《通信原理与通信技术》课件第3章

第3章脉冲编码调制（PCM）3.1

PCM的基本概念

3.2抽样

3.3量化

3.4编码

3.5抽样定理

3.6时分复用(TDM)

3.7小资料——赫兹

3.1

PCM的基本概念

PCM的基本概念在数字通信系统中，信源和信宿处理的都是模拟信号（消息），而信道传输的却是数字基带或已调信号。可见在数字通信系统中的发信端必须有一个将模拟信号变成数字信号的过程，而在收信端也要有一个把数字信号还原成模拟信号的过程。通常把模拟信号（Analog[JP]Signal）变成数字信号（DigitalSignal）的过程简称为A/D转换，把数字信号变成模拟信号的过程简称为D/A转换。图1－3中信源编码和译码模块的主要任务就是完成A/D转换和D/A转换。那么如何将一个模拟信号转换为一个数字信号呢？脉冲编码调制（PCM，PulseCodeModulation）可以解决这个问题。

PCM的概念最早是由法国工程师AlceReeres于1937年提出来的，其目的就是实现电话信号（模拟信号）的数字化传输。1946年第一台PCM数字电话终端机在美国Bell实验室问世。1962年后，采用晶体管的PCM终端机大量应用于市话网中，使市话电缆传输的路数扩大了二三十倍。20世纪70年代后期，随着超大规模集成电路PCM芯片的出现，PCM在光纤通信、数字微波通信和卫星通信中得到了更为广泛的应用。

3.2抽样

PCM过程的第一步是对模拟信号进行信号抽样（Sampling）。所谓抽样就是以固定的时间间隔采集模拟信号当时的瞬时值。图3－1是一个抽样概念示意图，假设一个模拟信号f(t)通过一个开关，则开关的输出与开关的状态有关，当开关处于闭合状态，开关的输出就是输入，即y(t)=f(t)；当开关处在断开位置，输出y(t)就为零。可见，如果让开关受一个窄脉冲串（序列）的控制，脉冲出现时开关闭合，脉冲消失时开关断开，则输出y(t)就是一个幅值变化的脉冲串（序列），每个脉冲的幅值就是该脉冲出现时刻输入信号f(t)的瞬时值，此时，y(t)就是对f(t)抽样后的信号或称样值信号。

图3－1抽样概念示意图

图3－2脉冲编码调制过程示意图图3－3脉冲编码调制模型

3.3量化

PCM过程的第二步是对样值信号进行量化（Quantizing）。量化就是把连续的无限个数值的集合映射（转换）为离散的有限个数值的集合。通常采用“四舍五入”的原则进行数值量化。

在讨论量化问题之前，首先介绍三个概念：

（1）量化值——确定的量化后的取值叫量化值（也称量化电平），比如上例中的量化值就是0、1、2、3、4、5、6。

（2）量化级——量化值的个数称为量化级。

（3）量化间隔——相邻两个量化值之差就是量化间隔（也称量化台阶）。

在图3－2（b）和（c）中，我们发现v(t)的样值信号k(t)和量化后的量化信号m(t)是不一样的，具体地说就是量化前后的样值有可能不同，比如k(0)=0.2而m(0)=0.0。而收信端恢复的只能是量化后的信号m(t)，而不能恢复出k(t)，这样就使得收、发的信号之间有误差。显然，这种存在于收、发信号之间的误差是由量化造成的，我们称其为量化误差或量化噪声。比如在上例中，量化间隔为1，由于采用“四舍五入”进行量化，因此量化噪声的最大值是0.5。一般地说，量化噪声的最大绝对误差是0.5个量化间隔。这种量化间隔都一样的量化叫做均匀量化。

