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文档简介
第五章一元函数的导数及其应用章末总结(精讲)目录第一部分:思维导图(总览全局)第二部分:典型例题剖析重点题型一:导数的运算重点题型二:导数的几何意义重点题型三:利用导数研究函数的单调性角度1:已知函数在区间上单调角度2:已知函数在区间上存在单调区间角度3:已知函数在区间上不单调角度4:已知函数的单调区间(恰)为角度5:含参问题讨论单调性(解答题)重点题型四:用导数求函数的极值、最值角度1:求已知函数的极值(点)角度2:根据函数的极值(点)求参数角度3:求函数的最值(不含参)角度4:根据函数的最值求参数重点题型五:利用导数求解不等式恒成立与有解问题重点题型六:利用导数研究函数的零点(方程的根)重点题型七:形如,,的问题对比第一部分:思第一部分:思维导图总览全局第二部分:第二部分:典型例题剖析重点题型一:导数的运算1.(2023·江苏省响水中学高二阶段练习)下列导数运算正确的是(
)A. B.C. D.2.(2023·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习(文))求下列函数的导数.(1)(2)(3)(4)3.(2023·陕西·延安市第一中学高二阶段练习(文))求下列函数的导数.(1);(2);(3);(4).4.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数.(1);(2);(3);(4);(5).重点题型二:导数的几何意义1.(2023·云南·石林彝族自治县第一中学高二阶段练习(理))曲线在点处的切线的倾斜角为(
)A. B. C. D.2.(2023·重庆十八中高二期末)已知函数的图像如图所示,则是的导函数,则下列数值排序正确的是(
)A. B.C. D.3.(2023·天津市武清区天和城实验中学高三阶段练习)若曲线在点处的切线方程为,则(
)A.1 B.2 C.3 D.44.(2023·江西·高三阶段练习(理))已知曲线在处的切线与直线垂直,则实数________.5.(多选)(2023·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习)函数过点的切线方程是(
)A. B.C. D.6.(2023·河南·郑州四中高三阶段练习(理))函数过点的切线方程为____________7.(2023·重庆南开中学高三阶段练习)过点作曲线的切线,若切线有且只有两条,则实数的取值范围是___________.8.(2023·北京·景山学校高三开学考试)已知点为曲线上的动点,则到直线的最小距离为______.9.(2023·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习(理))已知点A在曲线上,点B在直线上,则点A,B之间的距离的最小值为____________.重点题型三:利用导数研究函数的单调性角度1:已知函数在区间上单调1.(2023·全国·高二课时练习)若函数在上单调递减,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·福建·莆田一中高二期末)若函数在是增函数,则的取值范围是(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)函数在上单调递增,则实数的取值范围为______.4.(2023·全国·高二课时练习)已知函数,若函数在上是严格减函数,则实数a的取值范围是__________.5.(2023·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中)若函数在区间上是单调函数,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.6.(2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习)已知函数在,上单调递增,在上单调递减,则实数a的取值范围为(
)A. B.C. D.角度2:已知函数在区间上存在单调区间1.(2023·甘肃·武威第六中学模拟预测(文))已知函数在区间上存在单调减区间,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.2.(2023·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习(文))若函数在区间上存在单调递增区间,则实数的取值范围是A. B. C. D.3.(2023·广东·广州市天河外国语学校高二期中)已知函数在区间上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)若函数在上存在单调递增区间,则的取值范围是_________.角度3:已知函数在区间上不单调1.(2023·广东深圳·高三阶段练习)若函数在区间上不单调,则的取值范围是(
)A. B.C. D.2.(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习(理))若函数在区间上不是单调函数,则实数k的取值范围是(
)A.或或 B.或C. D.不存在这样的实数3.(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习(理))若函数在上不单调,则的取值范围是____.4.(2023·全国·高三专题练习)若对,函数在内总不是单调函数,则实数的取值范围是______角度4:已知函数的单调区间(恰)为1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的单调递减区间是,则(
)A.3 B. C.2 D.2.(2023·全国·高二课时练习)已知函数(m>0)的单调递减区间为,若,则m的最大值为(
)A.1 B.2 C.3 D.63.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=(
