中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题32中考命题核心元素有关角平分线的问题(原卷版+解析)

专题32中考命题核心元素有关角平分线的问题（原卷版）模块一典例剖析+针对训练模型一过角平分线上的点向角角的一边或两边作垂线构造全等三角形【模型解读】“图中有角平分线和一边的垂线，可向另一边作垂线”．典例1（2023秋•依安县期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．5 B．7 C．10 D．3针对训练1．(2023•苏州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定2．(2023秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE=4093，求点D

模型二角平分线遇平行线找等腰三角形或作平行线构造等腰三角形【模型解读】如图，点P在∠AOB的平分线上，若过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，则△POQ是等腰三角形．典例2如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并加以证明；（2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE周长；（3）如图，作∠ABC与∠ACB的外角平分线，它们交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB、AC的延长线于点F、G，你还能发现什么结论？（至少写三个），并加以证明．针对训练1．（2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．2．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF=14AD=3．则AB模型三利用角平分线结肠或补短构造对称图形【模型解读】如图，P是∠AOB的平分线上一点，点M是射线OA上任意一点，在OB上截取ON＝OM，连接PN，则△OPM≌△OPN典例3(2023秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝；（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为，并给出证明．针对训练1．（2023秋•新抚区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：BC＝BD+CE．2．（2023秋•海曙区期中）如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：（1）证明：ED＝FD；（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；（3）求EF的长．模型四延长垂直于角平分线的垂线段构造等腰三角形【模型解读】角平分线上遇垂直，延长下去构等腰典例4（2023秋•饶平县校级期末）如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA、BE交AD的延长线于点F．（1）求证：△ABF是等腰三角形；（2）求证：AD+BC＝AB．针对训练1．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为．2．(2023秋•南岗区校级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．（1）如图1，求证：AC﹣AB＝2BE．（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB=2，求AN

模块二2023中考押题预测1．（2023秋•中山市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（）A．10cm B．9cm C．4.5cm D．3cm2．（2023秋•兰山区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，BC＝20cm，则AM的长度为（）A．20cm B．10cm C．5cm D．15cm3．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为．4．（2023秋•惠城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝EF．5．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF=14AD=3．则AB6．（2023秋•正阳县期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝18，BE＝4，求AB的长．7．（驿城区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面积．8．（2023秋•北仑区期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AE＝10，GC＝2BG，求BG的长．9．（2023秋•温州月考）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．10．(2023•义乌市模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数；（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE长．11．（2023•章丘区模拟）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．12．(2023•荆门）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．专题32中考命题核心元素有关角平分线的问题（解析版）模块一典例剖析+针对训练模型一过角平分线上的点向角角的一边或两边作垂线构造全等三角形【模型解读】“图中有角平分线和一边的垂线，可向另一边作垂线”．（2023秋•依安县期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．5 B．7 C．10 D．3思路引领：作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF＝DE＝2，根据三角形面积公式计算即可．解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面积=12×BC故选：A．总结提升：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．针对训练1．(2023•苏州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定思路引领：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝DE，利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，然后求出△DEB的周长．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，在△ACD和△AED中，AD=ADCD=DE∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，＝BD+CD+BE，＝BC+BE，＝AC+BE，＝AE+BE，＝AB，∵AB＝6cm，∴△DEB的周长为6cm．故选：B．总结提升：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．(2023秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE=4093，求点D思路引领：（1）先根据∠B＝50°，∠C＝70°，求出∠BAC＝60°，然后根据角平分线的定义求出∠EDA即可；（2）根据角平分线的性质解答即可．