高中数学讲义100微专题001命题形式变化及真假判定

1-中学数学必修一微专题1命题形式变更及真假判定一、基础学问：（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则（1）否命题：“若，则”（2）逆命题：“若，则”（3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成马上可，记为（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简洁地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是全是→不全是至少一个→都没有至多个→至少个小于→大于等于（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应变更，同时均变为：或→且且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：存在性命题：规律为：两变一不变①两变：量词对应发生变更（），条件要进行否定②一不变：所属的原集合的不变更（二）命题真假的推断：推断命题真假须要借助所学过的数学学问，但在一组有关系的命题中，真假性也存在肯定的关联。1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、，，如下列真值表所示：或真真真真假真假真真假假假且真真真真假假假真假假假假简而言之“一真则真”简而言之“一假则假”3、：与命题真假相反。4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可假：要证明中全部的元素均不能使命题成立二、典型例题例1：命题“若方程的两根均大于，则”的逆否命题是（）A.“若，则方程的两根均大于”B.“若方程的两根均不大于，则”C.“若，则方程的两根均不大于”D.“若，则方程的两根不全大于”思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“”的对立面是“”，“均大于”的对立面是“不全大于0”（留意不是：都不大于0），再调换依次即可，D选项正确答案：D例2：命题“存在”的否定是（）A．存在B．不存在C．对随意D．对随意思路：存在性命题的否定：要将量词变为“随意”，语句对应变更，但所在集合不变。所以变更后的命题为：“对随意”答案：D例3：给出下列三个结论（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”（3）命题“”的否定是“”，则以上结论正确的个数为（）A.3B.2C.1D.0思路：（1）中要推断的真假，则须要推断各自的真值状况，为假命题，则为真命题，所以一假一真，为真命题，（1）错误（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“或”的否定应当为“且”，所以（2）错误（3）全称命题的否定，要变更量词和语句，且的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确综上只有（3）是正确的答案：C例4：有下列四个命题①“若，则互为相反数”的逆命题②“全等三角形的面积相等”的否命题③“若，则有实根”的逆否命题④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为（）A.①②B.②③C.①③D.③④思路：①中的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题。②中的否命题为“假如两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要推断逆否命题的真假，则只需推断原命题即可。时，判别式，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“假如一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”明显是假命题。综上，①③正确答案：C小炼有话说：在推断四类命题的真假时，假如在写命题或推断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解例5：下列命题中正确的是（）A.命题“，使得”的否定是“，均有”B.命题“若，则”的否命题是“若，则”C.命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题D.命题“若，则”的逆否命题是真命题思路：分别推断4个选项的状况，A选项命题的否定应为“，均有”，B选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C选项的命题是正确的，菱形即满意条件，D选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可推断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D错误答案：B例6：假如命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（）A.命题“或”是假命题B.命题“或”是假命题C.命题“且”是真命题D.命题“且”是真命题思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在推断或利用条件时通常先推断每个命题的真假，再依据真值表进行推断。题目中以为入手点，可得是真命题，而因为且是假命题，所以只能是假命题。进而是真命题。由此可推断出各个选项的真假：只有C的推断是正确的答案：C例7：已知命题：若，则；命题：若，则，在命题①；②；③；④中，真命题是（）A.①③B.①④C.②③D.②④思路：可先推断出的真假，从而确定出复合命题的状况。命题符合不等式性质，正确，而命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为为假，为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项D正确答案：D例8：下列4个命题中，其中的真命题是（）A.B.C.D.思路：为存在性命题，所以只要找到符合条件的即可。可作出的图像，通过视察发觉找不到符合条件的；同样作图可得，所以正确；通过作图可发觉图像中有一部分，所以错误；在中，可得当时，，所以，正确。综上可得：正确答案：D小炼有话说：（1）在推断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简洁的推断，假如找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中运用的数形结合，而通过选择中间量推断。例9：已知命题，命题，若为假命题，则实数的取值范围是（）A.B.或C.D.思路：因为为假命题，所以可得均为假命题。则为真命题。。解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。解：为假命题均为假命题为真命题对于当时，对于，设，由图像可知：若成立，则，解得：或所以综上所述：小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，依据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟识的形式以便于求解例10：设命题函数的定义域为；命题，不等式恒成立，假如命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围思路：由“”为真命题可得至少有一个为真，由“”为假命题可得至少有一个为假。两种状况同时存在时，只能说明是一真一假。所以分为假真与真假进行探讨即可解：命题“”为真命题，且“”为假命题一真一假若假真，则函数的定义域不为恒成立或若真假，则函数的定义域为或，不等式解得综上所述：三、近年模拟题题目精选：1、（2014河南高三模拟，9）已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述:①若为真命题，则为真命题②“”是“”的充分不必要条件③命题，使得，则，使得④命题：“若，则或”的逆否命题为：“若或，则”其中错误命题的个数为（）A．1B．2C．3 D．43、（2014成都七中三月模拟，4）已知命题，命题，则（）A.命题是假命题B.命题是真命题C.命题是假命题D.命题是真命题4、（2014新津中学三月月考，6）已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5、（2014新课标全国卷I）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：其中真命题是（）A.B.C.D.习题答案：1、答案：C解析：分别推断真假，令，可得由零点存在性定理可知，使得，为真；通过作图可推断出当时，，故为假；结合选项可得：为真2、答案：B解析：推断每个命题：①若真假，则为真命题，为假命题，故①错误；②不等式的解为或，由命题所对应的集合关系可推断出②正确；③存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变