高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)5.4正、余弦定理(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

5.4正、余弦定理（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一判断三角形的形状【例1】(2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（

）A．若，则是锐角三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若，则是等边三角形【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．(2023·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形3．(2023·全国·高三专题练习）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形4．(2023·全国·高三专题练习）（多选）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（

）．A．若，则是等边三角形B．若，则是等边三角形C．若，则是等边三角形D．若，则是等边三角形考点二最值问题【例2-1】(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【例2-2】(2023·江西·上饶市第一中学二模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.【例2-3】(2023·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.3．(2023·全国·高三专题练习）已知锐角外接圆的半径为，内角，，所对边分别为，，，，则的取值范围是____.4．(2023·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.(1)求边AC的长；(2)求四边形ABCD周长的最大值.5．(2023·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范围.考点三三角形解的个数【例3-1】(2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（

）A．无解 B．一解C．两解 D．解的个数不确定【例3-2】(2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3-3】(2023·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）在中，，则“”是“有两个解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（

）A．B．C．D．考点四几何中的正余弦定理【例4】(2023·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则___________，的面积是___________.【一隅三反】1．(2023·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面积；(2)若，，，求∠ACB的值．2．(2023·陕西渭南·二模）如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，求：(1)的值；(2)边的长.3．(2023·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．考点五正余弦定理与平面向量的综合运用【例5】(2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（

）A． B． C． D．【一隅三反】（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论:①；②为锐角三角形；③；④其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．(2023·全国·高三专题练习）在中，若，则是的形状为（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．钝角三角形3．(2023·广东佛山·二模）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（）A．0 B．1 C．3 D．54．(2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（

）A． B． C． D．考点六正余弦定理与其他知识的综合运用【例6-1】(2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点．，，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【例6-2】(2023·辽宁·育明高中高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且的面积为，且恒成立，则的最小值为________．【一隅三反】1．(2023·全国·模拟预测）已知，是双曲线（，）的左､右焦点，点M为双曲线的左支上一点，满足，且，则该双曲线的离心率（

）A． B． C． D．22．(2023·江西·模拟预测（理））在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则在的值域为（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·哈师大附中模拟预测（理））椭圆C：（）的左焦点为点F，过原点O的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ=120°，，，则椭圆C的离心率为________．5.4正、余弦定理（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一判断三角形的形状【例1】(2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（

）A．若，则是锐角三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若，则是等边三角形答案：ACD【解析】对于A，因为，所以，，因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；对于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；对于C：由及正弦定理化边为角，可知，即，因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；故选：ACD.【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案：A【解析】∵，可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴为直角三角形，且，故选：A.2．(2023·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形答案：B【解析】设，△的内切圆半径为r，如图所示，法一：∴①；②.①÷②，得：，即．于是，，，从而得或，∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，，从而得．又，代入①式，得，即，上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，∴△为等腰直角三角形．（2）当时，易得．代入②式，得，此式恒成立，综上，△为直角三角形．法二：利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.∴③；④.由③和④得：，即，，因为为三角形内角，∴或，即或．（1）若，代入③得：⑤又，将其代入⑤，得：．变形得，即⑥，由知A为锐角，从而知．∴由⑥，得：，即，从而，．因此，△为等腰直角三角形．（2）若，即，此时③④恒成立，综上，△为直角三角形．故选：B3．(2023·全国·高三专题练习）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形答案：A【解析】，可得，整理，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A4．(2023·全国·高三专题练习）（多选）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（

）．A．若，则是等边三角形B．若，则是等边三角形C．若，则是等边三角形D．若，则是等边三角形答案：BCD【解析】A，若，由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；B，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等边三角形，正确．C，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等边三角形，正确．D，若，∴，时，是等边三角形；时，研究函数的单调性，，时，，∴函数在上单调递减，因此不成立．综上可得：是等边三角形，正确．故选：BCD．考点二最值问题【例2-1】(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，，即，，，，，，，则当时，，.故选：A.【例2-2】(2023·江西·上饶市第一中学二模（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D在边上，且，则的最大值是___________.答案：【解析】由，得，因为，，所以，设外接圆的圆心为，半径为，则由正弦定理得，如图所示，取的中点，在中，；在中，，当且仅当圆心在上时取等号，所以的最大值是，故答案为：．【例2-3】(2023·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，，故题干条件可化为，由余弦定理得，故，又由正弦定理化简得：，整理得，故或（舍去），得为锐角三角形，故，解得，故故选：C【一隅三反】1．(2023·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.答案：【解析】，化简得：，由正弦定理可得：,，，即，,或，即或，又，，即,，又，，当仅当时等号成立，，即，.故答案为：2．(2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acosC＋b＝0，则tanB的最大值是________.答案：【解析】在ABC中，因为3acosC＋b＝0，所以C为钝角，由正弦定理得3sinAcosC＋sin(A＋C)＝0，3sinAcosC＋sinAcosC＋cosAsinC＝0，所以4sinAcosC＝－cosA·sinC，即tanC＝－4tanA.因为tanA>0，所以tanB＝－tan(A＋C)＝－＝＝＝≤＝，当且仅当tanA＝时取等号，故tanB的最大值是.故答案为：3．(2023·全国·高三专题练习）已知锐角外接圆的半径为，内角，，所对边分别为，，，，则的取值范围是____.答案：【解析】因为，所以，，所以，因为，，所以，所以，故，即，所以的取值范围是.故答案为：.4．(2023·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.(1)求边AC的长；(2)求四边形ABCD周长的最大值.答案：(1)(2)10【解析】(1)因为依次成等差数列，所以，又，所以,又，则由余弦定理得:，所以.(2由圆内接四边形性质及，知，在中，由余弦定理得，又因为（当且仅当时“=”成立），所以，即，则四边形ABCD周长最大值.5．(2023·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范围.答案：(1)(2)【解析】(1)因为，所以由正弦定理可得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以(2)因为，所以,由正弦定理得，，所以，因为为锐角三角形，所以，得，所以，所以，所以，，所以，即的取值范围为考点三三角形解的个数【例3-1】(2023·全国·高三专题练习）在中，，，，则此三角形（

