2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)第五章一元函数的导数及其应用章末重点题型大总结(精讲)(原卷版+解析)

第五章一元函数的导数及其应用章末总结（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：典型例题剖析重点题型一：导数的运算重点题型二：导数的几何意义重点题型三：利用导数研究函数的单调性角度1：已知函数在区间上单调角度2：已知函数在区间上存在单调区间角度3：已知函数在区间上不单调角度4：已知函数的单调区间（恰）为角度5：含参问题讨论单调性（解答题）重点题型四：用导数求函数的极值、最值角度1：求已知函数的极值（点）角度2：根据函数的极值（点）求参数角度3：求函数的最值（不含参）角度4：根据函数的最值求参数重点题型五：利用导数求解不等式恒成立与有解问题重点题型六：利用导数研究函数的零点（方程的根）重点题型七：形如，，的问题对比第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：导数的运算1．(2023·江苏省响水中学高二阶段练习）下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．2．(2023·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习（文））求下列函数的导数．(1)(2)(3)(4)3．(2023·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4).4．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．重点题型二：导数的几何意义1．(2023·云南·石林彝族自治县第一中学高二阶段练习（理））曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．(2023·重庆十八中高二期末）已知函数的图像如图所示，则是的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．3．(2023·天津市武清区天和城实验中学高三阶段练习）若曲线在点处的切线方程为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数________．5．（多选）(2023·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习）函数过点的切线方程是（

）A． B．C． D．6．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（理））函数过点的切线方程为____________7．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.8．(2023·北京·景山学校高三开学考试）已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为______.9．(2023·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知点A在曲线上，点B在直线上，则点A，B之间的距离的最小值为____________.重点题型三：利用导数研究函数的单调性角度1：已知函数在区间上单调1．(2023·全国·高二课时练习）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·福建·莆田一中高二期末）若函数在是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是__________．5．(2023·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．(2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．角度2：已知函数在区间上存在单调区间1．(2023·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（文））若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是A． B． C． D．3．（2023·广东·广州市天河外国语学校高二期中）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是_________.角度3：已知函数在区间上不单调1．(2023·广东深圳·高三阶段练习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A．或或 B．或C． D．不存在这样的实数3．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））若函数在上不单调，则的取值范围是____．4．(2023·全国·高三专题练习）若对，函数在内总不是单调函数，则实数的取值范围是______角度4：已知函数的单调区间（恰）为1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间是，则（

）A．3 B． C．2 D．2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．63．(2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（

）A．－12 B．－10 C．8 D．10角度5：含参问题讨论单调性（解答题）1．(2023·湖南·邵东市第一中学高二阶段练习）设函数．(1)讨论函数的单调性；2．(2023·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；3．(2023·陕西·大荔县教学研究室一模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；4．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知函数．(1)若时，试讨论的单调性；5．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；6．(2023·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；重点题型四：用导数求函数的极值、最值角度1：求已知函数的极值（点）1．(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（文））设函数，若为奇函数，求：(1)曲线在点处的切线方程；(2)函数的极大值点．2．(2023·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））设函数．(1)求在处的切线方程；(2)求的极值点和极值．3．(2023·上海嘉定·高三阶段练习）函数，其中.(1)求函数的导数；(2)若，求的极值.4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数.(1)若，求函数的极值；角度2：根据函数的极值（点）求参数1．(2023·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数在处取得极值1.(1)求；2．(2023·天津市汇文中学高三期中）设，.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)已知，在处取得极小值.求实数的取值范围.3．(2023·河北·开滦第一中学高三阶段练习）已知函数（）．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围．4．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数(1)当时，求函数的极值(2)若有唯一极值点，求关于的不等式的解集.5．