高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向16利用导数研究函数的极值与最值(重点)(原卷版+解析)

考向16利用导数研究函数的极值与最值【2022·全国·高考真题（理）】当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.【2022·全国·高考真题（文）】函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D1．由图象判断函数的极值，要抓住两点：（1）由的图象与x轴的交点，可得函数的可能极值点；（2）由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性．两者结合可得极值点．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．3．求函数在闭区间内的最值的思路（1）若所给的闭区间不含有参数，则只需对函数求导，并求在区间内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．1．(2023·山西太原·三模（文））已知函数（1）若在时取得极小值，求实数k的值；（2）若过点可以作出函数的两条切线，求证：2．(2023·湖北·模拟预测）已知函数，（）．（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；（2）若，为的两个极值点，证明：．3．(2023·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．4．(2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若，，求的最大值．5．(2023·山东菏泽·高三期末）设函数．（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．6．(2023·北京市第九中学模拟预测）已知．（1）当时，判断函数零点的个数；（2）求证：．1．(2023·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知函数的最小值分别为，则（

）A． B． C． D．的大小关系不确定2．(2023·北京·北大附中三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（

）A．4 B．8 C． D．3．(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数为定义在上的增函数，且对，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2023·江西省丰城中学模拟预测（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（

）A． B． C． D．6．(2023·广东广州·三模）设为函数的导函数，已知，则（

）A．在单调递增B．在单调递减C．在上有极大值D．在上有极小值7．(2023·全国·模拟预测（文））下列结论正确的是（

）A．设函数，其中a，，当a＝－3，时，函数有两个零点B．函数没有极值点C．关于x的方程在区间上仅有一个实根，则实数a的取值范围为D．函数有两个零点8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．9．(2023·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（多选题）(2023·湖南·湘潭一中高三阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数只有一个零点B．函数只有极大值而无极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若当时，，则t的最大值为211．（多选题）(2023·重庆八中模拟预测）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（

）A．是的最小值点B．是的极大值点C．是的极大值点D．是的极大值点12．（多选题）(2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，其导函数为，给出以下命题正确的是（

）A．的单调递减区间是B．的极小值是C．当时，对任意的且，恒有D．函数有且只有一个零点13．（多选题）(2023·全国·模拟预测）已知函数，，若，不等式恒成立，则正数的取值可以是（

