中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题十二函数的实际应用举例(原卷版+解析)

函数的实际应用举例思维导图知识要点知识要点1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝a＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与幂函数相关模型f(x)＝a＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)分段函数模型由两个或两个以上的表达式组成2.函数的实际应用解题的重要步骤：第一步：读懂题意，弄清题目中的相关量及其数学含义；第二步：设出未知量(如何设、带不带单位、取值范围是否有限制)，并建立相应的目标函数(最常见函数模型有二次函数与分段函数)；第三步：列式(弄清“利润”“路程”“面积”等一些基本常识)并求解；第四步：验证．把解出的数学结论放回到实际问题中去检验得到符合条件的结论．典例解析典例解析【例1】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是()【变式训练1】汽车由重庆驶往相距400km的成都，如果汽车的平均速度是100km/h，那么汽车距成都的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图像表示为()【例2】甲、乙两人在一次活动中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．乙比甲先出发B．甲比乙跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点【变式训练2】某长途汽车公司对乘客携带行李作如下规定：一个乘客可免费携带30千克行李，如果超过30千克，那么超过部分每千克收行李费2元．设一个乘客的行李重为x千克(x>30)，则行李费y(元)关于行李重量x(千克)的函数关系式为()A．y＝2x B．y＝2x－30C．y＝2(x－30) D．y＝2(30－x)【例3】某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20时，按2元/计算，月用水量超过20时，其中的20m3还按2元/计算，超过部分按2.6元/计算，设某户家庭月用水量x，应交水费y元．(1)求y与x的函数表达式；(2)小亮家第二季度用水情况如下：月份4月5月6月用水量/m3151721小亮家这个季度共缴纳水费多少元？【变式训练3】国家规定个人稿费纳税办法如下：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税350元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A．2500元 B．3180元 C．3300元 D．3800元【例4】如图所示，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P点处有一水龙头(不考虑水龙头的粗细)，与两墙的距离分别为4米和a米(a≤12)．现在要用16米长的篱笆，借助原有墙角围成一个矩形的花圃ABCD，要求将水龙头围在花圃内．设AD＝x米．(1)确定花圃ABCD的面积S与x之间的函数关系式(要求给出x的取值范围)；(2)当a＝3时，求使花圃面积最大的x的值．【变式训练4】长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．2 B．3 C．4 D．6高考链接高考链接1．一个工厂生产A产品，每年需要固定投资80万元，此外每生产1件A产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件，当x≤20时，年销售总收入为(33x－)万元；当x>20时，年销售总收入为(260＋1.1x)万元，需另增广告宣传费用0.7x万元．(1)写出该工厂生产并销售A产品所得年利润y(万元)与年产量x(件)的函数解析式；(2)年产量为多少件时，所得年利润最大．2．(四川省2015年对口升学考试试题)某商品的进价为每件50元．根据市场调查，如果售价每件50元时，每天可卖出400件；商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件．设每件商品的售价定为x元(x≥50，x∈N)．(1)求每天销售量与自变量x的函数关系式；(2)求每天销售利润与自变量x的函数关系式；(3)每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？3.(四川省2016年对口升学考试试题)A市居民生活用水原收费标准为4元/，为保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下：第一阶梯：每户用水量不超过25的部分(含25)，按3元/计费；第二阶梯：每户用水量超过25且不超过35m3的部分(含35)，按4元/计费；第三阶梯：每户用水量超过35的部分，按6元/计费．若当某户月用水量为30时，该户当月应缴水费为3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假设某户月用水量为x时，当月应缴水费为y元．(1)求调整收费标准后y与自变量x的函数关系；(2)当某户用水量超过多少时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？同步精练同步精练选择题1．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林()A．14400亩 B．172800亩C．17280亩 D．20736亩2．某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的爱好，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是()A．y是w的函数 B．z是y的函数C．w是y的函数 D．z是x的函数3．用一根6米长的木条锯成几段围成一个日字形窗框，则窗户最大透光面积为()A．18平方米 B.平方米 C．12平方米 D．6平方米4．一个铅球被抛出后，如果距离地面的高度h(m)和运行时间t(s)的函数解析式为h＝－10t2＋20t＋2，那么小球到达最高点时距离地面的高度是()A．