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=12∠∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°；（2）过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE=40∴点D到AC的距离为409总结提升：此题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．模型二角平分线遇平行线找等腰三角形或作平行线构造等腰三角形【模型解读】如图，点P在∠AOB的平分线上，若过点P作PQ∥OB，交OA于点Q，则△POQ是等腰三角形．典例2如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并加以证明；（2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE周长；（3）如图，作∠ABC与∠ACB的外角平分线，它们交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB、AC的延长线于点F、G，你还能发现什么结论？（至少写三个），并加以证明．思路引领：（1）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDI和△CEI是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DI，CE＝EI．（2）根据△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+AE+DI+IE＝AB+AC即可求得．（3）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BFO和△CGO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BF＝OF，CG＝OG，根据平行线的判定方法即可得出DE∥FG．解：（1）BD＝DI，CE＝EI，∵BI平分∠ABC，∴∠DBI＝∠CBI，∵DE∥BC，∴∠CBI＝∠DIB，∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝DI，同理IE＝EC，（2）∵AB＝7，AC＝5，∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝7+5＝12．（3）BF＝OF，CG＝OG，DE∥FG，∵BO平分∠FBC，∴∠FBO＝∠CBO，∵FG∥BC，∴∠CBO＝∠FOB，∴∠FBO＝∠FOB，∴BF＝OF，同理CG＝OG，∵DE∥BC，FG∥BC，∴DE∥FG，总结提升：本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．针对训练1．（2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．思路引领：（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．总结提升：本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF=14AD=3．则AB思路引领：（1）证明∠BAE+∠ABF＝90°，即可推出∠AMB＝90°，即AE⊥BF；（2）证明DE＝AD，CF＝BC，再利用平行四边形的性质AD＝BC，证出DE＝CF，得出DF＝CE，由已知得出BC＝AD＝4EF，DE＝4EF，求出DF＝CE＝3EF，得出AB＝CD＝7EF，即可得出结果．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AMB＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，在平行四边形ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF，∴DF＝CE，∵EF=14∴BC＝AD＝4EF，∴DE＝4EF，∴DF＝CE＝3EF，∴AB＝CD＝7EF＝21，故答案为：21．总结提升：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．模型三利用角平分线结肠或补短构造对称图形【模型解读】如图，P是∠AOB的平分线上一点，点M是射线OA上任意一点，在OB上截取ON＝OM，连接PN，则△OPM≌△OPN典例3(2023秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝；（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为，并给出证明．思路引领：（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠CDE的度数；（2）在BC上截取BF＝AB，由“SAS”可证△ABD≌△FBD，可得AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°，可得∴FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，由“SAS”可证△CDF≌△CDE，可得CE＝CF，则可得结论．解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝20°∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，故答案为：60°（2）BC＝AB+CE理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，∴△ABD≌△FBD（SAS）∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD∴△CDF≌△CDE（SAS）∴CE＝CF，∴BC＝BF+CF＝AB+CE故答案为：BC＝AB+CE总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．针对训练1．（2023秋•新抚区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分线，BE与CD相交于点P．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：BC＝BD+CE．思路引领：（1）先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB＝60°，则可求出答案；（2）在CB上取点G使得CG＝CE，证明△CPE≌△CPG（SAS），得出∠CPG＝∠CPE＝60°，证明△BPD≌△BPG（ASA），得出BD＝BG，可以求得BD+CE＝BC．解：（1）∵BE，CD是△ABC的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∵∠A＝60°，∴∠BPC＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°（2）证明：在BC上取点G使得CG＝CE，∵∠BPC＝120°，∴∠BPD＝∠CPE＝60°，在△CPE和△CPG中，CP=CP∠ECP=∠GCP∴△CPE≌△CPG（SAS），∴∠CPG＝∠CPE＝60°，∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPD，在△BPD和△BPG中，∠BPG=∠BPDBP=BP∴△BPD≌△BPG（ASA），∴BD＝BG，∴BD+CE＝BG+CG＝BC．总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋•海曙区期中）如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：（1）证明：ED＝FD；（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；（3）求EF的长．