）A． B． C． D．14．（多选题）(2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A．的定义域是B．若直线和的图像有交点，则C．D．15．(2023·福建·福州三中高三阶段练习）如果两个函数存在零点，分别为，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“2度零点函数”，则实数的最大值为___________.16．(2023·浙江湖州·模拟预测）设，若存在，使得，则称函数与互为“n度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为_____________．17．(2023·河南省杞县高中模拟预测（理））实数x，y满足，则的值为______．18．(2023·河南新乡·高三期末（文））已知函数在x＝2处取得极小值，则______．19．(2023·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是________．20．(2023·全国·高三专题练习（理））已知x＝是函数的极值点，则a＝________.21．(2023·江苏无锡·模拟预测）已知函数，其中m＞0，f'(x)为f(x)的导函数，设，且恒成立．(1)求m的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f'(x)的极小值点为x1，求证：x0＞x1．22．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，．(1)若，求函数的极值；(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围．23．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范围．24．(2023·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)设函数的最大值为m，证明：.25．(2023·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：.26．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：27．(2023·山东师范大学附中高三期中）设函数(1)当时，求的单调区间；(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明28．(2023·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数，曲线在处的切线与直线垂直.(1)设，求的单调区间；(2)当，且时，，求实数的取值范围.29．(2023·北京市大兴区兴华中学三模）设函数，．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，恒成立，求a的取值范围；(3)求证：当时，．1．(2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．12．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．5．（2023·全国·高考真题）函数的最小值为______.6．(2023·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．7．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．8．（2023·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．9．（2023·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．10．（2023·全国·高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．1．【解析】（1）解：∴，∴当时，令，得∴在单调递减，在单调递增，所以在时取得极小值，∴（2）证明：设切点为，∴切线为，又切线过点，∴∴，（*）设则∴在单词递减，在单调递增．∵过点可作的两条切线，∴方程（*）有两解∴，由，得∴，即．2．【解析】（1）（1），，若存在两个极值点，则在上有两个根，所以有两个根，即与，有两个交点，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以时，，所以，所以的取值范围为．（2）证明：由（1）知，且，，所以，所以只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令，，所以单调递减，则有（1）．3．【解析】（1）当时，定义域为，，，，故在点处的切线方程为：，即；（2）由题意得：，，故，此时，经检验，符合要求，，令时，，，令得：或，令得：，的单调递增区间为，，单调递减区间为；又当时，恒成立，当时，恒成立，故，，即最大值为，最小值为．4．【解析】（1），当时，当恒成立，在上单调递增；当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）依题意得对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，则在上单调递增，，当时，，即；当时，，即，在上单调递减，在上单调递增，，，故的最大值为．5．【解析】（1）解：由题意，函数，则，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，，所以所求三角形的面积为．（2）解：由，则，所以函数为增函数，又因为，所以当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为．即函数在区间上的最大值为，最小值为．6．【解析】（1）当时，，，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，所以函数零点的个数是1．（2），令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，，，所以当时，成立．1．答案：A【解析】令，则，∵当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，∴（当且仅当时“”成立），，（当且仅当时，“”成立），，.所以故选：A2．答案：D【解析】设，，，，则，则有和，代入，解得：，令和，导函数，即可得的最大值在时取得，此时，求得此时，故选：D.3．答案：D【解析】∵，，∴，∵不等式对恒成立，∴对恒成立，∵函数为定义在上的增函数，∴，化为：，令，则，时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减.∴时，函数取得极大值..∴.则实数a的取值范围是.故选：D.4．答案：D【解析】解：，，若函数在上有最小值，即在先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点是，，则切线方程是：，将代入切线方程得：，故切点是，切线的斜率是1，只需即可，解得，即，故选：D．5．答案：B【解析】解：因为，，所以有两个不同的实数解，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．故选：B．6．答案：D【解析】由题意知：，，令，则，显然当时，，单减，当时，，单增，故A，B错误；在上有极小值，令，则，又，则，故在上有极小值，C错误；D正确.