2024年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质教案

PAGEPAGE19第4节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.1.思索辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数y＝tanx在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.2.(2024·福州质检)下列函数中，周期为π，且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增的是()A.y＝|sinx| B.y＝tan2xC.y＝cos2x D.y＝sin2x答案C解析对于A，y＝|sinx|的周期为π，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，不合要求；对于B，y＝tan2x的周期为eq\f(π,2)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))上单调递增，不合要求；对于C，y＝cos2x的周期为π，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增，符合要求；对于D，y＝sin2x的周期为π，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上不单调，不合要求.3.(2024·青岛调研)函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的定义域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(k,2)π－\f(π,8)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(k,2)π＋\f(π,8)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(k,2)π，k∈Z))))答案C解析要使函数有意义，则2x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x≠eq\f(k,2)π＋eq\f(π,8)，k∈Z，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(k,2)π＋\f(π,8)，k∈Z)))).4.(2024·全国乙卷)函数f(x)＝sineq\f(x,3)＋coseq\f(x,3)的最小正周期和最大值分别是()A.3π和eq\r(2) B.3π和2C.6π和eq\r(2) D.6π和2答案C解析因为函数f(x)＝sineq\f(x,3)＋coseq\f(x,3)＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin\f(x,3)＋\f(\r(2),2)cos\f(x,3)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,3)cos\f(π,4)＋cos\f(x,3)sin\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,4)))，所以函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,\f(1,3))＝6π，最大值为eq\r(2).5.(多选)(2024·广州一模)已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x，则()A.f(x)的最大值为3B.f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,8)对称C.f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，1))对称D.f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增答案BC解析f(x)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，则f(x)的最大值为eq\r(2)＋1，故A错误；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋\f(π,4)))＋1＝eq\r(2)＋1，则f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,8)对称，故B正确；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))＋\f(π,4)))＋1＝1，则f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，1))对称，故C正确；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，故当2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,8)))时，函数单调递增；当2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,4)))时，函数单调递减，故D错误.6.cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________.答案sin68°＞cos23°＞cos97°解析sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，∴sin68°＞cos23°＞cos97°.考点一三角函数的定义域和值域1.f(x)＝sin3xcosx－sinxcos3x的最大值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4) C.eq\f(\r(2),2) D.1答案B解析∵f(x)＝sin3xcosx－sinxcos3x＝sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－eq\f(1,2)sin2xcos2x＝－eq\f(1,4)sin4x，∴f(x)＝sin3xcosx－sinxcos3x的最大值为eq\f(1,4).2.函数y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定义域为________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＜x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))解析要使函数有意义，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx－\f(1,2)≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx≥\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2kπ＜x＜π＋2kπ，k∈Z，,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，))所以2kπ＜x≤eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＜x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)).3.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－sinx－2cos2x的值域为________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，2))解析因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8)，所以当sinx＝eq\f(1,4)时，ymin＝eq\f(7,8)，当sinx＝－eq\f(1,2)或sinx＝1时，ymax＝2.即函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，2)).4.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1))解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq\r(2)时，ymin＝－eq\f(1,2)－eq\r(2).∴函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).感悟提升1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1(1)(多选)(2024·临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是()A.y＝cos|2x| B.y＝|cosx|C.y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D.y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))答案ABC解析A中，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；C中，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π；D中，y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T＝eq\f(π,2).(2)(2024·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋θ＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))是偶函数，则θ的值为________.答案eq\f(π,6)解析∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z).又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴θ＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，解得θ＝eq\f(π,6)，经检验符合题意.(3)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(4π,3)，0))，k∈Zx＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z解析由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝eq\f(1,2)，因为f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))恒成立，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即eq\f(1,2)×eq\f(π,3)＋φ＝2kπ(k∈Z)，又∵|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，故f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))，令eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(4π,3)＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(4π,3)，0))，k∈Z.令eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.感悟提升(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，假如求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；假如求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，假如求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.(4)三角函数型奇偶性的推断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).训练1(1)(2024·北京卷)已知函数f(x)＝cosx－cos2x，则该函数为()A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为eq\f(9,8)D.偶函数，最大值为eq\f(9,8)答案D解析函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数.f(x)＝cosx－cos2x＝cosx－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,8)，又cosx∈[－1，1]，故f(x)的最大值为eq\f(9,8).(2)(多选)(2024·大连模拟)已知函数f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是()A.f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称D.f(x)的最大值为eq\r(3)答案AB解析由题可知f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).当x＝eq\f(π,3)时，2x＋eq\f(π,3)＝π，故函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称，故A正确；函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，故B正确；当x＝eq\f(π,6)时，2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝eq\f(π,6)对称，故C错误；函数f(x)的最大值为1，故D错误.考点三三角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间、比较大小例2(1)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，则f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))答案D解析由已知f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).(2)已知函数f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,7)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c答案A解析a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,7)))＝2coseq\f(13π,42)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2coseq\f(π,3)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝2coseq\f(5π,12)，因为y＝cosx在[0，π]上递减，又eq\f(13π,42)<eq\f(π,3)<eq\f(5π,12)，所以a>b>c.角度2依据三角函数的单调性求参数例3已知ω＞0，函数f(x)＝eq\f(1,2)cosωx－eq\f(\r(3),2)sin(π－ωx)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递增，则ω的取值范围是()A.[2，6] B.(2，6)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))答案C解析由已知f(x)＝eq\f(1,2)cosωx－eq\f(\r(3),2)sin(π－ωx)＝eq\f(1,2)cosωx－eq\f(\r(3),2)sinωx＝sinωxcoseq\f(5π,6)＋cosωxsineq\f(5π,6)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,6)))，又f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递增，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)≤\f(π,3)ω＋\f(5π,6)，,\f(π,2)ω＋\f(5π,6)≤2kπ＋\f(π,2)，))k∈Z，解得6k－4≤ω≤4k－eq\f(2,3)，由6k－4≤4k－eq\f(2,3)得k≤eq\f(5,3)，又ω＞0，k∈Z，因此k＝1，所以2≤ω≤eq\f(10,3).感悟提升1.求较为困难的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，留意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证解除法求解更为简捷.训练2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))单调递增的区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))答案A解析法一令－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,3)＋2kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(2π,3).因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))是函数f(x)的单调递增区间.法二当0<x<eq\f(π,2)时，－eq\f(π,6)<x－eq\f(π,6)<eq\f(π,3)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，故A正确；当eq\f(π,2)<x<π时，eq\f(π,3)<x－eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上不单调，故B不正确；当π<x<eq\f(3π,2)时，eq\f(5π,6)<x－eq\f(π,6)<eq\f(4π,3)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))上单调递减，故C不正确；当eq\f(3π,2)<x<2π时，eq\f(4π,3)<x－eq\f(π,6)<eq\f(11π,6)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上不单调，故D不正确.(2)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2) C.eq\f(3π,4) D.π答案A解析f(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，由题意得a>0，故－a＋eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，因为f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在[－a，a]上是减函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(π,4)≥0，,a＋\f(π,4)≤π，,a>0，))解得0<a≤eq\f(π,4)，所以a的最大值是eq\f(π,4).(3)已知ω>0，函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))解析由eq\f(π,2)<x<π，ω>0，得eq\f(ωπ,2)＋eq\f(π,4)<ωx＋eq\f(π,4)<ωπ＋eq\f(π,4)，又y＝sinx的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ，,ωπ＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ))k∈Z，解得4k＋eq\f(1,2)≤ω≤2k＋eq\f(5,4)，k∈Z.又函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，所以周期T＝eq\f(2π,ω)≥π，解得0＜ω≤2.所以ω∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).三角函数中ω的求解三角函数中ω的求解一般要利用其性质，解决此类问题的关键是：(1)若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满意的不等式(组)求解；(2)若已知函数的对称性，则依据三角函数的对称性探讨其周期性，进而可以探讨ω的取值；(3)若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.一、利用三角函数的周期求解例1为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为()A.98π B.eq\f(197,2)π C.eq\f(199,2)π D.100π答案B解析由题意，至少出现50次最大值即至少需用49eq\f(1,4)个周期，所以eq\f(197,4)T＝eq\f(197,4)·eq\f(2π,ω)≤1，所以ω≥eq\f(197,2)π.二、利用三角函数的单调性求解例2若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，3)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))答案D解析令eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq\f(3,2)π＋2kπ(k∈Z)，得eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)(k∈Z)，因为f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≤\f(π,3)，,\f(π,2)≤\f(3π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))(k∈Z)，解得6k＋eq\f(3,2)≤ω≤4k＋3(k∈Z).又ω＞0，所以k≥0，又6k＋eq\f(3,2)＜4k＋3(k∈Z)，得0≤k＜eq\f(3,4)(k∈Z)，所以k＝0.故eq\f(3,2)≤ω≤3.