中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】专题2-1将军饮马等8类常见最值问题TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型一两定一动型（线段和差最值问题）题型二双动点最值问题（两次对称）题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）题型四垂线段最短题型五相对运动平移型将军饮马题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马题型七化斜为直，斜大于直题型八构造二次函数模型求最值

一、单动点问题【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别求点M，N，使△PMN周长最小问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长 【问题6】P，Q为定点，在直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小问题解决：分别作点P，Q关于直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ 【问题7】A，B分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的定点，M，N分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，求SKIPIF1<0最小值问题解决：分别作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即所求原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求SKIPIF1<0的最小值问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当SKIPIF1<0共线有最小值原理：通过平移构造平行四边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 四、垂线段最短【问题10】在直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别求点A，B，使PB＋AB最小问题解决：作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于A，交SKIPIF1<0于B，SKIPIF1<0即所求原理：点到直线，垂线段最短，SKIPIF1<0五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形策略一：相对运动思想过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？ 问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．原理：由手拉手可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故Q点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0斜边上的高（1）求SKIPIF1<0的最大值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值 问题解决：取BC中点M，（1）则SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形SKIPIF1<0的边长为6，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0边于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0长度的最大值为.问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到SKIPIF1<0，进而根据相似比得到SKIPIF1<0，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案【详解】易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有最大值，最大值为SKIPIF1<0题型一两定一动型（线段和差最值问题）（2023·西安·模拟预测）如图，正方形SKIPIF1<0的边长为4，点M在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，P为正方形内（含边上）一点，且SKIPIF1<0，G为边SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．

【答案】3【分析】先确定组成点P的所有点为过SKIPIF1<0的中点E，F的线段SKIPIF1<0，作点M关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0的最小值，因此求出SKIPIF1<0的长即可．【详解】解：过点P作SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0于点E，F，∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0都是矩形，∵SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的边长为4，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

作点M关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0的长，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为3透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】13【详解】∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝SKIPIF1<0＝13（cm）．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，SKIPIF1<0），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，∴∠OCC′=90°-30°=60°，OC=1，CC′=2×1×SKIPIF1<0=1，∴CD=SKIPIF1<0，C′D=SKIPIF1<0，∵顶点B的坐标为（3，SKIPIF1<0），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，∴AC=3-1=2，∴AD=2+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0如图，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的同侧，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的一个动点，记SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作点A关于直线MN的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，在根据勾股定理求出线段SKIPIF1<0的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，由三角形三边关系可知SKIPIF1<0，故当点P运动到SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最大，过点B作SKIPIF1<0由勾股定理求出AB的长就是SKIPIF1<0的最大值，代入计算即可得．【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根据勾股定理得，∴SKIPIF1<0，即PA+PB的最小值是SKIPIF1<0；如图所示，延长AB交MN于点SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当点P运动到SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0最大，过点B作SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根据勾股定理得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD．则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为。【答案】SKIPIF1<0【解答】解：设△PBC中BC边上的高是h．∵S△PBC＝SKIPIF1<0S矩形ABCD．∴SKIPIF1<0BC•h＝SKIPIF1<0AB•BC，∴h＝SKIPIF1<0AB＝2，∴动点P在与BC平行且与BC的距离是2的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，∴CE＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即PB+PC的最小值为SKIPIF1<0（2023·泰州·三模）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，从点SKIPIF1<0出发向右运动，速度为每秒SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，从点SKIPIF1<0出发向右运动，速度为每秒SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．

【答案】10【分析】过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，易知四边形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为矩形，证明SKIPIF1<0，由相似三角形的性质可得SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0两点运动时间为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；作点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，由轴对称的性质可得SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0的值最小，即SKIPIF1<0取最小值，此时，在SKIPIF1<0中，由勾股定理求得SKIPIF1<0的值，即可获得答案．【详解】解：如下图，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

易知四边形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0两点运动时间为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，作点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由轴对称的性质可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0的值最小，即SKIPIF1<0取最小值，此时，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则S的最小值为．【答案】5【分析】根据SKIPIF1<0表示平面内点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离，SKIPIF1<0表示平面内点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离，得出当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的线段上时，这两个距离之和最小，求出这个最小距离即可．【详解】解：∵SKIPIF1<0表示平面内点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离，SKIPIF1<0表示平面内点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离，∴SKIPIF1<0表示这两个距离之和，∵两点之间线段最短，∴当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的线段上时，这两个距离之和最小，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．探究式子SKIPIF1<0的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，可求得SKIPIF1<0的最小值为，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是．

【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，利用勾股定理求SKIPIF1<0的最小值即可；构造图形如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的值最小为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如图，SKIPIF1<0，