故选：D.7．答案：C【解析】A.因为函数，所以，令，得，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，又，所以，所以函数有一个零点，故错误；B.因为，所以，当时，，当时，，所以是的极小值点，故错误；C.令，则，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为方程在区间上仅有一个实根，所以或，解得或，所以实数a的取值范围为，故正确；D.因为，所以，令，得，当时，，当时，，所以当时，函数取得极大值，又时，，时，，所以函数只有一个零点，故错误；故选：C8．答案：C【解析】函数，导函数.因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．，解得：，实数a的取值范围.故选：C．9．答案：D【解析】，由函数有两个极值点，则等价于有两个解，即与有两个交点，所以.直线过点由在点处的切线为，显然直线过点当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，，令，则，所以单调递增，，即，故选：D.10．（多选题）答案：CD【解析】对于A，由得：，解得，A不正确；对于B，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，B不正确；对于C，由选项B知，作出曲线及直线，如图，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以当时，方程有且只有两个实根，C正确；对于D，因，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，即，所以t的最大值为2，D正确.故选：CD11．（多选题）答案：BD【解析】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.故选：BD.12．（多选题）答案：ABCD【解析】，其导函数为．令，解得，，当时，即或时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减；故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为，，故函数只有一个零点，又故ABD正确；令，则故在上，即在上单调递增，根据切割线的定义可知，当时，对任意的，恒有，即对任意的，恒有，即，故C正确；故选：ABCD．13．（多选题）答案：AB【解析】因为，所以在上单调递增，所以对，；，所以，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，∴；因为，任意，不等式恒成立，即，整理得，解得或，所以正数的取值范围为；6e与均在区间内，与均不在区间内；故选：AB．14．（多选题）答案：AC【解析】A：，所以的定义域为，故A正确；B：，设，则，有在上恒成立，故在上单调递减，且，所以当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，所以，若直线与的图像有交点，则，故B错误；C：由B中的分析，，代入得，故C正确；D：由B中的分析，，代入得，故D错误．故选：AC15．答案：【解析】函数的零点为3，设函数的零点为，则.，令，，；，即函数在上单调递增，在上单调递减，，即实数的最大值为.故答案为：16．答案：【解析】解：由，解得，由，得，设其解为，因为与互为“1度零点函数”，所以，解得，又，设，则，当时，是增函数，当时，是减函数，∴，又，，∴实数a的取值范围为.故答案为：17．答案：【解析】因为，所以．显然，令，则，且，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以对，，即，当且仅当时等号成立．综上，当且仅当时，成立，此时，解得．故答案为：18．答案：1或3【解析】依题意，，因在x＝2处取得极小值，则，解得m=1或m=3，经检验，当m＝1或m＝3时，在x＝2处均取得极小值，所以m的值为1或3.故答案为：1或319．答案：【解析】由，得，因为函数在区间上存在极值，所以在上有变号零点，因为，所以，即在上有解，转化为在上有解.因为，所以，即，于是，得.由此可得.实数a的取值范围是.故答案为：.20．答案：1【解析】解：由f(x)＝xln(ax)＋1，得f′(x)＝ln(ax)＋x··a＝ln(ax)＋1，又x＝是f(x)的极值点，所以f′＝ln＋1＝0，则a＝1，所以，则，令，得x＝，且时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，所以经验证a＝1时，x＝是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点.所以a＝1.故答案为：1.21．【解析】(1)由题设知，则，所以当x＞1时，h'(x)＞0，则h(x)在区间(1，＋∞)是增函数，当0＜x＜1时，h'(x)＜0，则h(x)在区间(0，1)是减函数，所以h(x)min＝h（1）＝，解得，所以m的取值范围为(2)令则＝恒成立，所以t(x)在(0，＋∞)单调递增．又，所以存在，使得t(x2)＝0，当x∈(0，x2)时，t'(x)＜0，即f''(x)＜0，则f'(x)在(0，x2)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，t'(x)＞0，即f''(x)＞0，则f'(x)在(x2，＋∞)单调递增；所以f'(x)在x＝x2处取得极小值．即x1＝x2，所以t(x1)＝0，即，所以，令，则s(x)在(0，＋∞)单调递增；所以s(x1)＜0因为f(x)的零点为x0，则，即s(x0)＝0所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x122．【解析】(1)解：，令，得或，当或时，，当时，，所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的极小值为．(2)，，即，即，设，，设，，当时，，当时，，所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，，即，则函数在上单调递增，则由，得在上恒成立，即在上恒成立．设，，当时，，当时，，所以函数在（0，e）上单调递增，在上单调递减，所以，故．23．【解析】(1)解：，，所以，即又．又点在切线上，，所以，又，所以，．(2)解：，在，上恒成立，设，则在，上恒成立，，又，而当时．当即时，在上恒成立，；当即时，时，且当时，，当时，；则①，又与①矛盾，不符题意，故舍去．综上所述，的取值范围为．24．【解析】(1)当时，.∴，令，得.∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故函数的减区间为，增区间为；(2)由，令，得.∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.∴.令，则.∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.∴，即.25．【解析】(1)依题意知，，令得，当时，在上，单调递减，在单调递增；当时，在上，单调递增，在单调递减.(2)依题意，要证，①当时，，，故原不等式成立，②当时，要证：，即证：，令，则，，∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，故原不等式成立.26．【解析】(1)当时，，因为，所以，即，不符合题意；