如果在一定的取值范围内增加量化级数，也就是把量化间隔变小，则量化噪声就会减小。比如，把量化间隔取成0.5，则上例的量化级数就变成14个，量化噪声则变为0.25。显然，量化噪声的大小与量化间隔成正比。但是在实际中，不可能对量化分级过细，因为过多的量化值将直接导致系统的复杂性、经济性、可靠性、方便性、维护使用性等指标的恶化。比如，7级量化用3位二进制码编码即可，若量化级变成128，就需要7位二进制码编码，系统的复杂性将大大增加。另外，尽管信号幅值大（大信号）和信号幅值小（小信号）时的绝对量化噪声是一样的，都是0.5个量化间隔，但相对误差却很悬殊。比如上例中，信号最大值为6，绝对量化噪声为0.5，而相对误差为0.5/6=1/12，即量化误差是量化值的十二分之一；而当信号为1时，绝对量化噪声仍为0.5，但相对误差却为0.5/1=1/2，量化误差达到量化值的一半。这种相对误差可以定义为量化信噪比。可见大信号与小信号的量化信噪比相差6倍。增加量化级数可以提高小信号的信噪比，但与提高系统的简单性、可靠性、经济性等指标却相互矛盾。那么，能否找到一种方法既能提高小信号的信噪比，缩小大、小信号信噪比的差值，又不过多地增加量化级？回答是肯定的，这就是非均匀量化法。所谓非均匀量化就是对信号的不同部分采用不同的量化间隔，具体地说，就是对小信号部分采用较小的量化间隔，而对大信号部分就用较大的量化间隔。实现这种思路的一种方法称为“压缩与扩张法”。

那么，能否找到一种方法既能提高小信号的信噪比，缩小大、小信号信噪比的差值，又不过多地增加量化级？回答是肯定的，这就是非均匀量化法。所谓非均匀量化就是对信号的不同部分采用不同的量化间隔，具体地说，就是对小信号部分采用较小的量化间隔，而对大信号部分就用较大的量化间隔。实现这种思路的一种方法称为“压缩与扩张法”。

压缩的概念是这样的：在抽样电路后面加上一个叫做压缩器的信号处理电路，其特点是对弱小信号有比较大的放大倍数（增益），而对大信号的增益却比较小。抽样后的信号经过压缩器后就发生了“畸变”，大信号部分与进压缩器前差不多，没有得到多少放大，而弱小信号部分却得到了“不正常”的放大（提升），相比之下，大信号好像被压缩了，压缩器由此得名。对压缩后的信号再进行均匀量化，就相当于对抽样信号进行了非均匀量化。在收信端为了恢复原始抽样信号，就必须把接收到的经过压缩后的信号还原成压缩前的信号，完成这个还原工作的电路就是扩张器，其特性正好与压缩器相反，对小信号压缩，对大信号提升。为了保证信号的不失真，要求压缩特性与扩张特性合成后是一条直线，也就是说，信号通过压缩再通过扩张实际上好像通过了一个线性电路。显然，单独的压缩或扩张对信号进行的是非线性变换。压缩与扩张特性如图3－4所示。图中，脉冲A和脉冲B是两个样值，作为压缩器的输入信号经]过压缩后变成A′与B′，可见A′与A基本上没有变化，而B′却比B大了许多，这正是我们需要的压缩特性；在收信端A′与B′作为扩张器的输入信号，经扩张后还原成样值A和样值B。再看一下小信号的信噪比变化情况。在图3－4中，样值B如果经均匀量化，则量化噪声为0.5，相对误差为0.5；而经过压缩后，样值B′的量化噪声仍为0.5，但相对误差变为0.5/3=1/6，比均匀量化减小了许多，其信噪比也就大为提高。同时图3－4还给出了一个完整的PCM系统框图。图3－4压缩与扩张特性与PCM系统框图压缩特性通常采用对数压缩特性，也就是压缩器的输出与输入之间近似呈对数关系。对于电话信号而言，对数压缩特性又有A律和μ律之分。

A律特性输出y与输入信号x之间满足下式：

(3.3－1)

式中，y为归一化的压缩器输出电压，即实际输出电压与可能输出的最大电压之比；x为归一化的压缩器输入电压，即实际输入电压与可能输入的最大电压之比；A为压缩系数，表示压缩程度。

从式（3.3－1）可见，在的范围内，压缩特性为一条直线，相当于均匀量化特性；在范围内是一条对数曲线。通常，国际上取A=87.6。

μ律特性输出信号y与输入信号x之间满足下式：

（3.3－2）

式中，y、x、μ的意思与A律的一样。

A律与μ律的特性曲线见图3－5。A律与μ律的性能基本相似，在μ=255，量化级为256时，μ律对小信号信噪比的改善优于A律。图3－5的曲线只是压缩特性的一半，另一半在第三象限，与第一象限的曲线奇对称，为简单计，一般都不画出来。