2m B．6mC．12m D．10m5．周长为定值l的矩形，若矩形面积最大，则边长a等于()A. B. C. D.6．李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－10000和L2＝300x－1000(其中x为销售辆数)．若某月两连锁店共销售了100辆，则能获得的最大利润为()A．22000 B．29000 C．30500 D．37000用长为24米的铁丝围成一个长方形，则使得长方形面积最大的长为________米．8．直径R＝80cm的圆柱形木料，要锯成截面为矩形的木材，为节约原料，则其长宽之比应为．9．某市出租车起步价5公里以内为10元，每超过一公里加1元，则某人坐车x公里与坐车费用y元的关系式为．10．某礼花的升空高度h(m)和飞行时间t(s)的关系式为h＝－＋2t＋3，若这种礼花在点火升空到最高处时引爆，则点火升空到引爆所需时间为______s.解答题11．心理学家发现，学生的注意力集中程度与教师的讲授时间之间存在依赖关系：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．设x为教师讲授时间(单位：min)，f(x)为学生的注意力集中程度[f(x)的值越大，表示学生的注意力集中程度越高]，f(x)与x之间的关系可由以下函数表示：f(x)＝(1)讲授第5min时和讲授第20min时比较，何时学生的注意力更集中？(2)请分析学生的注意力集中程度最高的时间段．12．某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个；如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个．为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？13.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式．14．某木工师傅想从形状为等腰直角三角形的木板PQR中切去三个角，使剩余部分ABCD是一个矩形，已知PR＝4米，当矩形的边AB取多少米时，才能使其面积最大，最大面积是多少？函数的实际应用举例思维导图知识要点知识要点1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝a＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与幂函数相关模型f(x)＝a＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)分段函数模型由两个或两个以上的表达式组成2.函数的实际应用解题的重要步骤：第一步：读懂题意，弄清题目中的相关量及其数学含义；第二步：设出未知量(如何设、带不带单位、取值范围是否有限制)，并建立相应的目标函数(最常见函数模型有二次函数与分段函数)；第三步：列式(弄清“利润”“路程”“面积”等一些基本常识)并求解；第四步：验证．把解出的数学结论放回到实际问题中去检验得到符合条件的结论．典例解析典例解析【例1】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是(C)【思路点拨】抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可．【变式训练1】汽车由重庆驶往相距400km的成都，如果汽车的平均速度是100km/h，那么汽车距成都的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图像表示为(C)【提示】函数关系为s＝400－100t(0≤t≤4)，图像为C.【例2】甲、乙两人在一次活动中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(D)A．乙比甲先出发B．甲比乙跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点【思路点拨】根据图形可知甲、乙两人同时出发，经过同样的路程，由于甲的速度快，∴甲先到达．【变式训练2】某长途汽车公司对乘客携带行李作如下规定：一个乘客可免费携带30千克行李，如果超过30千克，那么超过部分每千克收行李费2元．设一个乘客的行李重为x千克(x>30)，则行李费y(元)关于行李重量x(千克)的函数关系式为(C)A．y＝2x B．y＝2x－30C．y＝2(x－30) D．y＝2(30－x)【提示】超重(x－30)千克，超过部分每千克收行李费2元，所以共收2(x－30)元．【例3】某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20时，按2元/计算，月用水量超过20时，其中的20m3还按2元/计算，超过部分按2.6元/计算，设某户家庭月用水量x，应交水费y元．(1)求y与x的函数表达式；(2)小亮家第二季度用水情况如下：月份4月5月6月用水量/m3151721小亮家这个季度共缴纳水费多少元？【思路点拨】分段函数是对口考试的热点问题，现实生活中很多问题都是用分段函数表示的，关键是弄清分段的条件及该如何分.答案：解：(1)y＝(2)4月水费为15×2＝30元，5月水费为17×2＝34元，6月水费为20×2＋2.6×1＝42.6元，第二季度共缴纳水费为30＋34＋42.6＝106.6元．答：小亮家第二季度共缴纳水费106.6元．【变式训练3】国家规定个人稿费纳税办法如下：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税350元，则这个人应得稿费(扣税前)为(C)A．2500元 B．3180元 C．3300元 D．3800元【提示】y＝【例4】如图所示，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P点处有一水龙头(不考虑水龙头的粗细)，与两墙的距离分别为4米和a米(a≤12)．现在要用16米长的篱笆，借助原有墙角围成一个矩形的花圃ABCD，要求将水龙头围在花圃内．设AD＝x米．(1)确定花圃ABCD的面积S与x之间的函数关系式(要求给出x的取值范围)；(2)当a＝3时，求使花圃面积最大的x的值．【思路点拨】注意面积公式和实际条件．答案：解：(1)设AD＝x，CD＝(16－x)，S＝x(16－x)＝－＋16x，x∈(a，12)．