2024年高二数学暑期培优讲义 第08讲 抛物线（教师版）

第第页第8讲抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝﹣2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝﹣2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝﹣eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝﹣eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝﹣p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切．(×)教材改编题1．抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝﹣eq\f(1,8)B．y＝﹣eq\f(1,4)C．y＝﹣eq\f(1,2)D．y＝﹣1答案A解析由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝﹣eq\f(1,8).2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6答案B解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝﹣1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．已知抛物线C与双曲线x2﹣y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．答案y2＝±4eq\r(2)x解析由已知可知双曲线的焦点为(﹣eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq\r(2)x.题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1(1)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于()A．2B．3C．6D．9答案C解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq\f(p,2)＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋eq\f(p,2)＝12，解得p＝6.(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案42或22解析当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，①②则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．命题点2求标准方程例2(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y﹣8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A．x＝﹣4B．x＝﹣3C．x＝﹣2D．x＝﹣1答案A解析直线2x＋3y﹣8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝﹣4.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x答案B解析根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|﹣p＝|AF|cos60°＝eq\f(1,2)|AF|，所以4﹣p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.教师备选1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A．3B.eq\f(3,2)C．5D.eq\f(5,2)答案B解析由题意知抛物线的准线方程为x＝﹣1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(5,2)，所以线段MN的中点到y轴的距离为eq\f(5,2)﹣1＝eq\f(3,2).2.已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)．若直线AB的斜率为eq\f(\r(3),3)，点A的纵坐标为eq\f(3,2)，则p的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案C解析由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点在y轴上，准线方程为y＝﹣eq\f(p,2)，设A(xA，yA)，则|AF|＝yA＋eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(p,2)，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(\r(3),3)，因为α∈[0，π)，所以α＝eq\f(π,6)，所以|AF|＝eq\f(yA－\f(p,2),sinα)＝eq\f(\f(3,2)－\f(p,2),sinα)＝eq\f(3－p,2sinα)＝eq\f(3－p,2×\f(1,2))＝3﹣p，所以3﹣p＝eq\f(3,2)＋eq\f(p,2)，解得p＝1.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练1(1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线()A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP答案B解析连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B，直线AF交准线l于点C，若Rt△ABC的“勾”|AB|＝3，“股”|CB|＝3eq\r(3)，则抛物线的方程为()A．y2＝2xB．y2＝3xC．y2＝4xD．y2＝6x答案B解析如图，|AB|＝3，|BC|＝3eq\r(3)，则|AC|＝eq\r(32＋3\r(3)2)＝6，设直线l与x轴交于点H，由|AB|＝|AF|＝3，|AC|＝6，可知点F为AC的中点，所以|FH|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，又|FH|＝p，所以p＝eq\f(3,2)，所以抛物线的方程为y2＝3x.题型二抛物线的几何性质例3(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq\r(2)，则p等于()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4答案B解析抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，其到直线x﹣y＋1＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq\r(2)，解得p＝2(p＝﹣6舍去)．(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq\r(3)且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是()A．p＝4B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq\r(3)，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，故D错误．教师备选1．抛物线y2＝2px(p>0)准线上的点A与抛物线上的点B关于原点O对称，线段AB的垂直平分线OM与抛物线交于点M，若直线MB经过点N(4,0)，则抛物线的焦点坐标是()A．(4,0)B．(2,0)C．(1,0)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))答案C解析设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，则点A(﹣x1，﹣y1)，可得﹣x1＝﹣eq\f(p,2)，则x1＝eq\f(p,2)，设直线MB的方程为x＝my＋4，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,y2＝2px，))可得y2﹣2mpy﹣8p＝0，所以y1y2＝﹣8p，由题意可知，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＋y1y2＝eq\f(64p2,4p2)﹣8p＝16﹣8p＝0，解得p＝2.因此，抛物线的焦点为(1,0)．2．(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则()A．y1y2＝﹣1B．|AB|＝eq\f(25,16)C．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝﹣eq\f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线答案BCD解析设抛物线的焦点为F，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).因为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,16)，1))，且l1∥x轴，故A(1,1)，故直线AF：y＝eq\f(1－0,1－\f(1,4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＝eq\f(4,3)x﹣eq\f(1,3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x))可得y2﹣eq\f(3,4)y﹣eq\f(1,4)＝0，故y1y2＝﹣eq\f(1,4)，故A错误；又y1＝1，故y2＝﹣eq\f(1,4)，故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，故|AB|＝1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,16)，故B正确；直线AO：y＝x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＝－\f(1,4)))可得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y2，所以C，B，Q三点共线，故D正确；因为|AP|＝eq\f(41,16)﹣1＝eq\f(25,16)＝|AB|，故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案x＝﹣eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝﹣eq\f(3,2).方法二(应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝﹣eq\f(3,2).(2)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝______，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝________.