μ律最早由美国提出，A律则是欧洲的发明，它们都是CCITT（国际电报电话咨询委员会）允许的标准。目前，欧洲国家主要采用A律，北美各国及日本采用μ律，我国采用A律。

图3－5所示的压缩特性早期是用二极管的非线性来实现的，但要保证压缩特性的一致性、稳定性以及压缩与扩张特性的匹配是很困难的。因此通常都是采用近似理想压缩特性曲线的折线来代替理想特性。对于A律曲线，采用13段折线近似；对于μ律曲线，采用15段折线近似。

图3－5两种对数压缩特性示意图(a)

A律；(b)μ律

下面简单介绍一下A律的13段折线。首先把输入信号的幅值归一化（横坐标），把0～1的值域划分为不均匀的8个区间，每个区间的长度以2倍递增。具体地说就是0～1/128为第一区间，1/128～1/64为第二区间，1/64～1/32为第三区间，1/32～1/16为第四区间，直到1/2～1为第八区间。再把输出信号的幅度也归一化（纵坐标），并均匀分成8个区间，即0～1/8，1/8～2/8，2/8～3/8，直到7/8～1。然后以横轴各区间的右端点为横坐标，以相对应纵轴区间的上端点为纵坐标，就可得到（1/128，1/8），（1/64，2/8），（1/32，3/8），…，（1，1）等8个点。将原点及这8个点依次用直线段连接起来就得到一条近似A律的折线，见图3－6。也许有人会问，图3－6中的折线只有8段，为什么叫做13折线呢？这是因为我们前面说过对数曲线只画出了正值部分，实际上还有负值部分，正值曲线与负值曲线奇对称。所以，在图3－6中加上负值曲线就有16条折线。多出的3条线是怎么回事儿？我们注意到，第一区间和第二区间的线段斜率一样，可以看成一条线段，则正值曲线就只有7条线段，与之对应的负值曲线也只有7条线段，而正、负值曲线合画在一起后，各自的第一段折线斜率也一样，所以在14条线段中再减去一条就成为13折线。

图3－6

A律13折线示意图

3.4编码

编码就是按照一定的规律或协议，用一组符号取代另一组符号，或者用一组符号表达一些信息的过程。那么现在的任务是用二进制码组去表示量化后的十进制量化值。所涉及的问题主要有两个：一是如何确定二进制码组的位数；二是应该采用怎样的码型。而码型就是电脉冲的存在形式（详见第6章）。

一位二进制数只有两个值0和1，1位二进制数可表示两种不同的状态，而n位二进制数可有2n个不同的组合，即2n个不同的状态。比如3位二进制数就有000、001、010、011、100、101、110、111，共23=8种组合。我们把由多位二进制码元构成的组合叫做码组或码字，那么3位二进制码就有8个码组。构成一个码组的码元位数叫做码组长度或字长。

显然，码组的长度与量化级数有直接关系。用的码组长度越长，码组个数就越多，可表示的状态就越多，则量化级数就可以增加，量化间隔随之减小，量化噪声也随之减小。但码组长度越长，对电路的精度要求也越高，同时，要求码元速率（波特率）越高，从而要求信道带宽越宽。对于A律量化来说，每段折线进行16级均匀量化，量化级数为16×16=256，则一个码组的长度就是8位。

常用的编码码型有自然二进制码（NaturalBinaryCode,NBC）、折叠二进制码（FoldedBinaryCode,FBC）和格雷二进制码（GrayorReflectedBinaryCode,RBC）三种。PCM用折叠二进制码进行编码。表3－1给出了三种码型的编码规律。为简单计，表中只给出16个量化值，也就是4位码组长度。

自然二进制码就是我们熟悉的十进制正整数的二进制表示。折叠二进制码的最高位（最左边的位）是符号位，“1”表示正数，“0”表示负数，其余的位表示数的绝对值大小。从表中可见，折叠二进制码上半部分为正数，下班部分是负数，如果不看符号位，则折叠二进制码上半部分与下半部分呈倒影关系，好像把一个纸条对折一样，折叠的名字由此而来。而格雷二进制码的特点是相邻码组只有一位不同，也就是码距（码距的概念在第8章介绍）为1。