)A.-12 B.-10 C.8 D.10角度5:含参问题讨论单调性(解答题)1.(2023·湖南·邵东市第一中学高二阶段练习)设函数.(1)讨论函数的单调性;2.(2023·云南·昆明一中高三阶段练习)已知函数.(1)讨论的单调性;3.(2023·陕西·大荔县教学研究室一模)已知函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)求函数的单调区间;4.(2023·江西·高三阶段练习(理))已知函数.(1)若时,试讨论的单调性;5.(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知函数.(1)讨论的单调性;6.(2023·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习)已知函数.(1)讨论函数的单调性;重点题型四:用导数求函数的极值、最值角度1:求已知函数的极值(点)1.(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习(文))设函数,若为奇函数,求:(1)曲线在点处的切线方程;(2)函数的极大值点.2.(2023·四川省绵阳南山中学高二阶段练习(文))设函数.(1)求在处的切线方程;(2)求的极值点和极值.3.(2023·上海嘉定·高三阶段练习)函数,其中.(1)求函数的导数;(2)若,求的极值.4.(2023·吉林·东北师大附中模拟预测)已知函数.(1)若,求函数的极值;角度2:根据函数的极值(点)求参数1.(2023·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习)已知函数在处取得极值1.(1)求;2.(2023·天津市汇文中学高三期中)设,.(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)已知,在处取得极小值.求实数的取值范围.3.(2023·河北·开滦第一中学高三阶段练习)已知函数().(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)若函数有两个极值点,求实数的取值范围.4.(2023·广东·高三阶段练习)已知函数(1)当时,求函数的极值(2)若有唯一极值点,求关于的不等式的解集.5.(2023·浙江·杭州四中高二期中)已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程;(2)若函数在处取得极大值,求a的取值范围.角度3:求函数的最值(不含参)1.(2023·重庆八中高三阶段练习)已知函数.(1)求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的最值.2.(2023·河北唐山·高二期末)已知函数,当时,有极小值.(1)求函数的解析式:(2)求函数在上的最大值和最小值.3.(2023·云南省楚雄第一中学高二阶段练习)已知函数在点处的切线方程是,其中是自然对数的底数.(1)求实数的值;(2)当时,求函数的最大值和最小值.4.(2023·四川省绵阳南山中学高三阶段练习(文))已知函数存在极值,并且在时取得极大值.(1)求的解析式;(2)当时,求函数的最值.5.(2023·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知函数的导函数的两个零点为和0.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.角度4:根据函数的最值求参数1.(2023·辽宁·沈阳市回民中学高二期中)已知函数f(x)=x+alnx+1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-a+1,求实数a的值.2.(2023·黑龙江·大庆市东风中学高二期中)已知函数(1)若,求在定义域内的极值;(2)若在上的最小值为,求实数a的值.3.(2023·天津·南开大学附属中学高三开学考试)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间上的最大值为-3,求a的值.4.(2023·四川·仁寿一中高二期中(理))设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax(a∈R).(1)当a=1时,求证:f(x)为R上的单调递增函数;(2)当x∈[1,3]时,若f(x)的最小值为4,求实数a的值.5.(2023·北京·清华附中高二阶段练习)已知函数,其中为常数.(1)若曲线的切线在处的切线与轴平行,求的值;(2)若在上的最大值为,求实数的值.重点题型五:利用导数求解不等式恒成立与有解问题1.(2023·江西上饶·高二期末(文))已知函数.(1)若,求的单调区间;(2)若对一切恒成立,求m的取值范围.2.(2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习(文))已知函数.(1)求的图象在处的切线方程;(2)当时,恒成立,求的取值范围.3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在处取得极值,其中为常数.(1)试确定的值;(2)讨论函数的单调区间;(3)若对任意,不等式有解,求的取值范围.4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,当时,的极小值为,当时,有极大值.(1)求函数;(2)存在,使得成立,求实数的取值范围.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)若函数在处的切线与直线平行,求的值;(2)若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.6.(2023·安徽·淮南第一中学一模(理))已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)已知,若存在时,不等式成立,求的取值范围.重点题型六:利用导数研究函数的零点(方程的根)1.(2023·山东省青岛第九中学高三阶段练习)已知函数在点处的切线方程为.(1)求函数的单调区间,(2)若函数有三个零点,求实数m的取值范围.2.