高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.6数学归纳法(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题7.6数学归纳法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．【知识点展示】数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【常考题型剖析】题型一：利用数学归纳法证明不等式例1.(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明例2.(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列满足：，且，（n为正整数）．(1)计算：，，的值；(2)猜测的通项公式，并证明；(3)设，问是否存在使不等式对于一切的正整数均成立的最大整数p，若存在请求出，若不存在，请说明理由．例3．(2023·浙江·高考真题）已知数列满足：，证明：当时，（I）；（II）；（III）.【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化题型二：归纳、猜想、证明例4.(2023·全国·高二课时练习）数列中，，，，成等差数列，分别计算，，的值，猜想的表达式为______．例5.（2023·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．例6.(2023·广东·高考真题（理））设数列的前项和为，满足，，且.（1）求、、的值；（2）求数列的通项公式.【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．题型三：利用数学归纳法证明等式例7．（2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．例8.(2023·江苏·高考真题）已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．专题7.6数学归纳法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．【知识点展示】数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【常考题型剖析】题型一：利用数学归纳法证明不等式例1.(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明答案：（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.【详解】（1）由，是，的等差中项，可得，即，即，解得或，又因为，所以，又由，所以，因为数列的前项和为，当时，，当时，，当时，满足上式，所以，所以.（2）先用数学归纳法证明当，，①当时，，左式>右式，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立.由①②得证当，，所以.例2.(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列满足：，且，（n为正整数）．(1)计算：，，的值；(2)猜测的通项公式，并证明；(3)设，问是否存在使不等式对于一切的正整数均成立的最大整数p，若存在请求出，若不存在，请说明理由．答案：(1)，，(2)，证明见解析(3)最大整数【解析】分析：（1）将依次代入递推关系式即可；（2）由可猜想得到；利用数学归纳法可证得猜想；（3）分离变量得，令，通过计算可知，由此可得.(1)由题意得：；，(2)猜想：；证明：当时，，满足；假设当时，成立，那么当时，，即当时，成立；综上所述：对于任意，成立.(3)由（2）得：，；若恒成立，则；令，则，；，，即递增，，，又为整数，最大整数.例3．(2023·浙江·高考真题）已知数列满足：，证明：当时，（I）；（II）；（III）.答案：（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】分析：（I）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，构造函数，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由及，递推可得.【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：．当时，．假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此，所以，因此．（Ⅱ）由得，．记函数，，函数在上单调递增，所以，因此，故．（Ⅲ）因为，所以，由，得，所以，故．综上，．【名师点睛】本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化题型二：归纳、猜想、证明例4.(2023·全国·高二课时练习）数列中，，，，成等差数列，分别计算，，的值，猜想的表达式为______．答案：【解析】分析：由题意可得，再利用，可依次求出，，的值，从而可猜想，然后利用数学归纳法证明即可【详解】因为数列中，，，，成等差数列，所以，得，当时，，当时，，当时，，由此可猜想，证明如下：当时，成立，假设当时，成立，即，则当时，，所以当时成立，所以故答案为：例5.（2023·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．答案：（1），，，证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；［方法二］：构造法由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．［方法三］：累加法由题意可得，．由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．［方法四］：构造法，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：错位相减法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最优解】：裂项相消法，所以．［方法三］：构造法当时，，设，即，则，解得．所以，即为常数列，而，所以．故．［方法四］：因为，令，则，，所以．故．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．例6.(2023·广东·高考真题（理））设数列的前项和为，满足，，且.（1）求、、的值；（2）求数列的通项公式.答案：（1），，；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）由代入，得到，然后由的值逐步算出与的值，然后利用求出、、的值；（2）利用（1）中的结论归纳出的通项公式，并以此归纳出的表达式，然后利用数学归纳法证明数列的通项公式的正确性.试题解析：（1）由得，整理得，因此有，即，解得，同理有，即，解得，，，；（2）由题意得，由（1）知，，，猜想，假设当时，猜想成立，即，则有，则当时，有，这说明当时，猜想也成立，由归纳原理知，对任意，.【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．题型三：利用数学归纳法证明等式例7．（2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．答案：（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：

由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法

由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；例8.(2023·江苏·高考真题）已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.答案：（1）13（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意按分类计数：共13个（2）由（1）知，所以当时，的表达式要按除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：（1）．（2）当时，（）．下面用数学归纳法证明：①当时，，结论成立；②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情