表3－1三种常用二进制码型的编码规律

3.5抽样定理

3.5.1低通抽样定理

低通抽样定理：对于一个带限模拟信号f(t)，假设其频带为（0，fH），若以抽样频率fs≥2fH对其进行抽样（抽样间隔，则f(t)将被其样值信号ys(t)={f(nTs)}完全确定，或者说，可从样值信号ys(t)={f(nTs)}中无失真地恢复出原信号f(t)。

这里引出两个新术语：奈奎斯特间隔和奈奎斯特速率。所谓奈奎斯特间隔，就是能够唯一确定信号f(t)的最大抽样间隔。而能够唯一确定信号f(t)的最小抽样频率就是奈奎斯特速率。可见，奈奎斯特间隔，奈奎斯特速率=2fH

。

下面以图3－7为例，对抽样定理给予简单的证明。

图3－7抽样过程示意图

设带限信号为f(t)，其频谱为F(ω)；抽样脉冲序列为一周期信号冲激串δT(t)，频谱为δT(ω)；样值信号ys(t)的频谱为Ys(ω)，则有

由频域卷积性质可得

而冲激串

的频谱为

所以有

（3.5－1）

图3－8频谱重叠示意图

下面从时域看一下重建（恢复）模拟信号f(t)的过程。我们知道理想低通滤波器的频谱是一个门函数，若设滤波器的冲激响应为h(t)，则h(t)的傅里叶变换H(ω)也就是滤波器的传输函数为

样值信号ys(t)通过低通滤波器，在时域上就是与冲激响应h(t)作卷积运算。设低通滤波器的输出为f(t)，也就是重建信号，则有

(3.5－2)图3－9

重建信号波形示意图

例题3－1单路话音信号的带宽为4kHz，对其进行PCM传输，求：

（1）最低抽样频率；

（2）抽样后按8级量化，求PCM系统的信息传输速率；

（3）若抽样后按128级量化，PCM系统的信息传输速率又为多少？

解（1）由于fH=4kHz，根据低通抽样定理，可知最低抽样频率fs=2fH=8kHz。也就是说，对一个抽样值编码后的码元所占时间为Ts=1/fs。

（2）对抽样值进行8级量化意味着要用3位。因为是单路信号，每秒有8000个抽样值，一个抽样值用3个码元，所以波特率为Rs=3×8000=24kBaud又因为是二进制码元，波特率与比特率相等，所以信息传输速率为

Rs=3×8000=24k（baud）

(3)因为128级量化需用7位二进制码进行编码，所以比特率为

Rb=Rs=7×8000=56kb/s

答最低抽样频率fs=2fH=8kHz；8级量化时的信息传输速率Rb=24kb/s；128级量化时的信息传输速率Rb=56kb/s。

通常认为，典型的语音信号，也就是我们正常的说话、唱歌信号的带宽为50Hz~10kHz；用于电话的语音信号(也称为话音信号)的带宽为300Hz~3.4kHz（近似取4kHz）；音乐信号的带宽（也就是音频信号的带宽）为20Hz~20kHz。那么，对于高保真音频通信而言，语音信号的抽样频率要大于等于20kHz，音乐信号的抽样频率要大于等于40kHz（比如，CD的一种抽样频率为44.1kHz）。

3.5.2带通抽样定理

在实际工程中经常遇到带通型信号，即频谱不是从直流开始，而是在fL～fH的一段频带内的信号。设信号带宽B=fH-fL，通常把fL>B的信号称为带通信号。那么对带通信号是否也要求按fs≥2fH的条件进行抽样？如果不是的话，它与低通信号有何区别呢？下面结合图3－10进行定性分析。

图3－10带通型信号抽样频谱设F(ω)是一带通信号的频谱，其频带宽度为B=fH-fL，为讨论方便，设fL=2B，如图3－10（a）所示。

我们先把f(t)看成一个低通型信号（把频谱的上、下边带用虚线连起来），用抽样频率fs=2fH对其进行抽样，得到如图3－10（b）所示的样值信号频谱。从图中可见，频谱没有重叠，但是上、下边带之间的频带却是空的，如果要用低通滤波器恢复原始信号的话，其带宽就必须等于3B。