答案21解析由eq\f(p,2)＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x﹣1)，代入抛物线方程，得k2x2﹣2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AF|＋|BF|,|AF||BF|)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋1x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝1.题型三直线与抛物线例4已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t﹣1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝﹣eq\f(12t－1,9).从而﹣eq\f(12t－1,9)＝eq\f(5,2)，得t＝﹣eq\f(7,8).所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x﹣eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝﹣3y2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2﹣2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而﹣3y2＋y2＝2，故y2＝﹣1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，即A(3,3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1)).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).教师备选如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(3,2))).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解(1)设直线AP的斜率为k，k＝eq\f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x﹣eq\f(1,2)，因为﹣eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，所以直线AP斜率的取值范围是(﹣1,1)．(2)由(1)得直线AP的斜率为k，x＝k＋eq\f(1,2)，则直线BQ的斜率为﹣eq\f(1,k)(k≠0)，设直线AP的方程为kx﹣y＋eq\f(1,2)k＋eq\f(1,4)＝0，直线BQ的方程为x＋ky﹣eq\f(9,4)k﹣eq\f(3,2)＝0，联立直线AP与BQ的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得点Q的横坐标是xQ＝eq\f(－k2＋4k＋3,2k2＋1).因为|PA|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝eq\r(1＋k2)(k＋1)，|PQ|＝eq\r(1＋k2)(xQ﹣x)＝﹣eq\f(k－1k＋12,\r(k2＋1))，所以|PA|·|PQ|＝﹣(k﹣1)(k＋1)3.令f(k)＝﹣(k﹣1)(k＋1)3，因为f′(k)＝﹣(4k﹣2)(k＋1)2，所以f(k)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))上单调递增，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，因此当k＝eq\f(1,2)时，|PA|·|PQ|取得最大值eq\f(27,16).当k＝0时，|PA|＝1，|PQ|＝1，|PA|·|PQ|＝1，所以|PA|·|PQ|的最大值为eq\f(27,16).思维升华(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．跟踪训练3已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点．(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；(2)点C(﹣3，﹣2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程．解由已知可得F(0,1)，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),4)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＝4y，))得x2﹣4kx﹣8＝0，所以x1＋x2＝4k，①x1x2＝﹣8.②(1)|FA|＋|FB|＝eq\f(x\o\al(2,1),4)＋1＋eq\f(x\o\al(2,2),4)＋1＝eq\f(x1＋x22－2x1x2,4)＋2.当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.(2)由题意可知，eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),4)－1))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),4)－1))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝(﹣3，﹣3)．由∠CFA＝∠CFB，得cos〈eq\o(FA,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))〉＝cos〈eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))〉，即eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),|\o(FA,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(FB,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),|\o(FB,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|)，又|FA|＝eq\f(x\o\al(2,1),4)＋1，|FB|＝eq\f(x\o\al(2,2),4)＋1，所以由eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),|\o(FA,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(FB,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),|\o(FB,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|)，可得4＋2(x1＋x2)﹣x1x2＝0，即4＋8k＋8＝0.解得k＝﹣eq\f(3,2)，所以所求直线l的方程为3x＋2y﹣4＝0.课时精练1．抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点到准线的距离是()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案D解析抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x2＝eq\f(1,2)y得p＝eq\f(1,4).2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为()A．2B．3C．4D．6答案B解析因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为d＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(6,2)＝3.3．已知抛物线y＝eq\f(1,2)x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，则|MF|等于()A．2B．3C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案C解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|MN|＝eq\r(2)|NH|，则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|.而|FK|＝1，所以|MF|＝eq\r(2).4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为()A．2eq\r(6)mB．4eq\r(6)mC．4eq\r(2)mD．12m答案B解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝﹣2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(﹣4，﹣2)和点B(4，﹣2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝﹣8y，水面下降1米，即y＝﹣3，解得x1＝2eq\r(6)，x2＝﹣2eq\r(6)，所以此时水面宽度d＝2x1＝4eq\r(6).5．(多选)已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则()A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2eq\r(2)D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2答案AC解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1,0)，则直线y＝x﹣1过焦点．联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))消去y得x2﹣6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，y1y2＝(x1﹣1)(x2﹣1)＝x1x2﹣(x1＋x2)＋1＝﹣4，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故A正确；由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝1﹣4＝﹣3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；原点到直线y＝x﹣1的距离为d＝eq\f(|1|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))，所以△AOB的面积为S＝eq\f(1,2)×d×|AB|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,\r(2))×8＝2eq\r(2)，故C正确；因为线段AB的中点到直线x＝0的距离为eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(6,2)＝3，故D错误．6．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是()A．p＝4B．抛物线方程为y2＝16xC．直线l的方程为y＝2x﹣4D．