(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习(文))已知函数.(1)求证:有且仅有两个极值点的;(2)若,函数有三个零点,求实数c的取值范围.3.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.(1)若,求函数的极值;(2)讨论函数的零点个数.4.(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习)已知函数,.(1)若函数的值域为R,求实数的取值范围;(2)若方程有且只有一解,求实数的取值范围.5.(2023·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习(文))已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a,b的值;(2)若方程有三个相异实根,求实数k的取值范围.6.(2023·北京·汇文中学高二期中)若函数,当时,函数取得极值.(1)求函数的解析式;(2)若方程有3个不同的实数根,求实数k的取值范围.重点题型七:形如,,的问题对比1.(2023·上海市高桥中学高三阶段练习)设,函数的图像和函数的图像关于y轴对称.(1)若,求x的值.(2)令,,若对任意,,都有恒成立,求实数的取值范围.2.(2023·北京市八一中学高三阶段练习)已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)若对于任意的,都有,求实数的取值范围.3.(2023·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若恒成立,求a的取值范围.4.(2023·四川成都·高三阶段练习(文))已知函数,.(1)求过点且与曲线相切的直线的方程;(2)求证:.5.(2023·陕西·咸阳市高新一中高三开学考试(文))已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设,证明:当时,.6.(2023·吉林·高二期末)已知函数,.(1)求函数的极值点;(2)若恒成立,求实数的取值范围.7.(2023·全国·高二专题练习)已知函数,.(1)若时,恒成立,求实数a的取值范围;(2)求的最小值.8.(2023·贵州·遵义四中高一阶段练习)已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)若关于的方程的两根满足一根大于1,另外一根小于1,求实数的取值范围;(2)已知函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数的取值范围.9.(2023·江苏省镇江第一中学高一阶段练习)已知函数.(1)若不等式的解集为,求不等式的解集;(2)若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)已知,当时,若对任意,总存在,使成立,求实数的取值范围.第五章一元函数的导数及其应用章末总结(精讲)目录第一部分:思维导图(总览全局)第二部分:典型例题剖析重点题型一:导数的运算重点题型二:导数的几何意义重点题型三:利用导数研究函数的单调性角度1:已知函数在区间上单调角度2:已知函数在区间上存在单调区间角度3:已知函数在区间上不单调角度4:已知函数的单调区间(恰)为角度5:含参问题讨论单调性(解答题)重点题型四:用导数求函数的极值、最值角度1:求已知函数的极值(点)角度2:根据函数的极值(点)求参数角度3:求函数的最值(不含参)角度4:根据函数的最值求参数重点题型五:利用导数求解不等式恒成立与有解问题重点题型六:利用导数研究函数的零点(方程的根)重点题型七:形如,,的问题对比第一部分:思第一部分:思维导图总览全局第二部分:第二部分:典型例题剖析重点题型一:导数的运算1.(2023·江苏省响水中学高二阶段练习)下列导数运算正确的是(
)A. B.C. D.答案:D【详解】因为,所以A错误;因为,所以B错误;因为,所以C错误;因为,所以D正确.故选:D.2.(2023·甘肃·兰州市七里河区教育局高三阶段练习(文))求下列函数的导数.(1)(2)(3)(4)答案:(1);(2);(3);(4).(1);(2);(3);(4),.3.(2023·陕西·延安市第一中学高二阶段练习(文))求下列函数的导数.(1);(2);(3);(4).答案:(1)(2)(3)(4)(1)由,可得(2)由,可得(3)由,可得(4)由,可得4.(2023·全国·高二课时练习)求下列函数的导数.(1);(2);(3);(4);(5).答案:(1)(2)(3)(4)(5)(1),.(2),,.(3),.(4),.(5),.重点题型二:导数的几何意义1.(2023·云南·石林彝族自治县第一中学高二阶段练习(理))曲线在点处的切线的倾斜角为(
)A. B. C. D.答案:A【详解】,所以在点处的切线的斜率为-1,倾斜角为.故选:A.2.(2023·重庆十八中高二期末)已知函数的图像如图所示,则是的导函数,则下列数值排序正确的是(
)A. B.C. D.答案:A【详解】函数在处的切线为,在处的切线为,为过,两点的直线的斜率,由图可知,直线,即故选:A3.(2023·天津市武清区天和城实验中学高三阶段练习)若曲线在点处的切线方程为,则(
)A.1 B.2 C.3 D.4答案:B【详解】由题设,则,又,所以,故.故选:B4.(2023·江西·高三阶段练习(理))已知曲线在处的切线与直线垂直,则实数________.答案:−12##-0.5【详解】,,曲线在处的切线斜率为,直线的斜率为m,曲线在处的切线与直线垂直,,.故答案为:-0.55.(多选)(2023·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习)函数过点的切线方程是(