如果我们按带通信号对待，用抽样频率fs=2B对其进行抽样，就会得到如图3－10（c）所示的频谱。可见，频谱仍不重叠，而占用频带的宽度却减小了，此时，低通滤波器的带宽只需等于原始信号带宽B即可。

上例我们对带通信号取了一个特例，即fL=2B。对于一般情况而言，只要fL

>0，当抽样频率fs满足下式时

（3.5－3）

就可以保证原始带通型信号f(t)完全由样值信号ys(t)所确定。其中， ;N为不超过fH/B的最大正整数，则0≤M≤1。可以证明，带通信号的抽样频率范围为2B～4B（不能等于4B）。

例题3－2

12路载波电话信号的频带范围是(60～108)kHz，求其最低抽样频率fsmin。

解因为信号带宽B=fH－fL=108－60=48kHz，fH/B=2.25，所以N取2，则M=2.25－2=0.25，根据式（3.5－3）可得

答最低抽样频率fsmin=108kHz。

需要指出，从上述两个抽样定理可知，抽样信号必须是冲激信号，而理想的冲激信号是无法得到的。因此，在实际应用中，大都采用窄脉冲序列代替冲激信号。

3.6时分复用

我们知道一路基带话音信号的最高频率为3.4kHz，一般取其为fH=4kHz，那么，若对该信号进行PCM，则根据抽样定理取抽样频率为fs=8kHz，所对应的抽样间隔Ts=1/fs=125μs。如果每个样点的持续时间为25μs，则样值信号的相邻两个样点之间就有100μs的空闲时间。若一个信道只传输一路这样的PCM信号，则每一秒就有约0.8s被白白浪费掉了。如果进行长途传输，则其信道利用率之低，传输成本之高是人们难以容忍的。为此，人们提出了时分复用的概念。

时分复用，就是对欲传输的多路信号分配以固定的传输时隙（时间），以统一的时间间隔依次循环进行断续传输的方式或过程。下面以图3－11为例详细介绍时分复用的原理。图3－11时分复用示意图

假设收、发信端各有3人要通过一个实信道（一条电缆）同时打电话，我们把他们分成甲、乙、丙三对，并配以固定的传输时隙以一定的顺序分别传输他们的信号。比如第一秒开关拨在甲位传输甲对通话者的信号，第二秒开关拨在乙位传输乙对通话者的信号，第三秒开关拨在丙位传输丙对通话者的信号，第四秒又循环到传送甲对信号，周而复始，直到通话完毕。时分复用的特点是，各路信号在频谱上是互相重叠的，但在传输时彼此独立，任一时刻，信道上只有一路信号在传输。

在上述通信过程的描述中，我们要注意两个问题。一是传输时间间隔必须满足抽样定理，即把各路信号的样值信号分别传输一次的时间也就是完成一次循环的时间T必须小于等于125μs，但每一路信号传输时所占用的时间（时隙）没有严格限制。显然，一路信号占用的时间越少，则可复用的信号路数就越多。第二个问题就是收信端和发信端的转换开关必须同步动作，否则信号传输就会发生混乱。

这里需要引入“帧”的概念。所谓“帧”，就是传输一段具有固定数据格式数据所占用的时间。这里面包含两个意思：第一，“帧”是一段时间（不同应用或不同场合的帧，其时间长短是不同的），每一帧中的数据格式是一样的；第二，“帧”是一种数据格式，一般来说，同一种应用每一帧的时间长度和数据格式是一样，但每一帧的数据内容可以不同（注意，有时在同一种应用中，其帧长允许变化，比如802.3协议中的帧）。因此，在讲到帧时，要么是强调传输时间的长短，要么是强调数据格式的结构。比如，上面讲的话音信号复用时，每一个传输循环必须小于等于125μs，如果我们取最大值的话，则一个循环就是125μs。

从传输时间上看，这125μs就是3路话音信号TDM的一个帧，而数据格式就是各路信号在一个帧中的安排方式（结构）。注意在图3－10所示的例子中，为了形象地说明时分复用，我们“掩盖”（没有画出）了量化和编码过程，而实际上TDM都是传输经过编码后的数字信号。上例中，如果把125μs