(2023·浙江·杭州四中高二期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)若函数在处取得极大值，求a的取值范围.角度3：求函数的最值（不含参）1．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的最值.2．(2023·河北唐山·高二期末）已知函数，当时，有极小值.(1)求函数的解析式：(2)求函数在上的最大值和最小值.3．(2023·云南省楚雄第一中学高二阶段练习）已知函数在点处的切线方程是，其中是自然对数的底数．(1)求实数的值；(2)当时，求函数的最大值和最小值．4．(2023·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知函数存在极值，并且在时取得极大值.(1)求的解析式；(2)当时，求函数的最值.5．(2023·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数的导函数的两个零点为和0．(1)求的单调区间；(2)若的极小值为，求在区间上的最大值．角度4：根据函数的最值求参数1．(2023·辽宁·沈阳市回民中学高二期中）已知函数f(x)＝x+alnx+1．（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．2．(2023·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）已知函数(1)若，求在定义域内的极值；(2)若在上的最小值为，求实数a的值．3．(2023·天津·南开大学附属中学高三开学考试）已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．4．(2023·四川·仁寿一中高二期中（理））设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R).(1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；(2)当x∈[1，3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值.5．(2023·北京·清华附中高二阶段练习）已知函数，其中为常数．(1)若曲线的切线在处的切线与轴平行，求的值；(2)若在上的最大值为，求实数的值．重点题型五：利用导数求解不等式恒成立与有解问题1．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若对一切恒成立，求m的取值范围．2．(2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（文））已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求的取值范围.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．（1）求函数；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若函数在处的切线与直线平行，求的值；(2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.6．(2023·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．重点题型六：利用导数研究函数的零点（方程的根）1．(2023·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数在点处的切线方程为．(1)求函数的单调区间，(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．2．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（文））已知函数．(1)求证：有且仅有两个极值点的；(2)若，函数有三个零点，求实数c的取值范围．3．(2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的零点个数．4．(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知函数，.(1)若函数的值域为R，求实数的取值范围；(2)若方程有且只有一解，求实数的取值范围.5．(2023·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.6．(2023·北京·汇文中学高二期中）若函数，当时，函数取得极值.(1)求函数的解析式；(2)若方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.重点题型七：形如，，的问题对比1．(2023·上海市高桥中学高三阶段练习）设，函数的图像和函数的图像关于y轴对称．(1)若，求x的值．(2)令，，若对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围．2．(2023·北京市八一中学高三阶段练习）已知函数.(1)若在处取得极值，求的值；(2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围.3．(2023·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．4．(2023·四川成都·高三阶段练习（文））已知函数，．(1)求过点且与曲线相切的直线的方程；(2)求证：．5．(2023·陕西·咸阳市高新一中高三开学考试（文））已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设，证明：当时，．6．(2023·吉林·高二期末）已知函数，．(1)求函数的极值点；(2)若恒成立，求实数的取值范围．7．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，．(1)若时，恒成立，求实数a的取值范围；(2)求的最小值．8．(2023·贵州·遵义四中高一阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)若关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数的取值范围；(2)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．9．(2023·江苏省镇江第一中学高一阶段练习）已知函数．(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．第五章一元函数的导数及其应用章末总结（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：典型例题剖析重点题型一：导数的运算重点题型二：导数的几何意义重点题型三：利用导数研究函数的单调性角度1：已知函数在区间上单调角度2：已知函数在区间上存在单调区间角度3：已知函数在区间上不单调角度4：已知函数的单调区间（恰）为角度5：含参问题讨论单调性（解答题）重点题型四：用导数求函数的极值、最值角度1：求已知函数的极值（点）角度2：根据函数的极值（点）求参数角度3：求函数的最值（不含参）角度4：根据函数的最值求参数重点题型五：利用导数求解不等式恒成立与有解问题重点题型六：利用导数研究函数的零点（方程的根）重点题型七：形如，，的问题对比第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：导数的运算1．(2023·江苏省响水中学高二阶段练习）下列导数运算正确的是（