思路引领：（1）过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，结合角平分线的性质，利用AAS证明△EKD≌△FHD可证得结论；（2）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可得∠BDC+12（180°﹣∠（3）先证明∠5＝∠3，∠1＝∠6，则可判断△BED∽△CED，利用相似比可计算出ED，从而EF的长．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，∴∠EKD＝∠FHD＝90°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴DK＝DG＝DH，在△EKD和△FHD中，∠DKE=∠DHF∠KED=∠HFD∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE，∴△EKD≌△FHD（AAS），∴ED＝FD；（2）解：∠BDC＝90°+12∠理由如下：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=1∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠BDC+12（∠ABC+∠∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BDC+12（180°﹣∠∴∠BDC＝90°+12∠（3）解：如图，∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠1+∠5＝∠3+∠6，∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，∴△BED∽△CED，∴ED：CF＝BE：DF，∵DE＝DF，则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，则ED=22∴EF＝2ED=42总结提升：本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用角平分线的定义与性质是解题的关键．也考查了相似三角形的判定与性质．模型四延长垂直于角平分线的垂线段构造等腰三角形【模型解读】角平分线上遇垂直，延长下去构等腰典例4（2023秋•饶平县校级期末）如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA、BE交AD的延长线于点F．（1）求证：△ABF是等腰三角形；（2）求证：AD+BC＝AB．思路引领：（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的判定解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．证明：（1）∵BE平分∠CBA，∴∠ABF＝∠CBF．∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠F．∴∠ABF＝∠F．∴AB＝AF，∴△ABF是等腰三角形．（2）∵AB＝AF，AE平分∠BAF，∴BE＝FE．∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠F，∠C＝∠CDF．在△BCE和△FDE中，∠CBE=∠F∠C=∠CDF∴△BCE≌△FDE（AAS），∴BC＝DF．∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB．总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．针对训练1．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为．思路引领：延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝9，BC＝5，即可推出BD的长度，再利用勾股定理即可解决问题．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵∠BCD+∠CBD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠EBC＝∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵AC＝9，BC＝5，∴CE＝BC＝5，∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，∴BE＝AE＝4，∴BD＝2．∴CD=B故答案为21．总结提升：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．2．(2023秋•南岗区校级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．（1）如图1，求证：AC﹣AB＝2BE．（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB=2，求AN思路引领：（1）延长BE交AC于F，由条件可以得出△AEB≌△AEF就可以得出BF＝2BE，进而求得CF＝BF就可以得出结论；（2）由轴对称的性质可以得出△BCA≌△MCA，可以得出△DBM是直角三角形，进而可以得出△DCM是等腰直角三角形，就可以得出△MBD≌△CND就可以得出结论．解：（1）如图1，延长BE交AC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．∵BE⊥AD，∴∠AEB＝AEF＝90°．在△AEB和△AEF中，∠1=∠2AE=AE∴△AEB≌△AEF（ASA）∴AB＝AF，∠3＝∠4，BE＝FE，∴BF＝2BE．∵∠4＝∠5+∠C，∴∠3＝∠5+∠C，∵∠ABC＝∠3+∠5，∴∠ABC＝∠5+∠C+∠5＝2∠5+∠C＝3∠C，∴∠5＝∠C，∴CF＝BF＝2BE．∵AC﹣AF＝FC，∴AC﹣AB＝2BE；（2）如图2，作AH⊥BC于H，AK⊥CM于K，∵∠ACH＝∠ACK，∴AH＝AK，∵AB＝AM，∴△AHB≌△AKM，∴∠ABH＝∠AMK，∴CB＝CM，∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，∴△BCA≌△MCA，∴AB＝AM，∠ACM＝∠ACB=12∠∵AM＝AB，∴AD＝AB＝AM，∴△DBM是直角三角形，∴∠BDM＝∠CDM＝90°．∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°．∵BE＝1，AB=2∴AE＝1，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE＝45°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°．∵∠ABC＝3∠ACB，∴∠ACB＝22.5°，∴∠BCM＝45°，∴∠DMC＝45°，∴∠BCM＝∠DMC，∴DM＝DC．∵AM＝AB，∠ACM＝∠ACB，∴∠CAM＝∠CAB＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°．∵∠ABC+∠BMD＝90°，∴∠ACB＝∠BMD．在△MBD和△CND中∠BDM=∠CDMDM=DC∴△MBD≌△CND（ASA），∴CN＝BM＝2AB＝22，∴AC＝2BE+AB＝2+2∴AN＝AC﹣CN＝2−2总结提升：本题考查了角平分线的性质的运用，三角形外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，轴对称的性质的运用．解答时运用全等三角形的性质求解是关键．模块二2023中考押题预测1．（2023秋•中山市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（）A．10cm B．9cm C．4.5cm D．3cm思路引领：过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝4，∵AB＝6，∴S△ABC=12×6×4解得AC＝9；故选：B．