当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．

所以．

由恒成立可知，所以．

又因为，所以的取值范围为．(2)因为，所以，即．令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．

由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．不妨设，则．设，

则，所以在上单调递增，

所以，即在区间上恒成立．因为，所以．

因为，所以．

又因为，，且在区间上单调递增，所以，即．27．【解析】(1)时，，，令得；令得或故的单增区间为，单减区间为，(2)结论：，证明如下：设，由均为正数且得设，则①当时，由得即故单调递减，从而而，此时成立②当时，在上单调递减，在上单调递增故的最小值为此时只需证，化简后即证设，故单调递增，从而有，即证综上：不等式得证．28．【解析】(1)∵曲线在处的切线与直线垂直，则，即∴，的定义域为则当时，，时，，函数的单调增区间为，单调减区间为，(2)当，且时，，即构建，则当，由当时恒成立在上单调递减且当时，，则；当时，，则∴当，且时，.当时，当时，在上单调递增且∴当时，，可得，与题设矛盾.当，则在上单调递增且∴当时，，可得，与题设矛盾.综上所述：的取值范围为.29．【解析】(1)，，即切线.，，则切线方程为：.(2)，恒成立等价于，恒成立.设，，，，为增函数，，，为减函数，所以，即.(3)，等价于，.设，，，设，，，所以在为增函数，即，所以，即在为增函数，即，即证：.1．答案：B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.2．答案：D【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D3．答案：D【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D4．答案：【解析】解：，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为.5．答案：1【解析】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.6．【解析】(1)的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.(2)由（1）可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个解，当时，由（1）讨论可得、均无根，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的根，此时有两个不同的根，故，，，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解又可化为即即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即.7．【解析】(1)当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；(2)，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.8．【解析】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.9．【解析】（I），则，又，则切线方程为；（II）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（III）由（II）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.10．【解析】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）[方法一]：转化为有分母的函数由（Ⅰ）知，，其定义域为．要证，即证，即证．（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．综合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最优解】：转化为无分母函数由（1）得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，故；当时，，单增，故；综上所述，在恒成立.[方法三]：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．（ⅰ）当时，，所以，即，所以．（ⅱ）当时，，同理可证得．综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.考向16利用导数研究函数的极值与最值【2022·全国·高考真题（理）】当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.【2022·全国·高考真题（文）】函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D1．由图象判断函数的极值，要抓住两点：（1）由的图象与x轴的交点，可得函数的可能极值点；（2）由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性．两者结合可得极值点．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．3．求函数在闭区间内的最值的思路（1）若所给的闭区间不含有参数，则只需对函数求导，并求在区间内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．1．(2023·山西太原·三模（文））已知函数（1）若在时取得极小值，求实数k的值；（2）若过点可以作出函数的两条切线，求证：【解析】（1）解：∴，∴当时，令，得∴在单调递减，在单调递增，所以在时取得极小值，∴（2）证明：设切点为，∴切线为，又切线过点，∴∴，（*）设则∴在单词递减，在单调递增．∵过点可作的两条切线，∴方程（*）有两解∴，由，得∴，即．2．(2023·湖北·模拟预测）已知函数，（）．（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；（2）若，为的两个极值点，证明：．【解析】（1）（1），，若存在两个极值点，则在上有两个根，所以有两个根，即与，有两个交点，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以时，，所以，所以的取值范围为．（2）证明：由（1）知，且，，所以，所以只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令，，所以单调递减，则有（1）．3．(2023·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．【解析】（1）当时，定义域为，，，，故在点处的切线方程为：，即；（2）由题意得：，，故，此时，经检验，符合要求，，令时，，，令得：或，令得：，的单调递增区间为，，单调递减区间为；又当时，恒成立，当时，恒成立，故，，即最大值为，最小值为．4．(2023·全国·高三专题练习（理））已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若，，求的最大值．【解析】（1），当时，当恒成立，在上单调递增；当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）依题意得对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，则在上单调递增，，当时，，即；当时，，即，在上单调递减，在上单调递增，，，故的最大值为．5．(2023·山东菏泽·高三期末）设函数．（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）解：由题意，函数，则，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，，所以所求三角形的面积为．（2）解：由，则，所以函数为增函数，又因为，所以当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为．即函数在区间上的最大值为，最小值为．6．(2023·北京市第九中学模拟预测）已知．（1）当时，判断函数零点的个数；（2）求证：．【解析】（1）当时，，，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，所以函数零点的个数是1．（2），令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，，，所以当时，成立．1．(2023·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知函数的最小值分别为，则（

）A． B． C． D．的大小关系不确定答案：A【解析】令，则，∵当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，∴（当且仅当时“”成立），，（当且仅当时，“”成立），，.所以故选：A2．(2023·北京·北大附中三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（

）A．4 B．8 C． D．答案：D【解析】设，，，，则，则有和，代入，解得：，令和，导函数，即可得的最大值在时取得，此时，求得此时，故选：D.3．(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数为定义在上的增函数，且对，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】∵，，∴，∵不等式对恒成立，∴对恒成立，∵函数为定义在上的增函数，∴，化为：，令，则，时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减.∴时，函数取得极大值..∴.则实数a的取值范围是.故选：D.4．(2023·江西省丰城中学模拟预测（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：，，若函数在上有最小值，即在先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点是，，则切线方程是：，将代入切线方程得：，故切点是，切线的斜率是1，只需即可，解得，即，故选：D．5．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：因为，，所以有两个不同的实数解，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．故选：B．6．(2023·广东广州·三模）设为函数的导函数，已知，则（

）A．在单调递增B．在单调递减C．在上有极大值D．在上有极小值答案：D【解析】由题意知：，，令，则，显然当时，，单减，当时，，单增，故A，B错误；在上有极小值，令，则，又，则，故在上有极小值，C错误；D正确.故选：D.7．(2023·全国·模拟预测（文））下列结论正确的是（