）A． B．C． D．答案：D【详解】因为,所以A错误；因为,所以B错误；因为,所以C错误；因为,所以D正确.故选:D.2．(2023·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习（文））求下列函数的导数．(1)(2)(3)(4)答案：(1)；(2)；(3)；(4)．（1）；（2）；（3）；（4），．3．(2023·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4).答案：(1)(2)(3)(4)（1）由，可得（2）由，可得（3）由，可得（4）由，可得4．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．答案：(1)(2)(3)(4)(5)（1），.（2），，.（3），.（4），.（5），．重点题型二：导数的几何意义1．(2023·云南·石林彝族自治县第一中学高二阶段练习（理））曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．答案：A【详解】，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.故选：A.2．(2023·重庆十八中高二期末）已知函数的图像如图所示，则是的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．答案：A【详解】函数在处的切线为，在处的切线为，为过，两点的直线的斜率，由图可知，直线，即故选：A3．(2023·天津市武清区天和城实验中学高三阶段练习）若曲线在点处的切线方程为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【详解】由题设，则，又，所以，故.故选：B4．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数________．答案：−12##-0.5【详解】，，曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为m，曲线在处的切线与直线垂直，，．故答案为：-0.55．（多选）(2023·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习）函数过点的切线方程是（

）A． B．C． D．答案：AD【详解】设切点坐标为，由，∴在处的切线斜率为，切线方程为，由切线过，，解得或，时切线方程，选D；时切线方程，选A.故选：AD6．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（理））函数过点的切线方程为____________答案：或【详解】由题设，若切点为，则，所以切线方程为，又切线过，则，解得或，当时，切线为；当时，切线为，整理得.故答案为：或7．(2023·重庆南开中学高三阶段练习）过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.答案：【详解】因为，则，设切点为()，，所以切线方程为，代入，得，即这个关于的方程有两个解，令()，，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值，，且，，所以.故答案为：.8．(2023·北京·景山学校高三开学考试）已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为______.答案：【详解】解：设与相切与点Q，则，令，得，则切点，代入，得，即直线方程为，所以与直线间的距离为，即为到直线的最小距离，故答案为：9．(2023·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知点A在曲线上，点B在直线上，则点A，B之间的距离的最小值为____________.答案：##【详解】由题意，当点A，B之间的距离的最小时，点A处的切线与直线平行.又，故当时，，故此时.故点A，B之间的距离的最小值为到直线的距离.故答案为：重点题型三：利用导数研究函数的单调性角度1：已知函数在区间上单调1．(2023·全国·高二课时练习）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】由，得.由于函数在上单调递减，所以在上恒成立，则在上恒成立，所以.故选：C2．(2023·福建·莆田一中高二期末）若函数在是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【详解】∵在上是增函数，故在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，则为减函数.∴，故.故选：D.3．(2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围为______.答案：【详解】由函数有由得，得.所以在上单调递增，在上单调递减，又函数在上单调递增，则则，解得：.故答案为：4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是__________．答案：【详解】,在上是严格减函数,故在恒成立，且不恒为0，即，记，则，所以在单调递增，故，因此，故答案为：5．(2023·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；在上是单调函数，或或，解得：或，即实数的取值范围为.故选：B.6．(2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】由，得．因为在，上单调递增，在上单调递减，所以方程的两个根分别位于区间和上，所以，即解得.故选：A．角度2：已知函数在区间上存在单调区间1．(2023·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】因为，所以，因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，即，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，所以.故选：A2．（2023·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（文））若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是A． B． C． D．答案：B【详解】试题分析：∵函数在区间上存在单调增区间，∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立．而，，即即，由题意知，存在，有成立，只需即可，设，则，在上是减函数，在上是增函数，而，，，．故选B．3．（2023·广东·广州市天河外国语学校高二期中）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】∵函数在区间上存在单调增区间，∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，，设，则或，即或，得或，则；故选：A．4．(2023·全国·高三专题练习）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是_________.答案：【详解】由得，为使函数在上存在单调递增区间，只需存在，使成立，即只需即可；当时，显然单调递减，所以的最大值为，由，解得，所以a的取值范围是.故答案为：.角度3：已知函数在区间上不单调1．(2023·广东深圳·高三阶段练习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【详解】，，当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合要求，舍去；当时，则要求的零点在内，的对称轴为，由零点存在性定理可得：，故，解得：，故的取值范围.故选：C2．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（理））若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A．或或 B．或C． D．不存在这样的实数答案：B【详解】解：，令，解得，或，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，即函数极值点为，若函数在区间上不是单调函数，则或，所以或，解得或故选：B．3．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））若函数在上不单调，则的取值范围是____．答案：0【详解】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递减，当原函数递增；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以4．(2023·全国·高三专题练习）若对，函数在内总不是单调函数，则实数的取值范围是______答案：【详解】解：因为，所以令，解得或要使函数，对在内总不是单调函数，所以解得即故答案为：角度4：已知函数的单调区间（恰）为1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间是，则（

