高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题27平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练专题27平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示共线共线向量定理平面向量的有关概念向量平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示加法向量的线性运算单位向量相等向量平行向量共线向量减法数乘相反向量零向量向量的模平面向量基本定理平面向量坐标表示共线向量坐标表示练高考明方向1.(2023·全国乙（文）T3）已知向量，则（）A.2 B.3 C.4 D.52.(2023·新高考Ⅰ卷T3）在中，点D在边AB上，．记，则（）A. B. C. D.3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB的中点，则eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)) B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)) D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))4．(2023年高考数学课标卷Ⅰ)在中,为边上的中线，为的中点，则 ()A．B． C． D．5．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ()A． B． C． D．6．(2023高考数学新课标1理科)设D为QUOTEABC所在平面内一点，则 ()A． B．C． D．7．(2023高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．8．(2023北京)在中，点，满足，．若，则 ； ．讲典例备高考类型一、平面向量有关概念基础知识：1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0基本题型：1．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，F分别在两腰AB，CD上，EF过点P，且EF//AD，则下列等式正确的是（）A． B．C． D．2．(多选)下列说法正确的是()A．非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件B．向量eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))(eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))为非零向量)就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在直线平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在直线C．a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向D．设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线3．给出下列四个命题：①eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直线与eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直线平行；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③ B．①②C．③④ D．②④4、（多选题）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是()A．且B．存在相异实数，使C．（其中实数满足）D．已知梯形．其中基本方法：对于向量概念的理解应注意以下几点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量．(5)向量的特征是有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，用字母表示，也可以用坐标表示。(6)相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量。(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小。(8)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的。类型二、向量的线性运算基础知识：1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两向量的差(即求a与b的相反向量－b的和的运算)a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb基本题型：1．在平行四边形中，，则必有（）.A． B．或C．四边形是矩形 D．四边形是正方形2．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A． B．C． D．3、（多选题）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是A． B． C． D．4．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)基本方法：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解；含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解。(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(4)利用平面向量的线性运算求参数的一般思路①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置。②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式。③比较，观察可知所求。类型三、共线向量定理基础知识：共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。2、常用结论：（1）若A、B、C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心。（2）A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))且λ＋μ＝1。特别，当A为线段BC中点时，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))。基本题型：1．P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（）A．内部 B．边所在直线上C．边所在直线上 D．边所在直线上如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，连接AC，MN交于点P，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(4,11)eq\o(AC,\s\up7(→))，则点N在AD上的位置为()A．AD中点B．AD上靠近点D的三等分点C．AD上靠近点D的四等分点D．AD上靠近点D的五等分点3．已知向量a，b且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D4、已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a3eq\o(OB,\s\up7(→))＋a2020eq\o(OC,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝deq\o(BC,\s\up7(→))，则S2022＝()A．0 B．1011C．2020 D．2022在△ABC中，点P满足eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))(m＞0，n＞0)，则m＋2n的最小值为()A．3 B．4C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)在△ABC中，D在线段BC上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\o(AB,\s\up7(→))，λ，μ均为非零常数，若N，D，M三点共线，则eq\f(2,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.7．设是两个不共线的向量，已知.（1）求证：，，三点共线；（2）若，且，求实数的值.基本方法：1、利用共线向量定理解题的策略（1）证明三点共线：当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共线（2）含参共线问题：利用a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0构造含有参数的方程(组)，解方程(组)得到参数的值．若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0（3）三点共线的应用：eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1类型四、平面向量基本定理基础知识：1．平面向量基本定理(1)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。注意：能作为基底的两个向量必须是不共线的。基本题型：1．在平行四边形ABCD中，设eq\o(CB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CD,\s\up7(→))＝b，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A．－eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)bB．－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bC．－eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b D.eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b2．如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A． B． C． D．3.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,9)))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(BC,\s\up7(→))，则实数m的值为()A.eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．34．在△OAB中，P为线段AB上一点，4eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，且eq\o(BA,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))，则()A．λ＝2 B．λ＝3C．λ＝4 D．λ＝55．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.基本方法：用平面向量基本定理解决问题基本策略：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．类型五、平面向量的坐标表示基础知识：1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y。2．平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)向量的数乘设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)任一向量的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)3．向量共线的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0。4.注意事项：(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(x1＋x2＋x3,3)，eq\f(y1＋y2＋y3,3))).(3)a∥b的充要条件不能表示为eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能为0.(4)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．基本题型：1．已知平行四边形的顶点，，，则顶点D的坐标为（）A． B． C． D．2．(多选)已知点A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，与向量eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量的坐标可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3)) D．(7,9)3．已知两个非零向量，不共线，若，，且A、B、D三点共线，则等于（）A． B． C．2 D．4．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up7(→))|，则点P的坐标为()A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)5．设向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为()A．－3B．－2C．2D．36、（多选题）已知向量则（）A． B．C． D．7．如图是由等边和等边构成的六角星，图中，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则的值为（）A． B． C． D．1基本方法：1、向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。2．两平面向量共线的充要条件有两种形式①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)⇔a＝λb。3．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数。当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解。4．利用坐标运算解决几何问题，一般先要建立直角坐标系，将相关向量用坐标表示，再结合题目的要求列出关系式。新预测破高考1．已知，，则与向量共线的单位向量为（）A．或 B．或C．或 D．或2．如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（）A． B．C． D．3．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则．其中，假命题的个数是（）A． B． C． D．4．设向量，，若与平行，则实数等于（）A． B． C．2 D．5、（多选题）如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量eq\o(CD,\s\up7(→))表示不正确的是()A．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→)) B．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))6．直线l与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点K，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AK,\s\up7(→))(λ∈R)，则λ＝()A．2 B.eq\f(5,2)C．3 D．57．若a，β是一组基底，向量γ＝xa＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底a，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)8、已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)9．是内的一点，，则的面积与的面积之比为（）A． B． C． D．10．已知向量，，，则当取最小值时，实数（）A． B． C． D．11、（多选题）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是面积的12．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·eq\o(OA,\s\up7(→))＋SB·eq\o(OB,\s\up7(→))＋SC·eq\o(OC,\s\up7(→))＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足：eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OC,\s\up7(→))＝3eq\o(AB,\s\up7(→))＋2eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))，则eq\f(S△AOB,S△ABC)＝()A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)13、（多选题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．14．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2|eq\o(AM,\s\up7(→))|＋|eq\o(AN,\s\up7(→))|＝1，设eq\o(AC,\s\up7(→))＝xeq\o(AM,\s\up7(→))＋yeq\o(AN,\s\up7(→))，则2x＋3y的最小值为()A．48 B．49C．50 D．5115．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up7(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.16．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则___________.17．中，为边上的中点，动点在线段上移动时，若，则的最小值为______18．已知非零向量满足，，且，则的值为______.19．如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，求的最小值.20．如图所示，在中，，，与相交于点.设，.（1）试用向量、表示；（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使过点，设，，求证：.2023高考一轮复习讲与练专题27平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示向量向量平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示加法向量的线性运算单位向量相等向量平行向量共线向量减法数乘相反向量零向量向量的模平面向量基本定理平面向量的有关概念平面向量基本定理平面向量的有关概念共线向量坐标共线向量坐标表示平面向量坐标表示共线向量定理共线向量定理练高考明方向1.(2023·全国乙（文）T3）已知向量，则（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：D【解析】分析：先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D2.(2023·新高考Ⅰ卷T3）在中，点D在边AB上，．记，则（）A. B. C. D.