)A. B.C. D.答案:AD【详解】设切点坐标为,由,∴在处的切线斜率为,切线方程为,由切线过,,解得或,时切线方程,选D;时切线方程,选A.故选:AD6.(2023·河南·郑州四中高三阶段练习(理))函数过点的切线方程为____________答案:或【详解】由题设,若切点为,则,所以切线方程为,又切线过,则,解得或,当时,切线为;当时,切线为,整理得.故答案为:或7.(2023·重庆南开中学高三阶段练习)过点作曲线的切线,若切线有且只有两条,则实数的取值范围是___________.答案:【详解】因为,则,设切点为(),,所以切线方程为,代入,得,即这个关于的方程有两个解,令(),,故在上单调递增,在上单调递减,所以当时,函数有最大值,,且,,所以.故答案为:.8.(2023·北京·景山学校高三开学考试)已知点为曲线上的动点,则到直线的最小距离为______.答案:【详解】解:设与相切与点Q,则,令,得,则切点,代入,得,即直线方程为,所以与直线间的距离为,即为到直线的最小距离,故答案为:9.(2023·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习(理))已知点A在曲线上,点B在直线上,则点A,B之间的距离的最小值为____________.答案:##【详解】由题意,当点A,B之间的距离的最小时,点A处的切线与直线平行.又,故当时,,故此时.故点A,B之间的距离的最小值为到直线的距离.故答案为:重点题型三:利用导数研究函数的单调性角度1:已知函数在区间上单调1.(2023·全国·高二课时练习)若函数在上单调递减,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【详解】由,得.由于函数在上单调递减,所以在上恒成立,则在上恒成立,所以.故选:C2.(2023·福建·莆田一中高二期末)若函数在是增函数,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:D【详解】∵在上是增函数,故在上恒成立,即在上恒成立,令,则,当时,,则为减函数.∴,故.故选:D.3.(2023·全国·高三专题练习)函数在上单调递增,则实数的取值范围为______.答案:【详解】由函数有由得,得.所以在上单调递增,在上单调递减,又函数在上单调递增,则则,解得:.故答案为:4.(2023·全国·高二课时练习)已知函数,若函数在上是严格减函数,则实数a的取值范围是__________.答案:【详解】,在上是严格减函数,故在恒成立,且不恒为0,即,记,则,所以在单调递增,故,因此,故答案为:5.(2023·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中)若函数在区间上是单调函数,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:B【详解】,当时,;当时,;在,上单调递减,在上单调递增;在上是单调函数,或或,解得:或,即实数的取值范围为.故选:B.6.(2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习)已知函数在,上单调递增,在上单调递减,则实数a的取值范围为(
)A. B.C. D.答案:A【详解】由,得.因为在,上单调递增,在上单调递减,所以方程的两个根分别位于区间和上,所以,即解得.故选:A.角度2:已知函数在区间上存在单调区间1.(2023·甘肃·武威第六中学模拟预测(文))已知函数在区间上存在单调减区间,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.答案:A【详解】因为,所以,因为在区间上存在单调递减区间,所以存在,使得,即,令,,则恒成立,所以在上单调递增,所以,所以.故选:A2.(2023·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习(文))若函数在区间上存在单调递增区间,则实数的取值范围是A. B. C. D.答案:B【详解】试题分析:∵函数在区间上存在单调增区间,∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立.而,,即即,由题意知,存在,有成立,只需即可,设,则,在上是减函数,在上是增函数,而,,,.故选B.3.(2023·广东·广州市天河外国语学校高二期中)已知函数在区间上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【详解】∵函数在区间上存在单调增区间,∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立,,设,则或,即或,得或,则;故选:A.4.(2023·全国·高三专题练习)若函数在上存在单调递增区间,则的取值范围是_________.答案:【详解】由得,为使函数在上存在单调递增区间,只需存在,使成立,即只需即可;当时,显然单调递减,所以的最大值为,由,解得,所以a的取值范围是.故答案为:.角度3:已知函数在区间上不单调1.(2023·广东深圳·高三阶段练习)若函数在区间上不单调,则的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:C【详解】,,当时,在上恒成立,此时在上单调递减,不合要求,舍去;当时,则要求的零点在内,的对称轴为,由零点存在性定理可得:,故,解得:,故的取值范围.故选:C2.(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习(理))若函数在区间上不是单调函数,则实数k的取值范围是(
)A.或或 B.或C. D.不存在这样的实数答案:B【详解】解:,令,解得,或,所以当或时,当时,所以在和上单调递增,在上单调递减,即函数极值点为,若函数在区间上不是单调函数,则或,所以或,解得或故选:B.3.(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习(理))若函数在上不单调,则的取值范围是____.答案:0【详解】此题考查导数的应用;,所以当时,原函数递减,当原函数递增;因为在上不单调,所以在上即有减又有增,所以4.(2023·全国·高三专题练习)若对,函数在内总不是单调函数,则实数的取值范围是______答案:【详解】解:因为,所以令,解得或要使函数,对在内总不是单调函数,所以解得即故答案为:角度4:已知函数的单调区间(恰)为1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的单调递减区间是,则(