）A．3 B． C．2 D．答案：B【详解】函数，则导数令，即，∵，的单调递减区间是，∴0，4是方程的两根，∴，，∴故选：B.2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．6答案：D【详解】由，可得，（m＞0）令，解得，即函数（m＞0）的单调递减区间为，∴，∴，即m的最大值为6.故选：D3．(2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（

）A．－12 B．－10 C．8 D．10答案：A【详解】＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.故选：A．角度5：含参问题讨论单调性（解答题）1．(2023·湖南·邵东市第一中学高二阶段练习）设函数．(1)讨论函数的单调性；答案：(1)答案见解析（1）函数定义域为，当时，，所以在上单调递减；当时，令，，令，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.2．(2023·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；答案：(1)见详解（1）由可知，其中当时，在恒成立，即，故当时，在单调递增;当时，令，得，即在，；在，故当时，在在单调递增，在在单调递减.3．(2023·陕西·大荔县教学研究室一模）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；答案：(1)(2)答案见解析（1）当时，，∴，，∴，故切线方程为：.（2），∴，，∴①当时，，∴仅有单调递增区间，其为：，②当时，，∴当时，；当时，，∴的单调递增区间为：，单调递减区间为：.③当时，，∴当时；当时.∴的单调递增区间为：，单调递减区间为：.综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：.当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：.当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：.4．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知函数．(1)若时，试讨论的单调性；答案：(1)具体见解析（1），，，若，则令，解得，，解得，故在上单调递增，在上单调递减；若，令，得，①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；③当，即时，恒成立，故在单调递减．综上所述，当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．5．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；答案：(1)答案见详解（1）当时，则当时恒成立令，则∴在上单调递减，在上单调递增当时，令，则或①当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增②当，即时，则在上单调递增③当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递减，在，上单调递增当时，则在上单调递增当时，则在上单调递减，在，上单调递增6．(2023·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；答案：(1)答案见解析（1），当时，恒成立，在定义域内单调递增；当时，方程有两个不同根，，由可得：，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，，当时，恒成立，在定义域内单调递增；综上：当时，在定义域内单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.重点题型四：用导数求函数的极值、最值角度1：求已知函数的极值（点）1．(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习（文））设函数，若为奇函数，求：(1)曲线在点处的切线方程；(2)函数的极大值点．答案：(1)(2)（1）因为函数为奇函数，所以，从而得到，即，所以．因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为．（2），由，得，由，得或，所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，所以函数的极大值点是．2．(2023·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））设函数．(1)求在处的切线方程；(2)求的极值点和极值．答案：(1)(2)极大值点，极小值点，极大值是，极小值是(1)函数，函数的导数为．，，在处的切线方程：，即．(2)令，，解得，．当时，可得，即的单调递减区间，或，可得，∴函数单调递增区间，．∴的极大值点，极小值点，∵，∴极大值是，极小值是．3．(2023·上海嘉定·高三阶段练习）函数，其中.(1)求函数的导数；(2)若，求的极值.答案：(1)(2)极大值为，极小值为（1）由得，（2）记，则，令，则，当时，或，故当或时，，当，，因此当时，取极小值，且极小值为，当时，取极大值，且极大值为，因此的极大值为，极小值为4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数.(1)若，求函数的极值；答案：(1)极大值为；极小值为；（1）当时，，则定义域为，；当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；的极大值为；极小值为.角度2：根据函数的极值（点）求参数1．(2023·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数在处取得极值1.(1)求；答案：(1)；（1）由，结合题设，有，的，所以或；当时，在上恒为增函数，故不是极值点.当时，，当时，，即在上单调递增，但时，，即在上单调递减，是极小值点，符合题意，故.2．(2023·天津市汇文中学高三期中）设，.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)已知，在处取得极小值.求实数的取值范围.答案：(1)(2)（1）若，，，.曲线在处的切线方程为，即；（2），由令，则，①当时，时，，函数单调递增；又，所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.在处取得极小值，符合题意.②当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.