答案：B【解析】分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB的中点，则eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)) B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)) D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))答案：A【解析】∵D为△ABC的边AB的中点，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))，∴eq\o(CB,\s\up7(→))＝2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)).故选A.4．(2023年高考数学课标卷Ⅰ)在中,为边上的中线，为的中点，则 ()A．B． C． D．答案：A【解析】在中，为边上的中线，为的中点，．5．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ()A． B． C． D．【解析】A【解析】如图建立直角坐标系，则，，，，由等面积法可得圆的半径为，所以圆的方程为，所以，，，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A．6．(2023高考数学新课标1理科)设D为QUOTEABC所在平面内一点，则 ()A． B．C． D．答案：A解析：由题知=，故选A．7．(2023高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．答案：解析：因为向量与平行，所以，则所以．8．(2023北京)在中，点，满足，．若，则 ； ．答案：【解析】由．所以，．讲典例备高考类型一、平面向量有关概念基础知识：1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0基本题型：1．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，F分别在两腰AB，CD上，EF过点P，且EF//AD，则下列等式正确的是（）A． B．C． D．答案：D【详解】依题意可得如下图形，是等腰梯形，，，，，，，，，故正确；对于：，但，故错误；对于：的长度相等但方向不相同或相反，故，故错误；对于：的长度相等但方向相反，故，故错误；2．(多选)下列说法正确的是()A．非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件B．向量eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))(eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))为非零向量)就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在直线平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在直线C．a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向D．设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线答案：AC【详解】根据向量的有关概念可知A、C正确，B、D错误．3．给出下列四个命题：①eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直线与eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直线平行；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③ B．①②C．③④ D．②④答案：A【详解】①不正确．eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直线与eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直线可能重合；②正确．∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))；③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③，故选A.4、（多选题）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是()A．且B．存在相异实数，使C．（其中实数满足）D．已知梯形．其中答案：AB【解析】对于A，向量是两个非零向量，且，，此时能使共线，故A正确；对于B，存在相异实数，使，要使非零向量是共线向量，由共线定理即可成立，故B正确；对于C，（其中实数满足）如果则不能使共线，故C不正确；对于D，已知梯形中，，，如果是梯形的上下底，则正确，否则错误；基本方法：对于向量概念的理解应注意以下几点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量．(5)向量的特征是有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，用字母表示，也可以用坐标表示。(6)相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量。(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小。(8)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的。类型二、向量的线性运算基础知识：1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两向量的差(即求a与b的相反向量－b的和的运算)a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb基本题型：1．在平行四边形中，，则必有（）.A． B．或C．四边形是矩形 D．四边形是正方形答案：C【详解】在平行四边形中，因为，所以，即对角线相等，因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以是矩形.2．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A． B．C． D．答案：D【详解】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，，，又，.3、（多选题）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是A． B． C． D．答案：ABD【解析】因为四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，；对，为的中线；；对，；对；错；4．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案：D【解析】由题意易得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，则2eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up7(→)).所以λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，故λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).基本方法：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解；含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解。(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(4)利用平面向量的线性运算求参数的一般思路①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置。②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式。③比较，观察可知所求。类型三、共线向量定理基础知识：共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。2、常用结论：（1）若A、B、C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心。（2）A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))且λ＋μ＝1。特别，当A为线段BC中点时，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))。基本题型：1．P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（）A．内部 B．边所在直线上C．边所在直线上 D．边所在直线上答案：B【详解】根据题意，点P在边所在直线上.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，连接AC，MN交于点P，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(4,11)eq\o(AC,\s\up7(→))，则点N在AD上的位置为()A．AD中点B．AD上靠近点D的三等分点C．AD上靠近点D的四等分点D．AD上靠近点D的五等分点答案：B【详解】设eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AN,\s\up7(→))，因为eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(4,11)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(4,11)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(4,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)eq\o(AM,\s\up7(→))＋λeq\o(AN,\s\up7(→))))＝eq\f(5,11)eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\f(4λ,11)eq\o(AN,\s\up7(→))，又M，N，P三点共线，所以eq\f(5,11)＋eq\f(4λ,11)＝1，解得λ＝eq\f(3,2)，所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，所以点N在AD上靠近点D的三等分点．