)A.3 B. C.2 D.答案:B【详解】函数,则导数令,即,∵,的单调递减区间是,∴0,4是方程的两根,∴,,∴故选:B.2.(2023·全国·高二课时练习)已知函数(m>0)的单调递减区间为,若,则m的最大值为(
)A.1 B.2 C.3 D.6答案:D【详解】由,可得,(m>0)令,解得,即函数(m>0)的单调递减区间为,∴,∴,即m的最大值为6.故选:D3.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=(
)A.-12 B.-10 C.8 D.10答案:A【详解】=3x2+2bx+c,由题意知,-1<x<3是不等式3x2+2bx+c<0的解,∴-1,3是=0的两个根,∴b=-3,c=-9,∴b+c=-12.故选:A.角度5:含参问题讨论单调性(解答题)1.(2023·湖南·邵东市第一中学高二阶段练习)设函数.(1)讨论函数的单调性;答案:(1)答案见解析(1)函数定义域为,当时,,所以在上单调递减;当时,令,,令,,所以在上单调递减,在上单调递增.综上:当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.2.(2023·云南·昆明一中高三阶段练习)已知函数.(1)讨论的单调性;答案:(1)见详解(1)由可知,其中当时,在恒成立,即,故当时,在单调递增;当时,令,得,即在,;在,故当时,在在单调递增,在在单调递减.3.(2023·陕西·大荔县教学研究室一模)已知函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)求函数的单调区间;答案:(1)(2)答案见解析(1)当时,,∴,,∴,故切线方程为:.(2),∴,,∴①当时,,∴仅有单调递增区间,其为:,②当时,,∴当时,;当时,,∴的单调递增区间为:,单调递减区间为:.③当时,,∴当时;当时.∴的单调递增区间为:,单调递减区间为:.综上所述:当时,仅有单调递增区间,单调递增区间为:.当时,的单调递增区间为:,单调递减区间为:.当时,的单调递增区间为:,单调递减区间为:.4.(2023·江西·高三阶段练习(理))已知函数.(1)若时,试讨论的单调性;答案:(1)具体见解析(1),,,若,则令,解得,,解得,故在上单调递增,在上单调递减;若,令,得,①当,即时,,解得或,在和上单调递减,,解得,在上单调递增;②当,即时,,解得或,在和上单调递减,,解得,在上单调递增;③当,即时,恒成立,故在单调递减.综上所述,当时,在和上单调递减,在上单调递增;当时,在单调递减;当时,在和上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.5.(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知函数.(1)讨论的单调性;答案:(1)答案见详解(1)当时,则当时恒成立令,则∴在上单调递减,在上单调递增当时,令,则或①当,即时,则在上单调递减,在,上单调递增②当,即时,则在上单调递增③当,即时,则在上单调递减,在,上单调递增综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增当时,在上单调递减,在,上单调递增当时,则在上单调递增当时,则在上单调递减,在,上单调递增6.(2023·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习)已知函数.(1)讨论函数的单调性;答案:(1)答案见解析(1),当时,恒成立,在定义域内单调递增;当时,方程有两个不同根,,由可得:,所以在和上单调递增,在上单调递减;当时,,当时,恒成立,在定义域内单调递增;综上:当时,在定义域内单调递增,当时,在和上单调递增,在上单调递减.重点题型四:用导数求函数的极值、最值角度1:求已知函数的极值(点)1.(2023·陕西·咸阳市高新一中高三阶段练习(文))设函数,若为奇函数,求:(1)曲线在点处的切线方程;(2)函数的极大值点.答案:(1)(2)(1)因为函数为奇函数,所以,从而得到,即,所以.因为,所以,所以曲线在点处的切线方程为.(2),由,得,由,得或,所以函数在上是严格减函数,在上是严格增函数,所以函数的极大值点是.2.(2023·四川省绵阳南山中学高二阶段练习(文))设函数.(1)求在处的切线方程;(2)求的极值点和极值.答案:(1)(2)极大值点,极小值点,极大值是,极小值是(1)函数,函数的导数为.,,在处的切线方程:,即.(2)令,,解得,.当时,可得,即的单调递减区间,或,可得,∴函数单调递增区间,.∴的极大值点,极小值点,∵,∴极大值是,极小值是.3.(2023·上海嘉定·高三阶段练习)函数,其中.(1)求函数的导数;(2)若,求的极值.答案:(1)(2)极大值为,极小值为(1)由得,(2)记,则,令,则,当时,或,故当或时,,当,,因此当时,取极小值,且极小值为,当时,取极大值,且极大值为,因此的极大值为,极小值为4.(2023·吉林·东北师大附中模拟预测)已知函数.(1)若,求函数的极值;答案:(1)极大值为;极小值为;(1)当时,,则定义域为,;当时,;当时,;在,上单调递增,在上单调递减;的极大值为;极小值为.角度2:根据函数的极值(点)求参数1.(2023·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习)已知函数在处取得极值1.(1)求;答案:(1);(1)由,结合题设,有,的,所以或;当时,在上恒为增函数,故不是极值点.当时,,当时,,即在上单调递增,但时,,即在上单调递减,是极小值点,符合题意,故.2.(2023·天津市汇文中学高三期中)设,.(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)已知,在处取得极小值.求实数的取值范围.答案:(1)(2)(1)若,,,.曲线在处的切线方程为,即;(2),由令,则,①当时,时,,函数单调递增;又,所以当时,,单调递减.当时,,单调递增.在处取得极小值,符合题意.②当时,时,,函数单调递增,时,,函数单调递减.