（i）当时，，由②知在内单调递增，可得当时，，时，，所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，在处取得极小值，符合题意（ii）当时，即时，在(0，1)内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意（iii）当时，即，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在取得极大值，不合题意.综上可知，实数的取值范围为.3．(2023·河北·开滦第一中学高三阶段练习）已知函数（）．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围．答案：(1)(2)（1）当时，，，求导，所以，所以在处的切线方程，即；（2），令，若函数有两个极值点，则在有两个不等实根，需满足，所以实数的取值范围为4．(2023·广东·高三阶段练习）已知函数(1)当时，求函数的极值(2)若有唯一极值点，求关于的不等式的解集.答案：(1)极大值为，极小值为.(2)（1）由题意可知，的定义域为，，当时，，则或；，故在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，极小值为.（2）由题意可知，有唯一的正解，从而，结合极值点定义可知，二次函数有两个不同的零点，，从而由韦达定理可知，，即，从而，因为，从而，故关于的不等式的解集为.5．(2023·浙江·杭州四中高二期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)若函数在处取得极大值，求a的取值范围.答案：(1)(2)（1）由可得，所以，，故曲线在点处的切线的方程；（2）由（1）可得当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以此时在处取得极大值，满足题意；当时，令，解得下面对进行分类讨论①当时，，在上单调递增，无极值点，舍去；②当时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，此时在处取得极小值，故舍去；③当时，当或时，，单调递减；当时，，单调递增，此时在处取得极大值，满足题意；④当时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，此时在处取得极大值，满足题意；综上：的取值范围为角度3：求函数的最值（不含参）1．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的最值.答案：(1)(2)（1）由，得，所以，.所以曲线在处的切线方程为，即.（2）令，则，因此，由于，故，故函数在上递增，在上递减，故2．(2023·河北唐山·高二期末）已知函数，当时，有极小值.(1)求函数的解析式：(2)求函数在上的最大值和最小值.答案：(1)(2)最大值为，最小值为（1）解：因为，所以.依题意可得，即，解得，所以，经检验符合题意；（2）解：由（1）知，则，令，解得或，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.又，，，所以最大值为，最小值为.3．(2023·云南省楚雄第一中学高二阶段练习）已知函数在点处的切线方程是，其中是自然对数的底数．(1)求实数的值；(2)当时，求函数的最大值和最小值．答案：(1)；(2)最大值是，最小值是．（1）由，得，因为函数在点处的切线方程是，所以，解得；（2）由（1）知，，令，得或，当时，的变化情况列表如下：递增极大值递减极小值递增所以的极大值为，极小值为又，所以，当时，函数的最大值是，最小值是4．(2023·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知函数存在极值，并且在时取得极大值.(1)求的解析式；(2)当时，求函数的最值.答案：(1)(2)（1）因为，所以，由题意知,解得,故，,当时，，递增，当时，，递减，故在时取得极大值，故符合题意，所以.（2）由（1）知，令，解得或，所以时，单调递减；时，单调递增，则，，所以.5．(2023·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数的导函数的两个零点为和0．(1)求的单调区间；(2)若的极小值为，求在区间上的最大值．答案：(1)答案见解析.(2)（1）依题意得，，令，因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同，又因为，故开口向下，所以当时，，即；当或时，，即，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）可知，是的极小值点，所以有，解得，所以，由（1）知在上单调递减，故.角度4：根据函数的最值求参数1．(2023·辽宁·沈阳市回民中学高二期中）已知函数f(x)＝x+alnx+1．（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为，f(x)有极小值为，无极大值；（2）a＝－1．【详解】解：（1）函数f(x)的定义域为当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，此时f(x)有极小值，无极大值；（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝，不符合条件．③若－e<a<－1，当1<x<－a时，<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－a<x<e时，>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，则a＝0或a＝－1，均不符合条件．综上所述，a＝－1．2．(2023·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）已知函数(1)若，求在定义域内的极值；(2)若在上的最小值为，求实数a的值．