|AB|＝10答案ACD解析由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；焦点F(2,0)，则yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴yeq\o\al(2,1)﹣yeq\o\al(2,2)＝8x1﹣8x2，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(8,4)＝2，∴直线l的方程为y＝2x﹣4，故C正确；又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2x－4，))可得x2﹣6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．7．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.答案54eq\r(5)解析因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，因为|MF|＝6，所以xM＋eq\f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq\r(5)，所以S△FMN＝eq\f(1,2)×(5﹣1)×2eq\r(5)＝4eq\r(5).8．斜率为eq\r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.答案eq\f(16,3)解析如图，由题意得，抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝eq\r(3)(x﹣1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2﹣10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3).9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(﹣2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．解(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝﹣eq\f(p,2)，焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)∵点M(﹣2，y0)在抛物线C上，∴y0＝eq\f(－22,4)＝1.又F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2﹣4kx﹣4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝﹣4，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1﹣1)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2﹣1)．∵MA⊥MB，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1﹣1)(y2﹣1)＝0，∴﹣4＋8k＋4﹣4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1.10．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M.(1)求p的值；(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．解(1)由题意知，抛物线焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝﹣eq\f(p,2)，焦点到准线的距离为2，即p＝2.(2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，即y＝eq\f(1,4)x2，所以y′＝eq\f(1,2)x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1：y﹣eq\f(x\o\al(2,1),4)＝eq\f(x1,2)(x﹣x1)，l2：y﹣eq\f(x\o\al(2,2),4)＝eq\f(x2,2)(x﹣x2)，由于l1⊥l2，所以eq\f(x1,2)·eq\f(x2,2)＝﹣1，即x1x2＝﹣4.设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＝4y，))所以x2﹣4kx﹣4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝﹣4m＝﹣4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\o\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\o\al(2,2),4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2k，,y＝－1，))即M(2k，﹣1)．M点到直线l的距离d＝eq\f(|k·2k＋1＋1|,\r(1＋k2))＝eq\f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))，|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝4(1＋k2)，所以S＝eq\f(1,2)×4(1＋k2)×eq\f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))SKIPIF1<0,当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.11．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意可知，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.12．(多选)已知抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A．点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))B．若直线MN过点F，则x1x2＝﹣eq\f(1,16)C．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为eq\f(1,2)D．若|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为eq\f(5,8)答案BCD解析易知点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝﹣p2＝﹣eq\f(1,16)，选项B正确；若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即eq\f(1,2)，选项C正确；抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，准线方程为y＝﹣eq\f(1,8)，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，所以线段|PP′|＝eq\f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq\f(3,4)，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|﹣eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)﹣eq\f(1,8)＝eq\f(5,8)，选项D正确．13．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，则下列结论正确的是()A．点P到抛物线焦点的距离为eq\f(3,2)B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq\f(5,32)C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值答案BCD解析因为抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)，所以p＝eq\f(1,2)，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).对于A，|PF|＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，错误；对于B，kPF＝eq\f(4,3)，所以lPF：y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))，与y2＝x联立得4y2﹣3y﹣1＝0，所以y1＋y2＝eq\f(3,4)，y1y2＝﹣eq\f(1,4)，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)|OF|·|y1﹣y2|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(5,32)，正确；对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y﹣1＝k(x﹣1)，与y2＝x联立得ky2﹣y＋1﹣k＝0，Δ＝1﹣4k(1﹣k)＝0，即4k2﹣4k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)，所以切线方程为x﹣2y＋1＝0，正确；对于D，依题意斜率存在，设lPM：y﹣1＝k(x﹣1)，与y2＝x联立得ky2﹣y＋1﹣k＝0，所以yM＋1＝eq\f(1,k)，即yM＝eq\f(1,k)﹣1，则xM＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2，所以点M

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2，\f(1,k)－1))，同理N

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1))2，－\f(1,k)－1))，所以kMN＝eq\f(\f(1,k)－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)－1))2)＝eq\f(\f(2,k),\f(－4,k))＝﹣eq\f(1,2)，正确．14．已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴，y轴交于M，N两点，点A(2，﹣4)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为________．答案eq\f(7,4)解析由题意得M(2,0)，N(0，﹣4)，设P(x，y)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))得(x﹣2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(﹣2,0)．所以x﹣2＝﹣2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝eq\f(y＋4,4)﹣eq\f(x－2,2)＝eq\f(x2,4)﹣eq\f(x,2)＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)≥eq\f(7,4)，故λ＋μ的最小值为eq\f(7,4).15．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段A