）A．设函数，其中a，，当a＝－3，时，函数有两个零点B．函数没有极值点C．关于x的方程在区间上仅有一个实根，则实数a的取值范围为D．函数有两个零点答案：C【解析】A.因为函数，所以，令，得，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，又，所以，所以函数有一个零点，故错误；B.因为，所以，当时，，当时，，所以是的极小值点，故错误；C.令，则，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为方程在区间上仅有一个实根，所以或，解得或，所以实数a的取值范围为，故正确；D.因为，所以，令，得，当时，，当时，，所以当时，函数取得极大值，又时，，时，，所以函数只有一个零点，故错误；故选：C8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函数，导函数.因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．，解得：，实数a的取值范围.故选：C．9．(2023·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，由函数有两个极值点，则等价于有两个解，即与有两个交点，所以.直线过点由在点处的切线为，显然直线过点当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，，令，则，所以单调递增，，即，故选：D.10．（多选题）(2023·湖南·湘潭一中高三阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数只有一个零点B．函数只有极大值而无极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若当时，，则t的最大值为2答案：CD【解析】对于A，由得：，解得，A不正确；对于B，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，B不正确；对于C，由选项B知，作出曲线及直线，如图，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以当时，方程有且只有两个实根，C正确；对于D，因，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，即，所以t的最大值为2，D正确.故选：CD11．（多选题）(2023·重庆八中模拟预测）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（

）A．是的最小值点B．是的极大值点C．是的极大值点D．是的极大值点答案：BD【解析】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.故选：BD.12．（多选题）(2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，其导函数为，给出以下命题正确的是（

）A．的单调递减区间是B．的极小值是C．当时，对任意的且，恒有D．函数有且只有一个零点答案：ABCD【解析】，其导函数为．令，解得，，当时，即或时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减；故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为，，故函数只有一个零点，又故ABD正确；令，则故在上，即在上单调递增，根据切割线的定义可知，当时，对任意的，恒有，即对任意的，恒有，即，故C正确；故选：ABCD．13．（多选题）(2023·全国·模拟预测）已知函数，，若，不等式恒成立，则正数的取值可以是（

）A． B． C． D．答案：AB【解析】因为，所以在上单调递增，所以对，；，所以，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，∴；因为，任意，不等式恒成立，即，整理得，解得或，所以正数的取值范围为；6e与均在区间内，与均不在区间内；故选：AB．14．（多选题）(2023·全国·模拟预测）已知，则（