答案：(1)答案见解析(2)a＝－.（1）由题意得的定义域是，且，因为，所以，故在上单调递增，无极值；当，时，单调递增，时，单调递减，所以在有极小值，无极大值；（2）由（1）可得，因为，①若，则，即在上恒成立，此时在上单调递增，所以，所以（舍去）；②若，则，即在上恒成立，此时在上单调递减，所以，所以（舍去）．③若，令，得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以，所以.综上，.3．(2023·天津·南开大学附属中学高三开学考试）已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．答案：(1)(2)（1）解：函数的定义域为，当时，，则，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，所以，所以当时，求的最大值为；（2）解：函数，则，，，①若，则，所以在上单调递增，故，不符合题意；②若，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则，令，可得，解得，因为，所以符合题意，综上所述.4．(2023·四川·仁寿一中高二期中（理））设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R).(1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；(2)当x∈[1，3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值.答案：(1)证明见解析(2)2(1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，∴f(x)为R上的单调增函数.(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a).①当a≤1时，f(x)在区间[1，3]上是单调增函数，此时在[1，3]上的最小值为f（1）＝3a－1，∴3a－1＝4，∴a＝，又因a≤1，不满足舍去；②当1<a<3时，f(x)在(1，a)上是减函数，在区间(a，3)上是增函数，故在[1，3]上的最小值为f(a)＝2a3－3(a＋1)a2＋6a2＝4.化简得(a＋1)(a－2)2＝0，∴a＝－1<1(舍去)，或a＝2；③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f（3）为最小值，∴54－27(a＋1)＋18a＝4，解得，因为，所以不满足舍去.综上可知，a＝2.5．(2023·北京·清华附中高二阶段练习）已知函数，其中为常数．(1)若曲线的切线在处的切线与轴平行，求的值；(2)若在上的最大值为，求实数的值．答案：(1)(2)或(1)解：因为，．所以．依题意，解得，当时，，，此时切线方程为，符合题意；当时，，，此时切线方程为，不符合题意；所以；(2)解：由（1）知，令，解得，．所以、、的情况如下：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增①当时，在单调递增，此时，解得或3（舍．②当时，在单调递减，在单调递增，此时或，解得或或或（均舍去）．③当时，在单调递减，此时，与矛盾．④当时，在单调递增，在单调递减，此时，解得（舍去．⑤当时，此时在单调递增．此时，解得（舍去或．综上可得或．重点题型五：利用导数求解不等式恒成立与有解问题1．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若对一切恒成立，求m的取值范围．答案：(1)的单调增区间为和，单调减区间为(2)(1)∵∴，由得或，且当或时，，当时，，∴的单调增区间为和，单调减区间为(2)依题意可得在上恒成立，令，则，令，易知在上单调递增，∵，∴，又∵，∴，使得，即有，且在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，即m的取值范围为．2．(2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（文））已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求的取值范围.答案：(1)(2)（1）函数，切点为，，∴，∴的图象在处的切线方程为：，即.（2）令，.，设，，∵，∴，在上单调递增，即在上单调递增，，当时，，∴在上单调递增，∴，∴当时，恒成立.当时，，∵函数在上存在唯一的零点，∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去.综上可得：的取值范围是.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.答案：（1）；；（2）单调递增区间为，的单调递减区间为；（3）【详解】（1）由题意知，因此，从而．由题意求导得，因此，解得；（2）由（1）知．令，解得．1＋0－极大值因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为；（3）由（2）知，在处取得极大值，此极大值也是最最值．要使（）有解，只需．即，从而．解得．所以的取值范围为.4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．（1）求函数；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．答案：（1）；（2）．【详解】（1）∵，由，得且，解得，，又，∴，∴；（2）存在，使得，等价于，∵，当时，，当时，，∴在上递减，在上递增，又，，∴在上的最大值为，∴，解得，所以的取值范围是．5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若函数在处的切线与直线平行，求的值；(2)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.