，

A∩B={两次运动会都参赛的学生}，

A∪B={参赛的学生}。∴ card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）=8+12－3=17。答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。用图来求解：第3页,共26页，星期六，2024年，5月例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的人数各是多少？参加数学小组20人，参加物理小组10人. card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）即25=2x+x-5x=10第4页,共26页，星期六，2024年，5月 card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）能否推广？试写出三个集合类似公式.第5页,共26页，星期六，2024年，5月例3.某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的人数及科目如下表;表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科优秀者里也包括两科以上的优秀者。有人说上面的统计表有误，你认为呢？由统计表计算高三年级共有131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以统计表有误.第6页,共26页，星期六，2024年，5月例4.在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？最多63人，最少38人.第7页,共26页，星期六，2024年，5月问题的提出：无限集中元素的个数？！是不是所有的无限集都有相同的个数呢？第8页,共26页，星期六，2024年，5月1.无限（1）初识无限（2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？

理解无限的关键——一一对应（3）无限集中元素的个数——基数与此相关的一个定义：若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是可数的。第9页,共26页，星期六，2024年，5月（4）几个令人吃惊的例子全体正整数和全体有理数一样多吗？全体正整数和全体整数一样多吗？部分＝整体？！第10页,共26页，星期六，2024年，5月（5）问题的提出是不是所有的无限集都有相同的基数呢？康托在1973年11月29日给戴德金的信中提出：11月29日－12月7日，康托给无限的理论奠定了基础。他创造了一种适用于无限集的新数体系——超限数，以解决无限集的基数比较问题。第11页,共26页，星期六，2024年，5月实数集（0，1）是不可数的。无理数集是不可数的（有理数集可数）。是不是还存在数量上多于实数集的集合呢？实数集是不可数的。—实数、一直线上的点、平面上的点及高维空间的任一部分的点的基数。若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是可数的。第12页,共26页，星期六，2024年，5月“数学中的无穷无尽，其诱人之处在于它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的理论之花。”——E.KasnerandJ.Newman集合论危机重重：第13页,共26页，星期六，2024年，5月2.罗素悖论

大多数集合不包含它自身为元素，这样的集我们称之为“普通的”。有许多集可能包含它自身为元素，例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来定义的集合是S的元素。”可以看到，S是包含它自身为一元素的。这样的集我们称之为“非普通集”。我们考查“所有普通集组成的集”，称它为C。那么C本身是普通集还是非普通集？如果C是普通集，由于C定义为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。这样的话，C必须是非普通集。这是一个矛盾。因此C必须是非普通集，但这时C包含了一个非普通集（即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是C的存在，就已经使我们陷入矛盾。第14页,共26页，星期六，2024年，5月罗素的理发师悖论第15页,共26页，星期六，2024年，5月其他一些悖论（1）芝诺悖论

1）二分法悖论

2）阿基里斯和乌龟第16页,共26页，星期六，2024年，5月第17页,共26页，星期六，2024年，5月第18页,共26页，星期六，2024年，5月代数悖论：第19页,共26页，星期六，2024年，5月数理逻辑诞生第20页,共26页，星期六，2024年，5月

数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生，在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。

现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。

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真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出版了《逻辑的数学分析》，给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事物的类，1表示全类，0表示空类；xy表示x和y的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；x＋y表示x和y两类所合成的类，运算是逻辑加法。

布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是类而是命题，则x＝1表示的是命题x为真，x＝0表示命题x为假，1－x表示x的否定等等。显然布尔的演算构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。第22页,共26页，星期六，2024年，5月非数值运算的推广

——集合运算

——语句运算第23页,共26页，星期六，2024年，5月康托的最大基数悖论、布拉里.福蒂悖论、罗素悖论，动摇了整个数学的基础。给数学提供一个可靠的基础：1）罗素的类型论2）策梅罗的公理集合论（ZFS系统）