）A．的定义域是B．若直线和的图像有交点，则C．D．答案：AC【解析】A：，所以的定义域为，故A正确；B：，设，则，有在上恒成立，故在上单调递减，且，所以当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，所以，若直线与的图像有交点，则，故B错误；C：由B中的分析，，代入得，故C正确；D：由B中的分析，，代入得，故D错误．故选：AC15．(2023·福建·福州三中高三阶段练习）如果两个函数存在零点，分别为，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“2度零点函数”，则实数的最大值为___________.答案：【解析】函数的零点为3，设函数的零点为，则.，令，，；，即函数在上单调递增，在上单调递减，，即实数的最大值为.故答案为：16．(2023·浙江湖州·模拟预测）设，若存在，使得，则称函数与互为“n度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为_____________．答案：【解析】解：由，解得，由，得，设其解为，因为与互为“1度零点函数”，所以，解得，又，设，则，当时，是增函数，当时，是减函数，∴，又，，∴实数a的取值范围为.故答案为：17．(2023·河南省杞县高中模拟预测（理））实数x，y满足，则的值为______．答案：【解析】因为，所以．显然，令，则，且，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以对，，即，当且仅当时等号成立．综上，当且仅当时，成立，此时，解得．故答案为：18．(2023·河南新乡·高三期末（文））已知函数在x＝2处取得极小值，则______．答案：1或3【解析】依题意，，因在x＝2处取得极小值，则，解得m=1或m=3，经检验，当m＝1或m＝3时，在x＝2处均取得极小值，所以m的值为1或3.故答案为：1或319．(2023·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是________．答案：【解析】由，得，因为函数在区间上存在极值，所以在上有变号零点，因为，所以，即在上有解，转化为在上有解.因为，所以，即，于是，得.由此可得.实数a的取值范围是.故答案为：.20．(2023·全国·高三专题练习（理））已知x＝是函数的极值点，则a＝________.答案：1【解析】解：由f(x)＝xln(ax)＋1，得f′(x)＝ln(ax)＋x··a＝ln(ax)＋1，又x＝是f(x)的极值点，所以f′＝ln＋1＝0，则a＝1，所以，则，令，得x＝，且时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，所以经验证a＝1时，x＝是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点.所以a＝1.故答案为：1.21．(2023·江苏无锡·模拟预测）已知函数，其中m＞0，f'(x)为f(x)的导函数，设，且恒成立．(1)求m的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f'(x)的极小值点为x1，求证：x0＞x1．【解析】(1)由题设知，则，所以当x＞1时，h'(x)＞0，则h(x)在区间(1，＋∞)是增函数，当0＜x＜1时，h'(x)＜0，则h(x)在区间(0，1)是减函数，所以h(x)min＝h（1）＝，解得，所以m的取值范围为(2)令则＝恒成立，所以t(x)在(0，＋∞)单调递增．又，所以存在，使得t(x2)＝0，当x∈(0，x2)时，t'(x)＜0，即f''(x)＜0，则f'(x)在(0，x2)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，t'(x)＞0，即f''(x)＞0，则f'(x)在(x2，＋∞)单调递增；所以f'(x)在x＝x2处取得极小值．即x1＝x2，所以t(x1)＝0，即，所以，令，则s(x)在(0，＋∞)单调递增；所以s(x1)＜0因为f(x)的零点为x0，则，即s(x0)＝0所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x122．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，．(1)若，求函数的极值；(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围．【解析】(1)解：，令，得或，当或时，，当时，，所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的极小值为．(2)，，即，即，设，，设，，当时，，当时，，所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，，即，则函数在上单调递增，则由，得在上恒成立，即在上恒成立．设，，当时，，当时，，所以函数在（0，e）上单调递增，在上单调递减，所以，故．23．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【解析】(1)解：，，所以，即又．又点在切线上，，所以，又，所以，．(2)解：，在，上恒成立，设，则在，上恒成立，，又，而当时．当即时，在上恒成立，；当即时，时，且当时，，当时，；则①，又与①矛盾，不符题意，故舍去．综上所述，的取值范围为．24．(2023·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)设函数的最大值为m，证明：.【解析】(1)当时，.∴，令，得.∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故函数的减区间为，增区间为；(2)由，令，得.∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.∴.令，则.∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.∴，即.25．(2023·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：.【解析】(1)依题意知，，令得，当时，在上，单调递减，在单调递增；当时，在上，单调递增，在单调递减.(2)依题意，要证，①当时，，，故原不等式成立，②当时，要证：，即证：，令，则，，∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，故原不等式成立.26．(2023·广东深圳·高三阶段练习）已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：【解析】(1)当时，，因为，所以，即，不符合题意；

当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．

所以．

由恒成立可知，所以．

又因为，所以的取值范围为．(2)因为，所以，即．令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．

由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．不妨设，则．设，

则，所以在上单调递增，

所以，即在区间上恒成立．因为，所以．

因为，所以．

又因为，，且在区间上单调递增，所以，即．27．(2023·山东师范大学附中高三期中）设函数(1)当时，求的单调区间；(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明【解析】(1)时，，，令得；令得或故的单增区间为，单减区间为，(2)结论：，证明如下：设，由均为正数且得设，则①当时，由得即故单调递减，从而而，此时成立②当时，在上单调递减，在上单调递增故的最小值为此时只需证，化简后即证设，故单调递增，从而有，即证综上：不等式得证．28．(2023·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数，曲线在处的切线与直线垂直.(1)设，求的单调区间；(2)当，且时，，求实数的取值范围.【解析】(1)∵曲线在处的切线与直线垂直，则，即∴，的定义域为则当时，，时，，函数的单调增区间为，单调减区间为，(2)当，且时，，即构建，则当，由当时恒成立在上单调递减且当时，，则；当时，，则∴当，且时，.当时，当时，在上单调递增且∴当时，，可得，与题设矛盾.当，则在上单调递增且∴当时，，可得，与题设矛盾.综上所述：的取值范围为.29．(2023·北京市大兴区兴华中学三模）设函数，．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，恒成立，求a的取值范围；(3)求证：当时，．【解析】(1)，，即切线.，，则切线方程为：.(2)，恒成立等价于，恒成立.设，，，，为增函数，，，为减函数，所以，即.(3)，等价于，.设，，，设，，，所以在为增函数，即，所以，即在为增函数，即，即证：.1．(2023·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.2．(2023·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D3．（2023·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D4．(2023·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．答案：【解析】解：，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在