答案：(1)(2)（1），在处的切线与平行，，解得：.（2）令，则对任意恒成立，；①当时，，则在上恒成立，，满足题意；②时，令，解得：；当时，，此时单调递减，，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.6．(2023·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．答案：(1)函数在区间，上均单调递减(2)(1)解：的定义域为因为，所以．令，则，所以函数在区间单增；在区间单减．又因为，所以当时，所以函数在区间，上均单调递减；(2)解：当，时，所求不等式可化为，即，易知，由（1）知，在单调递减，故只需在上能成立．两边同取自然对数，得，即在上能成立．令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，所以，又，故的取值范围是．重点题型六：利用导数研究函数的零点（方程的根）1．(2023·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数在点处的切线方程为．(1)求函数的单调区间，(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．答案：(1)单调递减区间是，单调递增区间是(2)（1）由题可得，由题意得，解得，所以，由得或，由得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）因为，由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，的单调递减区间是，单调递增区间是，依题意，要使有三个零点，则，即，解得，经检验，，根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为．2．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（文））已知函数．(1)求证：有且仅有两个极值点的；(2)若，函数有三个零点，求实数c的取值范围．答案：(1)证明见解析；(2)当时，；当时，．（1）依题意，，令，即，因为恒成立，则有两个根，不妨令，即，当或时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减，分别是的极大值点和极小值点，所以有且仅有两个极值点的．（2）由（1）知是关于x的方程的两根，即有，，因，则，解得或，当时，，，则，，由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，极小值为，要使函数有三个零点，当且仅当，即，解得；当时，，，则，，函数在，上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，极小值为，要使函数有三个零点，当且仅当，即，解得，所以，当时，；当时，．3．(2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的零点个数．答案：(1)有极小值，无极大值(2)答案见解析（1）的定义域为R，当时，，令，得当x变化时，的变化情况如下表：x－0＋单调递减单调递增所以有极小值，无极大值；（2）因为，当时，，令，当或时，，单调递增；当或时．，单调递减；所以有极大值，极小值令，解得．当或时，；当．所以的图象经过特殊点，当时，，当时，．根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示．的零点个数为函数的图象与直线的交点个数．所以，关于函数的零点个数有如下结论：当或时，有2个零点；当或或时，有1个零点；当时，没有零点4．(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知函数，.(1)若函数的值域为R，求实数的取值范围；(2)若方程有且只有一解，求实数的取值范围.答案：(1)(2)（1）因为函数的值域为，所以的值域要包含的所有取值，所以或所以.（2）∵，∴，∴，方程只有一个解，即只有一个解，，当时，在单调递增，当时，在单调递减，所以当时，，函数图象如下所示：由图可知：当时，无解，此时没有解，当时，只有一解，此时有且只有一解，当时，有两解，此时有两解，所以.5．(2023·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.答案：(1)(2)（1），因为在处取得极值3，所以，即，解得.，经验证，满足题意，所以（2）方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.由（1）知，令，解得或.当变化时，的变化情况如下表所示：100单调递增3单调递减单调递增因此，当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为.作函数图象如下：所以实数的取值范围是.6．(2023·北京·汇文中学高二期中）若函数，当时，函数取得极值.(1)求函数的解析式；(2)若方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.答案：(1)(2)（1）对求导，得，由题意，得,解得,∴.（2）由（1）可得,令，得或,∴当时，；当时，；当时，.因此，当时，取得极大值；当时，取得极小值,函数的大致图象图如所示.:要使方程有3个不同的实数根，由图可知，实数k的取值范围是.重点题型七：形如，，的问题对比1．(2023·上海市高桥中学高三阶段练习）设，函数的图像和函数的图像关于y轴对称．(1)若，求x的值．(2)令，，若对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围．答案：(1)(2)（1）由题意得：，则，即，解得：或（舍去），所以；（2），，对任意，，都有恒成立，则只需在上的最小值大于等于