(i)当时,,由②知在内单调递增,可得当时,,时,,所以在(0,1)内单调递减,在内单调递增,在处取得极小值,符合题意(ii)当时,即时,在(0,1)内单调递增,在内单调递减,所以当时,,单调递减,不合题意(iii)当时,即,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以在取得极大值,不合题意.综上可知,实数的取值范围为.3.(2023·河北·开滦第一中学高三阶段练习)已知函数().(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)若函数有两个极值点,求实数的取值范围.答案:(1)(2)(1)当时,,,求导,所以,所以在处的切线方程,即;(2),令,若函数有两个极值点,则在有两个不等实根,需满足,所以实数的取值范围为4.(2023·广东·高三阶段练习)已知函数(1)当时,求函数的极值(2)若有唯一极值点,求关于的不等式的解集.答案:(1)极大值为,极小值为.(2)(1)由题意可知,的定义域为,,当时,,则或;,故在和上单调递增,在上单调递减,故的极大值为,极小值为.(2)由题意可知,有唯一的正解,从而,结合极值点定义可知,二次函数有两个不同的零点,,从而由韦达定理可知,,即,从而,因为,从而,故关于的不等式的解集为.5.(2023·浙江·杭州四中高二期中)已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程;(2)若函数在处取得极大值,求a的取值范围.答案:(1)(2)(1)由可得,所以,,故曲线在点处的切线的方程;(2)由(1)可得当时,,当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以此时在处取得极大值,满足题意;当时,令,解得下面对进行分类讨论①当时,,在上单调递增,无极值点,舍去;②当时,当或时,,单调递增;当时,,单调递减,此时在处取得极小值,故舍去;③当时,当或时,,单调递减;当时,,单调递增,此时在处取得极大值,满足题意;④当时,当或时,,单调递增;当时,,单调递减,此时在处取得极大值,满足题意;综上:的取值范围为角度3:求函数的最值(不含参)1.(2023·重庆八中高三阶段练习)已知函数.(1)求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的最值.答案:(1)(2)(1)由,得,所以,.所以曲线在处的切线方程为,即.(2)令,则,因此,由于,故,故函数在上递增,在上递减,故2.(2023·河北唐山·高二期末)已知函数,当时,有极小值.(1)求函数的解析式:(2)求函数在上的最大值和最小值.答案:(1)(2)最大值为,最小值为(1)解:因为,所以.依题意可得,即,解得,所以,经检验符合题意;(2)解:由(1)知,则,令,解得或,所以当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.又,,,所以最大值为,最小值为.3.(2023·云南省楚雄第一中学高二阶段练习)已知函数在点处的切线方程是,其中是自然对数的底数.(1)求实数的值;(2)当时,求函数的最大值和最小值.答案:(1);(2)最大值是,最小值是.(1)由,得,因为函数在点处的切线方程是,所以,解得;(2)由(1)知,,令,得或,当时,的变化情况列表如下:递增极大值递减极小值递增所以的极大值为,极小值为又,所以,当时,函数的最大值是,最小值是4.(2023·四川省绵阳南山中学高三阶段练习(文))已知函数存在极值,并且在时取得极大值.(1)求的解析式;(2)当时,求函数的最值.答案:(1)(2)(1)因为,所以,由题意知,解得,故,,当时,,递增,当时,,递减,故在时取得极大值,故符合题意,所以.(2)由(1)知,令,解得或,所以时,单调递减;时,单调递增,则,,所以.5.(2023·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知函数的导函数的两个零点为和0.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.答案:(1)答案见解析.(2)(1)依题意得,,令,因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同,又因为,故开口向下,所以当时,,即;当或时,,即,所以的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由(1)可知,是的极小值点,所以有,解得,所以,由(1)知在上单调递减,故.角度4:根据函数的最值求参数1.(2023·辽宁·沈阳市回民中学高二期中)已知函数f(x)=x+alnx+1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-a+1,求实数a的值.答案:(1)单调递增区间为,单调递减区间为,f(x)有极小值为,无极大值;(2)a=-1.【详解】解:(1)函数f(x)的定义域为当时,>0恒成立,f(x)在上单调递增,无极值;当a<0时,令>0,解得x>-a,令<0,解得x<-a,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,此时f(x)有极小值,无极大值;(2),x∈[1,e],由=0得x=-a,①若a≥-1,则x+a≥0,即在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=-a+1,即2=-a+1,则a=-1,符合条件.②若a≤-e,则x+a≤0,即≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,∴f(x)min=f(e)=-a+1,即e+a+1=-a+1,则a=,不符合条件.