）A．无解 B．一解C．两解 D．解的个数不确定答案：C【解析】在中，，，，由正弦定理得，而为锐角，且，则或，所以有两解．故选：C【例3-2】(2023·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，即,则由，解得,则当有两解时，，则，所以，故选：.【例3-3】(2023·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因为这个三角形有两解，故满足，即，解得.故选：B【一隅三反】1．(2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，到的距离，当时，三角形无解，当时，三角形有一解，当时，三角形有两解，当时，三角形有一解．故选：．2．(2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，，由正弦定理可得，所以，又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，解得.故选：C.3．(2023·全国·高三专题练习）在中，，则“”是“有两个解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】，若有两个解，则，即，即，“”是“有两个解”的必要不充分条件.故选：B.4．(2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（

）A．B．C．D．答案：D【解析】选项A.由余弦定理可得的三边分别为，所以满足条件的三角形只有一个.选项B.，则,由正弦定理可得所以，的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.选项C.由，则由正弦定理可得所以,由则，所以角为一确定的角，且，则角角为一确定的角，从而边也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.选项D.作,在的一条边上取，过点作垂直于的另一边，垂足为.则,以点为圆心，4为半径画圆弧，因为，所以圆弧与的另一边有两个交点所以均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.故选：D考点四几何中的正余弦定理【例4】(2023·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是线段的三等分点（靠近点），若，则___________，的面积是___________.答案：

【解析】在中，因为，可得，由，且，在中，由正弦定理，可得，因为，所以为锐角，所以，又由，所以，所以，设，因为且点是线段的三等分点，可得，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，所以，所以的面积为.故答案为：；.【一隅三反】1．(2023·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面积；(2)若，，，求∠ACB的值．答案：(1)(2)∠ACB=【解析】(1)在△ABC中，，因为，所以．．(2)设，则，，．在△ACD中，由，得．在△ABC中，由，得．联立上式，并由得，整理得，所以，因为，所以，所以，解得，即∠ACB的值为．2．(2023·陕西渭南·二模）如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，求：(1)的值；(2)边的长.答案：(1)(2)【解析】(1)在中,由余弦定理的推论得,,,,(2),,,,在中,由正弦定理得,3．(2023·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．答案：(1)(2)【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得，在中，由余弦定理，得，因为，所以．解法2、由题意可得，，由AM为边BC上的中线，则，两边同时平方得，，故，因为M为BC边中点，则的面积为面积的，所以，即，化简得，．(2)解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因为BN为边AC上的中线，所以，，，即．所以．考点五正余弦定理与平面向量的综合运用【例5】(2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，所以所以，当且仅当时，取等号；所以，当且仅当时，取等号；故选：C【一隅三反】（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论:①；②为锐角三角形；③；④其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】由AH为BC边上的高，∴，而，故，①正确；知：向量的夹角为钝角，即为锐角，而无法判断是否为锐角三角形，②错误；，③正确；，④正确.故选：C2．(2023·全国·高三专题练习）在中，若，则是的形状为（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．钝角三角形答案：C【解析】由，可得，又由余弦定理，可得，整理得，所以是直角三角形.故选：C.3．(2023·广东佛山·二模）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（）A．0 B．1 C．3 D．5答案：C【解析】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，在中，，则，即，，同理，因此，，由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，所以的最大值为3.故选：C4．(2023·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，所以所以，当且仅当时，取等号；所以，当且仅当时，取等号；故选：C考点六正余弦定理与其他知识的综合运用【例6-1】(202