总结提升：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．2．（2023秋•兰山区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，BC＝20cm，则AM的长度为（）A．20cm B．10cm C．5cm D．15cm思路引领：延长DM交AB于点G构造全等三角形，然后得出△ADG是等边三角形即可求解．解：延长DM交AB于点G，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠C＝∠MBG＝90°，∵∠DMC＝∠BMG，MC＝MB，∴△DMC≌△GMB（ASA），∴DM＝GM，∠ADM＝∠CDM＝∠G=12∠∴△ADG是等边三角形，∴AM⊥DG，∴AM=3∵DM＝CM÷sin∠CDM=203∴AM＝20cm，解法二：过点M作ME⊥AD．∵M是BC的中点，BC＝20cm，∴CM＝BM＝10cm，.∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴ME＝CM＝10cm＝BM，又∵∠B＝90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB，∵∠B＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∵∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，∴∠EAM＝30°，∴AM＝2ME＝20cm．故选：A．总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，关键是利用中点构造全等三角形．3．（2023秋•溧水区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为．思路引领：延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝9，BC＝5，即可推出BD的长度，再利用勾股定理即可解决问题．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵∠BCD+∠CBD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠EBC＝∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵AC＝9，BC＝5，∴CE＝BC＝5，∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，∴BE＝AE＝4，∴BD＝2．∴CD=B故答案为21．总结提升：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．4．（2023秋•惠城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝EF．思路引领：（1）先根据等边对等角求出∠ABC，再利用三角形内角和求出∠BAC，最后利用等腰三角形的“三线合一”求∠BAD；（2）根据BE平分∠ABC，EF∥BC即可证明．（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝52°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，∵AB＝AC，D为BC中点，∴∠BAD=12∠（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠FEB，∴FB＝FE．总结提升：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键．5．(2023春•滨江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF=14AD=3．则AB思路引领：（1）证明∠BAE+∠ABF＝90°，即可推出∠AMB＝90°，即AE⊥BF；（2）证明DE＝AD，CF＝BC，再利用平行四边形的性质AD＝BC，证出DE＝CF，得出DF＝CE，由已知得出BC＝AD＝4EF，DE＝4EF，求出DF＝CE＝3EF，得出AB＝CD＝7EF，即可得出结果．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AMB＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，在平行四边形ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF，∴DF＝CE，∵EF=14∴BC＝AD＝4EF，∴DE＝4EF，∴DF＝CE＝3EF，∴AB＝CD＝7EF＝21，故答案为：21．总结提升：本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．（2023秋•正阳县期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝18，BE＝4，求AB的长．思路引领：（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵DE＝DF，AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE，∴AB＝18﹣4﹣4＝10．总结提升：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．7．（2023春•驿城区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面积．思路引领：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，根据题意还知道∠DEB＝∠DFC，BD＝CD，从而得出△DEB≌△DFC，进而得出∠B＝∠C，即可得出结论AB＝AC；（2）得出△ABC是等边三角形，求出AD长，则答案可求出．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，且BD＝CD，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∴CD＝3，在Rt△ACD中，AD=62−∴△ABC的面积为12×6×33总结提升：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2023秋•北仑区期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AE＝10，GC＝2BG，求BG的长．思路引领：（1）首先依据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B＝∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形；（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BG的长．（1）证明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∠C=∠CAEAF=FC∴△AFE≌△CFG（ASA）．∴AE＝GC＝10．∵GC＝2BG，∴BG＝5．总结提升：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．9．（2023秋•温州月考）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．思路引领：（1）根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，因此可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形；（2）由（1）可得出DF＝BD，CE＝EF，所以得BD﹣CE＝DE．（1）解：图中有2个等腰三角形即△BDF和△CEF，理由：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