③若-e<a<-1,当1<x<-a时,<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;当-a<x<e时,>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,∴f(x)min=f(-a)=﹣a+1,即-a+aln(-a)+1=﹣a+1,则a=0或a=-1,均不符合条件.综上所述,a=-1.2.(2023·黑龙江·大庆市东风中学高二期中)已知函数(1)若,求在定义域内的极值;(2)若在上的最小值为,求实数a的值.答案:(1)答案见解析(2)a=-.(1)由题意得的定义域是,且,因为,所以,故在上单调递增,无极值;当,时,单调递增,时,单调递减,所以在有极小值,无极大值;(2)由(1)可得,因为,①若,则,即在上恒成立,此时在上单调递增,所以,所以(舍去);②若,则,即在上恒成立,此时在上单调递减,所以,所以(舍去).③若,令,得,当时,,所以在上单调递减;当时,,所以在上单调递增,所以,所以.综上,.3.(2023·天津·南开大学附属中学高三开学考试)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间上的最大值为-3,求a的值.答案:(1)(2)(1)解:函数的定义域为,当时,,则,当时,,当时,,所以在上为单调递增函数,在上为单调递减函数,所以,所以当时,求的最大值为;(2)解:函数,则,,,①若,则,所以在上单调递增,故,不符合题意;②若,当时,,当时,,所以在上为单调递增函数,在上为单调递减函数,则,令,可得,解得,因为,所以符合题意,综上所述.4.(2023·四川·仁寿一中高二期中(理))设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax(a∈R).(1)当a=1时,求证:f(x)为R上的单调递增函数;(2)当x∈[1,3]时,若f(x)的最小值为4,求实数a的值.答案:(1)证明见解析(2)2(1)证明:当a=1时,f(x)=2x3-6x2+6x,则f′(x)=6x2-12x+6=6(x-1)2≥0,∴f(x)为R上的单调增函数.(2)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).①当a≤1时,f(x)在区间[1,3]上是单调增函数,此时在[1,3]上的最小值为f(1)=3a-1,∴3a-1=4,∴a=,又因a≤1,不满足舍去;②当1<a<3时,f(x)在(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故在[1,3]上的最小值为f(a)=2a3-3(a+1)a2+6a2=4.化简得(a+1)(a-2)2=0,∴a=-1<1(舍去),或a=2;③当a≥3时,f(x)在区间(1,a)上是减函数,故f(3)为最小值,∴54-27(a+1)+18a=4,解得,因为,所以不满足舍去.综上可知,a=2.5.(2023·北京·清华附中高二阶段练习)已知函数,其中为常数.(1)若曲线的切线在处的切线与轴平行,求的值;(2)若在上的最大值为,求实数的值.答案:(1)(2)或(1)解:因为,.所以.依题意,解得,当时,,,此时切线方程为,符合题意;当时,,,此时切线方程为,不符合题意;所以;(2)解:由(1)知,令,解得,.所以、、的情况如下:00单调递增极大值单调递减极小值单调递增①当时,在单调递增,此时,解得或3(舍.②当时,在单调递减,在单调递增,此时或,解得或或或(均舍去).③当时,在单调递减,此时,与矛盾.④当时,在单调递增,在单调递减,此时,解得(舍去.⑤当时,此时在单调递增.此时,解得(舍去或.综上可得或.重点题型五:利用导数求解不等式恒成立与有解问题1.(2023·江西上饶·高二期末(文))已知函数.(1)若,求的单调区间;(2)若对一切恒成立,求m的取值范围.答案:(1)的单调增区间为和,单调减区间为(2)(1)∵∴,由得或,且当或时,,当时,,∴的单调增区间为和,单调减区间为(2)依题意可得在上恒成立,令,则,令,易知在上单调递增,∵,∴,又∵,∴,使得,即有,且在上单调递减,在上单调递增,∴,∴,即m的取值范围为.2.(2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习(文))已知函数.(1)求的图象在处的切线方程;(2)当时,恒成立,求的取值范围.答案:(1)(2)(1)函数,切点为,,∴,∴的图象在处的切线方程为:,即.(2)令,.,设,,∵,∴,在上单调递增,即在上单调递增,,当时,,∴在上单调递增,∴,∴当时,恒成立.当时,,∵函数在上存在唯一的零点,∴函数在区间上单调递减,,不符合题意,舍去.综上可得:的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数在处取得极值,其中为常数.(1)试确定的值;(2)讨论函数的单调区间;(3)若对任意,不等式有解,求的取值范围.答案:(1);;(2)单调递增区间为,的单调递减区间为;(3)【详解】(1)由题意知,因此,从而.由题意求导得,因此,解得;(2)由(1)知.令,解得.1+0-极大值因此的单调递增区间为,而的单调递减区间为;(3)由(2)知,在处取得极大值,此极大值也是最最值.要使()有解,只需.即,从而.解得.所以的取值范围为.4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,当时,的极小值为,当时,有极大值.(1)求函数;(2)存在,使得成立,求实数的取值范围.答案:(1);(2).