四等分，前三个等分按甲、乙、丙的顺序分别传输3路话音信号，第四个等分传输一路控制信号，每个样值用8位二进制码编码，那么这种数据安排方式就是数据格式或帧结构。图3－12就是时分复用帧结构示意图。

帧的概念非常重要，不但后面的复接技术要用到它，计算机网络中也经常碰到。比如，异步传输模式ATM的信元就可以理解成帧，其结构就是共有53个字节，每个字节有8位，前5个字节是信头也就是所谓的控制码，后48个字节是数据。常见的以太网数据帧结构（802.3标准）只比ATM信元复杂一点，具体格式如图3－13所示。注意，这里的帧强调的是其数据格式也就是帧结构。

图3－12时分复用帧结构示意图

图3－13

ATM信元和以太网数据帧的格式示意图

细心的读者会发现上述普通的时分复用技术有一个缺陷，即在传输过程中，如果有一路或多路信号在该它（它们）传输的时刻没有信号（信号为零），则事先分配给它（它们）的这一段时间就浪费了。比如我们打电话时的话音信号就是时断时续的。如果复用的路数比较多的话，这种时间浪费就不可忽视，因为它降低了信道利用率。为此，人们提出了统计时分复用（StatisticalTimeDivisionMultiplex，STDM）的概念，即对复用的多路信号不再分配给固定的传输时间，而是根据信号的统计特性动态分配传输时间。通俗地讲，对于每一路信号，你有值，我就给你传输时间；你没值，我就跳过你，把时间分给有值的其他路信号。这样，由于每一次循环中所传输的信号路数都可能不一样，因此每一帧的长度就不同，统计时分复用的特点正在于此。统计时分复用的缺点是由于采用了流量控制，而对信号的传输带来了延迟。STDM通常与TDM结合起来使用。

我们已经有了PCM和TDM的概念，那么自然会想到一个问题：如果对PCM信号进行FDM会怎样？换句话说，对于一路模拟话音信号和一路PCM话音信号，它们在FDM时的主要区别是什么？这个问题实际上是讨论PCM信号的带宽问题。我们已经知道一路模拟话音信号的带宽为4kHz，而一路PCM话音信号的带宽是多少呢？在A律量化中，量化级数为256，一个码组的长度是8位，即一个样值用8位二进制码，按抽样定理每125μs抽一次样，则一秒内共传输二进制码元的个数为8×8000=64000，也就是说信息传输速率（比特率）为64kb/s。而传输64kb/s的数字信号理论上所需带宽最少为32kHz，可见一路PCM话音信号的带宽至少是一路模拟话音信号的带宽的8倍。换句话说，在同一信道中以频分复用的方式传输模拟信号的路数比传输脉冲编码调制信号的路数多好几倍。这正说明了数字通信为什么所需的带宽比模拟通信大。

【例题3－3】对24路最高频率为4kHz的信号进行时分复用，采用PAM方式传输。假定所用的脉冲为周期性矩形脉冲，脉冲的宽带τ为每路应占用时间的一半。试求此24路PAM系统的最小带宽。

【解】PAM就是脉幅调制，也就是PCM的第一步“抽样”。因为每路信号最高频率均为4kHz，所以抽样频率fs=4×2=8kHz，抽样间隔。因此，每路信号所占时隙宽度因为半占空脉冲的宽度所以脉冲序列频率为。意味着系统的带宽B必须满足因此，系统的最小带宽。 3.7小资料——赫兹

赫兹(HeinrichRudolfHertz，1857～1894)，德国物理学家。1857年2月22日生于汉堡，父亲为律师，后任参议员，家庭富有。赫兹在少年时期就表现出对实验的兴趣，12岁时便有了木工工具和工作台，以后又有了车床，常常用以制作简单的实验仪器。

1876年赫兹进入德累斯顿工学院学习工程，由于对自然科学的爱好，后转入慕尼黑大学学习数学和物理，第二年又转入柏林大学，在赫尔姆霍兹指导下学习并进行研究工作。在随赫尔姆霍兹学习物理时，受赫尔姆霍兹的鼓励研究麦克斯韦电磁理论。

通过实验，他确认了电磁波具有与光类似的特性，如反射、折射、衍射等，并且实验了两列电磁波的干涉，同时证实了在直线传播时，电磁波的传播速度与光速相同，从而全面验证了麦克斯韦