3．已知向量a，b且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D答案：A【详解】由eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，可得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up7(→))，所以A，B，D共线，所以A正确；B、C、D显然不正确．4、已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a3eq\o(OB,\s\up7(→))＋a2020eq\o(OC,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝deq\o(BC,\s\up7(→))，则S2022＝()A．0 B．1011C．2020 D．2022答案：B【详解】由eq\o(AB,\s\up7(→))＝deq\o(BC,\s\up7(→))可知，A，B，C三点共线，故由eq\o(OA,\s\up7(→))＝a3eq\o(OB,\s\up7(→))＋a2020eq\o(OC,\s\up7(→))，可得a3＋a2020＝1，于是S2022＝eq\f(2022a1＋a2022,2)＝eq\f(2022a3＋a2020,2)＝1011，故选B.在△ABC中，点P满足eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))(m＞0，n＞0)，则m＋2n的最小值为()A．3 B．4C．eq\f(8,3) D．eq\f(10,3)答案：A【详解】如图，易知eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3m)eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\f(2,3n)eq\o(AN,\s\up7(→)).∵M，P，N三点共线，∴eq\f(1,3m)＋eq\f(2,3n)＝1，∴m＝eq\f(n,3n－2)，则m＋2n＝eq\f(n,3n－2)＋2n＝eq\f(6n2－3n,3n－2)＝eq\f(\f(2,3)3n－22＋\f(5,3)3n－2＋\f(2,3),3n－2)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3n－2＋\f(1,3n－2)))＋eq\f(5,3)≥eq\f(2,3)×2＋eq\f(5,3)＝3，当且仅当(3n－2)＝eq\f(1,3n－2)，即m＝n＝1时等号成立．在△ABC中，D在线段BC上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\o(AB,\s\up7(→))，λ，μ均为非零常数，若N，D，M三点共线，则eq\f(2,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案：3【详解】∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，∵eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AN,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3μ)eq\o(AN,\s\up7(→))＋eq\f(2,3λ)eq\o(AM,\s\up7(→))，若N，D，M三点共线，则eq\f(1,3μ)＋eq\f(2,3λ)＝1，∴eq\f(2,λ)＋eq\f(1,μ)＝3.7．设是两个不共线的向量，已知.（1）求证：，，三点共线；（2）若，且，求实数的值.答案：（1）证明见解析（2）【详解】（1）由已知得..又与有公共点，，，三点共线.（2）由（1）可知，又，∴可设，，即，解得.基本方法：1、利用共线向量定理解题的策略（1）证明三点共线：当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共线（2）含参共线问题：利用a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0构造含有参数的方程(组)，解方程(组)得到参数的值．若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0（3）三点共线的应用：eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1类型四、平面向量基本定理基础知识：1．平面向量基本定理(1)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。注意：能作为基底的两个向量必须是不共线的。基本题型：1．在平行四边形ABCD中，设eq\o(CB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CD,\s\up7(→))＝b，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A．－eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)bB．－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bC．－eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b D.eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b答案：A【详解】如图，在AD上取G点，使得AG＝GE＝ED，在BC上由左到右取K，H，使得BK＝KH＝HC，连接AK，GH，则AK∥GH∥EC，因为DE∥BC且DE＝eq\f(1,3)BC，所以DF＝eq\f(1,4)DB(相似比)，所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝－a＋eq\f(1,4)(a－b)＝－eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)b.2．如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A． B． C． D．答案：D【解析】取向量作为一组基底，则有，所以，又，所以，即.3.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,9)))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(BC,\s\up7(→))，则实数m的值为()A.eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．3答案：A【详解】因为eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,9)))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(BC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，设eq\o(BP,\s\up7(→))＝teq\o(BN,\s\up7(→))，而eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋t(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))))＝(1－t)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)teq\o(AC,\s\up7(→))，所以m＝1－t且eq\f(t,4)＝eq\f(2,9)，故m＝1－t＝1－eq\f(8,9)＝eq\f(1,9).4．在△OAB中，P为线段AB上一点，4eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，且eq\o(BA,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))，则()A．λ＝2 B．λ＝3C．λ＝4 D．λ＝5答案：C【详解】∵eq\o(BA,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→)))，整理可得，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(λ－1,λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(OB,\s\up7(→))，∵4eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，即eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ)＝\f(3,4)，,\f(1,λ)＝\f(1,4)，))解得λ＝4.5．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.答案：【详解】解法1：因为，所以，又，所以，因为点三点共线，所以，解得：.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，所以解得：，所以.基本方法：用平面向量基本定理解决问题基本策略：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．类型五、平面向量的坐标表示基础知识：1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y。2．平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)向量的数乘设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)任一向量的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)3．向量共线的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0。