(2)S＝－＋64，当a＝3时，x∈(3，12)，此时x＝8，S有最大值，Smax＝64()．【变式训练4】长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(B)A．2 B．3 C．4 D．6【提示】由题意，设隔墙的长度为x，则S＝x(12－2x)＝－2＋18，当x＝3，面积最大．高考链接高考链接1．一个工厂生产A产品，每年需要固定投资80万元，此外每生产1件A产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件，当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为(260＋1.1x)万元，需另增广告宣传费用0.7x万元．(1)写出该工厂生产并销售A产品所得年利润y(万元)与年产量x(件)的函数解析式；(2)年产量为多少件时，所得年利润最大．解：(1)由题意得，y＝(2)当0≤x≤20时，y＝－(x－16)2＋176⇒x＝16，ymax＝176；当x>20时，ymax＝－0.6×20＋180＝168.综上，当x＝16时，ymax＝176万元，为最大值．2．(四川省2015年对口升学考试试题)某商品的进价为每件50元．根据市场调查，如果售价每件50元时，每天可卖出400件；商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件．设每件商品的售价定为x元(x≥50，x∈N)．(1)求每天销售量与自变量x的函数关系式；(2)求每天销售利润与自变量x的函数关系式；(3)每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？解：(1)设销售量为y件，y＝400－(x－50)×10⇒y＝900－10x，x∈[50，90]．(2)设利润为z元，z＝y(x－50)＝－10＋1400x－45000，x∈[50，90]．(3)由配方法，得z＝－10＋4000，当x＝70时，zmax＝4000元．3.(四川省2016年对口升学考试试题)A市居民生活用水原收费标准为4元/，为保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下：第一阶梯：每户用水量不超过25的部分(含25)，按3元/计费；第二阶梯：每户用水量超过25且不超过35m3的部分(含35)，按4元/计费；第三阶梯：每户用水量超过35的部分，按6元/计费．若当某户月用水量为30时，该户当月应缴水费为3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假设某户月用水量为x时，当月应缴水费为y元．(1)求调整收费标准后y与自变量x的函数关系；(2)当某户用水量超过多少时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？解：(1)由题意得y＝(2)分析知，当x≤35时不满足题意，当x>35时，有6x－95>4x⇒x>47.5，故当x≥48时，调整后收费标准超过原收费标准．同步精练同步精练选择题1．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(C)A．14400亩 B．172800亩C．17280亩 D．20736亩【提示】10000＝17280.2．某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的爱好，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是(C)A．y是w的函数 B．z是y的函数C．w是y的函数 D．z是x的函数【提示】函数的定义．3．用一根6米长的木条锯成几段围成一个日字形窗框，则窗户最大透光面积为(B)A．18平方米 B.平方米 C．12平方米 D．6平方米4．一个铅球被抛出后，如果距离地面的高度h(m)和运行时间t(s)的函数解析式为h＝－10＋20t＋2，那么小球到达最高点时距离地面的高度是(C)A．2m B．6mC．12m D．10m【提示】h＝－10(t－1)2＋12，当t＝1时，h＝12.5．周长为定值l的矩形，若矩形面积最大，则边长a等于(C)A. B. C. D.6．李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5＋900x－10000和L2＝300x－1000(其中x为销售辆数)．若某月两连锁店共销售了100辆，则能获得的最大利润为(D)A．22000 B．29000 C．30500 D．37000【提示】设其中一家销售x辆，则另一家销售(100－x)辆．总利润S＝－5＋900x－10000＋300(100－x)－1000＝－5＋3700.∴当x＝60时，S取值最大值，Smax＝37000.用长为24米的铁丝围成一个长方形，则使得长方形面积最大的长为___6_____米．【提示】设长为x，宽为12－x，S＝x(12－x)＝－＋36.8．直径R＝80cm的圆柱形木料，要锯成截面为矩形的木材，为节约原料，则其长宽之比应为1∶1．【提示】当截面为正方形时，面积最大．9．某市出租车起步价5公里以内为10元，每超过一公里加1元，则某人坐车x公里与坐车费用y元的关系式为．10．某礼花的升空高度h(m)和飞行时间t(s)的关系式为h＝－＋2t＋3，若这种礼花在点火升空到最高处时引爆，则点火升空到引爆所需时间为___1___s.【提示】h＝－＋4，当t＝1时，hmax＝4.解答题11．心理学家发现，学生的注意力集中程度与教师的讲授时间之间存在依赖关系：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．设x为教师讲授时间(单位：min)，f(x)为学生的注意力集中程度【f(x)的值越大，表示学生的注意力集中程度越高】，f(x)与x之间的关系可由以下函数表示：f(x)＝(1)讲授第5min时和讲授第20min时比较，何时学生的注意力更集中？(2)请分析学生的注意力集中程度最高的时间段．解：(1)∵5∈(0，10]，∴f(5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5.又20∈[16，40)，∴f(20)＝－3×20＋107＝47.∵f(5)＝53.5>f(20)＝47，∴讲授第5min时学生的注意力更集中．(2)当x∈(0，10]时，f(x)＝－0.1＋2.6x＋43＝－0.1＋59.9，∴