，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0的长度，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0如图，A、B两点在直线SKIPIF1<0外的同侧，A到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，B到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，点P在直线SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0的最大值等于．【答案】10【分析】延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点B作SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，即说明当点P运动到SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0最大，即为SKIPIF1<0的长．最后根据勾股定理求出SKIPIF1<0的长即可．【详解】解：如图，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点B作SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当点P运动到SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0最大，即为SKIPIF1<0的长．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值等于10已知：如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．动点SKIPIF1<0为矩形SKIPIF1<0内一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0点关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点即为所求点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求SKIPIF1<0．【详解】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0点关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点即为所求点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周长的最小值SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．2022·绥化·中考真题在平面直角坐标系中，已知一次函数SKIPIF1<0与坐标轴分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且与反比例函数SKIPIF1<0的图象在第一象限内交于P，K两点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若C为线段SKIPIF1<0上的一个动点，当SKIPIF1<0最小时，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【详解】（1）解：∵一次函数SKIPIF1<0与坐标轴分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，∴把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，∴一次函数解析式为SKIPIF1<0过点P作SKIPIF1<0轴于点H，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0在双曲线上，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）解：作点K关于x轴的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交x轴于点M，则SKIPIF1<0（1，-2），OM=1，连接SKIPIF1<0交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入得，SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0题型二双动点最值问题（两次对称）如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为。【答案】6【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；∵AD＝2，AE＝BE＝1，∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，∴AE′＝3，AA′＝4，∴A′E′＝SKIPIF1<0＝5，∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．（2023·淄博·一模）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，当SKIPIF1<0的周长最小时，SKIPIF1<0°．【答案】100【分析】作点A关于SKIPIF1<0的对称点E、F，连接SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于点H、G，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，SKIPIF1<0的周长最小，则易得SKIPIF1<0的大小．【详解】解：如图，作点A关于SKIPIF1<0的对称点E、F，连接SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于点H、G，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由对称性知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，SKIPIF1<0的周长最小；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为。【答案】70【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝125°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°（2023·西安·二模）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值为．

【答案】SKIPIF1<0【分析】如图，由SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由对称的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0四点共线时，SKIPIF1<0的周长最小为SKIPIF1<0，如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，计算求解即可．【详解】解：如图，由SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

由对称的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0四点共线时，SKIPIF1<0的周长最小为SKIPIF1<0，如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0相交于点O，点E、F分别是边SKIPIF1<0上的点，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值是．

【答案】SKIPIF1<0【分析】作点O关于SKIPIF1<0的对称点M，点O关于SKIPIF1<0的对称点N，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0四点共线时SKIPIF1<0，即此时SKIPIF1<0的周长最小，最小值为SKIPIF1<0的长，证明SKIPIF1<0是等边三角形，得到SKIPIF1<0；过D作SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于P，由平行四边形的性质得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由含30度角的直角三角形的性质得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到点P与点B重合，则SKIPIF1<0，由此即可得到答案．【详解】解：作点O关于SKIPIF1<0的对称点M，点O关于SKIPIF1<0的对称点N，连接SKIPIF1<0，由作图得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0四点共线时SKIPIF1<0，即此时SKIPIF1<0的周长最小，最小值为SKIPIF1<0的长，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0；过D作SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于P，∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴点P与点B重合，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的周长最小值为SKIPIF1<0，

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）鞍山·中考真题如图，在平面直角坐标系中，已知SKIPIF1<0，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0在x轴上平移，当SKIPIF1<0的值最小时，点C的坐标为．【答案】（-1，0）【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．聊城·中考真题如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH=FG，∴FG=ED，∵B（-4，6），∴BD=SKIPIF1<0，又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=SKIPIF1<0+FG+3+BF,要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：SKIPIF1<0∵B（-4，6），G（-3，-4），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当y=0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．如图，在平面直角坐标系中有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．将直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0向上平移SKIPIF1<0个单位长度得到直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则折线SKIPIF1<0的长SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】先证四边形SKIPIF1<0是平行四边形，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即当点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0的长，即SKIPIF1<0有最小值，即可求解．【详解】解：如图，将点SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0轴向下平移SKIPIF1<0个单位得到SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为斜边，作等腰直角三角形SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0向上平移SKIPIF1<0个单位长度得到直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0的长，即SKIPIF1<0有最小值，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折线SKIPIF1<0的长SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0广西来宾中考真题如图，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，向左或向右平移抛物线后，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对应点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当四边形SKIPIF1<0的周长最小时，抛物线的解析式为．【答案】SKIPIF1<0．【详解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由平移的性质可知：SKIPIF1<0,∴四边形SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0；要使其周长最小，则应使SKIPIF1<0的值最小；设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0向左平移2个单位得到SKIPIF1<0，则由平移的性质可知：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0关于x轴的对称点记为点E，则SKIPIF1<0，由轴对称性质可知，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，当B、E、SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0的值最小，设直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，将E点坐标代入解析式可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，此时四边形SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时四边形SKIPIF1<0的周长为：SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，其周长最小，所以抛物线向右平移了SKIPIF1<0个单位，所以其解析式为：SKIPIF1<0题型四垂线段最短（2023下·湛江·二模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0边上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为．

【答案】SKIPIF1<0【详解】解：如图，在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0