【详解】(1)∵,由,得且,解得,,又,∴,∴;(2)存在,使得,等价于,∵,当时,,当时,,∴在上递减,在上递增,又,,∴在上的最大值为,∴,解得,所以的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)若函数在处的切线与直线平行,求的值;(2)若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.答案:(1)(2)(1),在处的切线与平行,,解得:.(2)令,则对任意恒成立,;①当时,,则在上恒成立,,满足题意;②时,令,解得:;当时,,此时单调递减,,不合题意;综上所述:实数的取值范围为.6.(2023·安徽·淮南第一中学一模(理))已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)已知,若存在时,不等式成立,求的取值范围.答案:(1)函数在区间,上均单调递减(2)(1)解:的定义域为因为,所以.令,则,所以函数在区间单增;在区间单减.又因为,所以当时,所以函数在区间,上均单调递减;(2)解:当,时,所求不等式可化为,即,易知,由(1)知,在单调递减,故只需在上能成立.两边同取自然对数,得,即在上能成立.令,则,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,,所以,又,故的取值范围是.重点题型六:利用导数研究函数的零点(方程的根)1.(2023·山东省青岛第九中学高三阶段练习)已知函数在点处的切线方程为.(1)求函数的单调区间,(2)若函数有三个零点,求实数m的取值范围.答案:(1)单调递减区间是,单调递增区间是(2)(1)由题可得,由题意得,解得,所以,由得或,由得,所以的单调递减区间是,单调递增区间是;(2)因为,由(1)可知,在处取得极大值,在处取得极小值,的单调递减区间是,单调递增区间是,依题意,要使有三个零点,则,即,解得,经检验,,根据零点存在定理,可以确定函数有三个零点,所以m的取值范围为.2.(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习(文))已知函数.(1)求证:有且仅有两个极值点的;(2)若,函数有三个零点,求实数c的取值范围.答案:(1)证明见解析;(2)当时,;当时,.(1)依题意,,令,即,因为恒成立,则有两个根,不妨令,即,当或时,,当时,,在,上单调递增,在上单调递减,分别是的极大值点和极小值点,所以有且仅有两个极值点的.(2)由(1)知是关于x的方程的两根,即有,,因,则,解得或,当时,,,则,,由(1)知在,上单调递增,在上单调递减,则函数的极大值为,极小值为,要使函数有三个零点,当且仅当,即,解得;当时,,,则,,函数在,上单调递增,在上单调递减,则函数的极大值为,极小值为,要使函数有三个零点,当且仅当,即,解得,所以,当时,;当时,.3.(2023·全国·高二专题练习)已知函数.(1)若,求函数的极值;(2)讨论函数的零点个数.答案:(1)有极小值,无极大值(2)答案见解析(1)的定义域为R,当时,,令,得当x变化时,的变化情况如下表:x-0+单调递减单调递增所以有极小值,无极大值;(2)因为,当时,,令,当或时,,单调递增;当或时.,单调递减;所以有极大值,极小值令,解得.当或时,;当.所以的图象经过特殊点,当时,,当时,.根据以上信息,我们画出的大致图象如图所示.的零点个数为函数的图象与直线的交点个数.所以,关于函数的零点个数有如下结论:当或时,有2个零点;当或或时,有1个零点;当时,没有零点4.(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习)已知函数,.(1)若函数的值域为R,求实数的取值范围;(2)若方程有且只有一解,求实数的取值范围.答案:(1)(2)(1)因为函数的值域为,所以的值域要包含的所有取值,所以或所以.(2)∵,∴,∴,方程只有一个解,即只有一个解,,当时,在单调递增,当时,在单调递减,所以当时,,函数图象如下所示:由图可知:当时,无解,此时没有解,当时,只有一解,此时有且只有一解,当时,有两解,此时有两解,所以.5.(2023·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习(文))已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a,b的值;(2)若方程有三个相异实根,求实数k的取值范围.答案:(1)(2)(1),因为在处取得极值3,所以,即,解得.,经验证,满足题意,所以(2)方程有三个相异实根,即直线与函数图象有三个不同的交点.由(1)知,令,解得或.当变化时,的变化情况如下表所示:100单调递增3单调递减单调递增因此,当时,有极大值,且极大值为;当时,有极小值,且极小值为.作函数图象如下:所以实数的取值范围是.6.(2023·北京·汇文中学高二期中)若函数,当时,函数取得极值.(1)求函数的解析式;(2)若方程有3个不同的实数根,求实数k的取值范围.答案:(1)(2)(1)对求导,得,由题意,得,解得,∴.(2)由(1)可得,令,得或,∴当时,;当时,;当时,.因此,当时,取得极大值;当时,取得极小值,函数的大致图象图如所示.:要使方程有3个不同的实数根,由图可知,实数k的取值范围是.重点题型七:形如,,的问题对比1.(2023·上海市高桥中学高三阶段练习)设,函数的图像和函数的图像关于y轴对称.(1)若,求x的值.(2)令,,若对任意,,都有恒成立,求实数的取值范围.答案:(1)(2)(1)由题意得:,则,即,解得:或(舍去),所以;(2),,对任意,,都有恒成立,则只需在上的最小值大于等于
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