三、利用三角函数的最值、图象的对称性求解例3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq\f(π,4)为f(x)的零点，直线x＝eq\f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5答案B解析因为x＝－eq\f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq\f(π,4)为f(x)的图象的对称轴，所以eq\f(π,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\f(T,4)＋kT，即eq\f(π,2)＝eq\f(4k＋1,4)T＝eq\f(4k＋1,4)·eq\f(2π,ω)，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，所以eq\f(5π,36)－eq\f(π,18)＝eq\f(π,12)≤eq\f(T,2)＝eq\f(2π,2ω)，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.1.下列函数中，是周期函数的为()A.f(x)＝sin|x| B.f(x)＝tan|x|C.f(x)＝|tanx| D.f(x)＝(x－1)0答案C解析对于C，f(x＋π)＝|tan(x＋π)|＝|tanx|＝f(x)，所以f(x)是周期函数，其余均不是周期函数.2.下列函数中，是奇函数的是()A.y＝|cosx＋1| B.y＝1－sinxC.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tanx答案C解析选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin2x，所以是奇函数，选C.3.(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增答案ACD解析∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.∵y＝cos2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，∴f(x)＝－cos2x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增，故选ACD.4.假如函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))对称，那么|φ|的最小值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案A解析由题意得3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(4π,3)＋φ))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ＋2π))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，取k＝0，得|φ|的最小值为eq\f(π,6).5.若f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，则()A.f(1)＞f(2)＞f(3)B.f(3)＞f(2)＞f(1)C.f(2)＞f(1)＞f(3)D.f(1)＞f(3)＞f(2)答案A解析由eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)，可得eq\f(3π,8)≤x≤eq\f(7π,8)，所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))上单调递减，由于1＜eq\f(3π,8)＜2，且eq\f(3π,8)－1＜2－eq\f(3π,8)，故f(1)＞f(2).由于eq\f(3π,8)＜2＜eq\f(7π,8)＜3，且eq\f(7π,8)－2＞3－eq\f(7π,8)，故f(2)＞f(3)，所以f(1)＞f(2)＞f(3)，故选A.6.(多选)已知函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|，下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))单调递增C.f(x)在[－π，π]有4个零点D.f(x)的最大值为2答案AD解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确；当eq\f(π,2)<x<π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，故B不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.7.函数y＝eq\r(sinx－cosx)的定义域为________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)解析要使函数有意义，必需使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.在[0，2π]内，满意sinx＝cosx的x为eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5,4)π，k∈Z)).8.(2024·合肥调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))))，则下列说法正确的是________(填序号).①f(x)的周期是eq\f(π,2)；②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；③直线x＝eq\f(5π,3)是函数f(x)图象的一条对称轴；④f(x)的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.答案④解析函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝eq\f(5π,3)时，eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴x＝eq\f(5π,3)不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)＜kπ，k∈Z，可得2kπ－eq\f(2π,3)＜x＜2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z，④正确.9.(2024·北京海淀区一模)已知函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，那么常数ω的一个取值为________.答案eq\f(1,2)(答案不唯一)解析f(x)＝sinωx(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，则ω·eq\f(2π,3)≤eq\f(π,2)，ω·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))≥－eq\f(π,2)，∴0＜ω≤eq\f(3,4)，取一个该范围内的值即可，如ω＝eq\f(1,2).10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ＜\f(2π,3)))的最小正周期为π.(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；(2)若f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2)))，求f(x)的单调递增区间.解因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ).(1)当f(x)为偶函数时，φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，因为0＜φ＜eq\f(2π,3)，所以φ＝eq\f(π,2).(2)当f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3),2)))时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝eq\f(\r(3),2).又因为0＜φ＜eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,3)＜eq\f(π,3)＋φ＜π.所以eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(2π,3)，即φ＝eq\f(π,3).所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z).11.已知函数f(x)＝sin(2π－x)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))－eq\r(3)cos2x＋eq\r(3).(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,12)))时，求f(x)的最小值和最大值.解(1)由题意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－eq\r(3)cos2x＋eq\r(3)＝sinxcosx－eq\r(3)cos2x＋eq\r(3)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)(cos2x＋1)＋eq\r(3)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π；令2x－eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，故所求图象的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)(k∈Z).(2)当0≤x≤eq\f(7π,12)时，－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)，由函数图象(图略)可知，－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1.即0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)≤eq\f(2＋\r(3),2).故f(x)的最小值为0，最大值为eq\f(2＋\r(3),2).12.若函数f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω＞0)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为()A.(5，8) B.(5，8]C.(5，11] D.[5，11)答案B解析由题意，函数f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，可得eq\f(π,6)＜ωx＋eq\f(π,6)＜eq\f(π,6)(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满意π＜eq\f(π,6)(1＋ω)≤eq\f(3π,2)，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].13.(多选)(2024·青岛二模)已知函数f(x)＝2sinxcosx－eq\r(3)(sin2x－cos2x)，推断下列给出的四个命题，其中正确