4.注意事项：(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(x1＋x2＋x3,3)，eq\f(y1＋y2＋y3,3))).(3)a∥b的充要条件不能表示为eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能为0.(4)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．基本题型：1．已知平行四边形的顶点，，，则顶点D的坐标为（）A． B． C． D．答案：D【详解】∵四边形为平行四边形，∴，设，∵，，，∴，，∴，解得。2．(多选)已知点A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，与向量eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量的坐标可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3)) D．(7,9)答案：ABC【详解】由点A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(9,2)))，－7×3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×eq\f(14,3)＝0，所以A选项正确；－7×eq\f(9,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×7＝0，所以B选项正确；－7×(－3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)))＝0，所以C选项正确；－7×9－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)))×7≠0，所以D选项不正确．3．已知两个非零向量，不共线，若，，且A、B、D三点共线，则等于（）A． B． C．2 D．答案：C【详解】，∵A，B，D三点共线，∴设，即，∴，解得.4．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up7(→))|，则点P的坐标为()A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)答案：C【解析】∵A(2,0)，B(4,2)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,2)，∵点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up7(→))|，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AP,\s\up7(→))或eq\o(AB,\s\up7(→))＝－2eq\o(AP,\s\up7(→))，故eq\o(AP,\s\up7(→))＝(1,1)或eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1，－1)，故P点坐标为(3,1)或(1，－1)，故选C.5．设向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为()A．－3B．－2C．2D．3答案：A【解析】由题意易知，eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，其中eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2m－1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2n－1,2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得2m＋1＋2n＝1,2m＋1＋2n≥2eq\r(2m＋n＋1)，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.6、（多选题）已知向量则（）A． B．C． D．答案：AD【解析】由题意可得.因为，所以，则A正确，B错误；对于C，D，因为，所以，则C错误，D正确.7．如图是由等边和等边构成的六角星，图中，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则的值为（）A． B． C． D．1答案：D【详解】如图，以为坐标原点，建立直角坐标系，设等边三角形的边长为，，，,，，解得，.基本方法：1、向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。2．两平面向量共线的充要条件有两种形式①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)⇔a＝λb。3．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数。当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解。4．利用坐标运算解决几何问题，一般先要建立直角坐标系，将相关向量用坐标表示，再结合题目的要求列出关系式。新预测破高考1．已知，，则与向量共线的单位向量为（）A．或 B．或C．或 D．或答案：B【详解】因为，，所以向量，所以与向量共线的单位向量为或.2．如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（）A． B．C． D．答案：B【详解】因为是的中点，所以，因为点是边的中点，所以，所以,3．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则．其中，假命题的个数是（）A． B． C． D．答案：B【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴②错误；对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，若，，当时，不一定成立，∴⑤错误；综上，假命题是②③⑤，共3个，故选C.4．设向量，，若与平行，则实数等于（）A． B． C．2 D．答案：B【详解】，，则，，，，，，，，又与平行，，即．5、（多选题）如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量eq\o(CD,\s\up7(→))表示不正确的是()A．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→)) B．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))答案：BC【详解】对于A，因为D是AB的中点，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))，因为eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))，所以A正确；对于B，由三角形法则得，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝－eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))，所以B不正确；对于C，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，所以C不正确；对于D，因为D是AB的中点，所以eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))，所以D正确．6．直线l与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点K，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AK,\s\up7(→))(λ∈R)，则λ＝()A．2 B.eq\f(5,2)C．3 D．5答案：D【详解】∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AK,\s\up7(→))，易知λ≠0，∴eq\o(AK,\s\up7(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,λ)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,λ)(2eq\o(AE,\s\up7(→))＋3eq\o(AF,\s\up7(→)))＝eq\f(2,λ)eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\f(3,λ)eq\o(AF,\s\up7(→))，由E，F，K三点共线可得，eq\f(2,λ)＋eq\f(3,λ)＝1，故λ＝5.7．若a，β是一组基底，向量γ＝xa＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底a，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)答案：D【解析】∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．8、已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)答案：A【解析】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up7(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))＝λ(1,0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).9．是内的一点，，则的面积与的面积之比为（）A． B． C． D．答案：C【详解】设边的中点为，则.∵，∴，∴.∴.10．已知向量，，，则当取最小值时，实数（）A． B． C． D．答案：C【详解】由知在直线上，当时，最小，如图，，又，∴，，这时，．11、（多选题）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是面积的答案：ACD【解析】若，则点是边的中点，故正确；若，即有，即，