第1课时　矩形的性质课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质

矩形的定义1.(2023·张家口张北县期中)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是

(

C

)A.对边相等B.对角相等C.一个角为直角D.对角线互相平分C123456789101112132.如图，点

O

为矩形

ABCD

的两对角线的交点，过点

O

作直线

EF

，直

线

EF

绕点

O

随意转动，下列说法错误的是(

D

)A.直线

EF

平分矩形

ABCD

的周长B.直线

EF

平分矩形

ABCD

的面积C.转动过程中，线段

AE

始终等于线段

CF

D.直线

EF

不经过点

O

也能平分矩形

ABCD

的面积第2题图D

矩形的对称性【解析】因为点

O

既是矩形的对称中心，又是矩形两条对称轴的交点，

通过将矩形绕点

O

旋转180°后，直线

EF

两侧的图形可以完全重合，即

可判断A，B，C正确.123456789101112133.矩形是轴对称图形，如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝5，

AD

＝4，点

P

是对称轴上的一动点，则点

P

到

A

，

B

两点的距离和的最小值为(

B

)A.5B.

C.

D.4

第3题图B12345678910111213【解析】如图，作点

A

关于对称轴的对称点，由矩形的对称性可知点

A

关于对称轴的对称点为点

D

，连接

BD

，则

BD

的长就是点

P

到

A

，

B

两

点距离和的最小值.在Rt△

ABD

中，∵

AB

＝5，

AD

＝4，

12345678910111213

矩形的角、对角线的性质4.(2023·廊坊第四中学期中)如图，矩形

ABCD

的对角线

AC

与

BD

交于

点

O

，若∠

OAD

＝30°，则∠

AOD

的度数为(

C

)A.110°B.115°C.120°D.135°C【解析】∵在矩形

ABCD

中，对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，∴

OD

＝

OB

＝

OA

＝

OC

.

∵∠

OAD

＝30°，∴∠

ODA

＝∠

OAD

＝30°，∴∠

AOD

＝180°－(∠

ODA

＋∠

OAD

)＝180°－(30°＋30°)＝120°.12345678910111213

A.

B.3C.4D.5第5题图A12345678910111213

第5题图123456789101112136.如图，四边形

ABCD

为矩形，根据作图痕迹，下列说法错误的是

(

C

)A.四边形

BHDG

是菱形B.∠

ABH

＝30°C.若

BD

＝6，则

CG

＝3D.

DG

平分∠

BDC

第6题图C12345678910111213【解析】A.

根据作图痕迹可知

EG

垂直平分

BD

，∴

BO

＝

OD

，

BH

＝

HD

.

∵四边形

ABCD

为矩形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

ADB

＝∠

CBD

，∠

OHD

＝∠

OGB

，12345678910111213∴△

OHD

≌△

OGB

(AAS).∴

HD

＝

BG

.

又∵

HD

∥

BG

，∴四边形

BHDG

为平行四边形.∵

BH

＝

HD

，∴四边形

BHDG

为菱形，故选项A正确；B.

根据作图痕迹，

BH

平分∠

ABD

，∴∠

ABH

＝∠

HBD

.

12345678910111213∵

BH

＝

HD

，∴∠

HDB

＝∠

HBD

.

∴∠

ABH

＝∠

HDB

＝∠

HBD

.

∵四边形

ABCD

为矩形，∴∠

A

＝90°.∴∠

ABH

＋∠

HDB

＋∠

HBD

＝90°，∴∠

ABH

＝∠

HDB

＝∠

HBD

＝30°，故选项B正确；C.

在Rt△

BDA

中，∠

ADB

＝30°，

BD

＝6，

在Rt△

BHA

中，∠

ABH

＝30°，∴

BH

＝2

AH

.

12345678910111213∵

AB2＋

AH2＝

BH2，∴32＋

AH2＝(2

AH

)2.

∵四边形

ABCD

为矩形，四边形

BHDG

为菱形，∴

AD

＝

BC

，

HD

＝

BG

.

D.

∵∠

ADB

＝30°，四边形

BHDG

为菱形，∴∠

BDG

＝30°.12345678910111213∵在矩形

ABCD

中，∠

ADC

＝90°，∴∠

CDG

＝∠

BDG

＝30°.∴

DG

平分∠

BDC

，故选项D正确.12345678910111213

直角三角形斜边上的中线定理7.数轴上点

A

，

B

，

C

表示的数分别是－3，1，5，点

P

在数轴上方，

且∠

APC

＝90°，则

BP

的长为(

C

)A.2B.3C.4D.5C

123456789101112138.如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AD

是中线，

E

是

AD

的中点，

过点

A

作

AF

∥

BC

交

BE

的延长线于点

F

，连接

CF

.

求证：

AD

＝

AF

.

12345678910111213

9.(2023·保定第13中学期中)如图，四边形

ABCD

和四边形

AEFC

是两个

矩形，点

B

在

EF

边上，若

AB

＝2，

AC

＝3，则矩形

AEFC

的面积为

(

B

)A.3B.2

C.4

D.6第9题图B12345678910111213【解析】如图，连接

AF

，∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

ABC

＝90°.

∵四边形

AEFC

是矩形，∴

AC

∥

EF

，

S矩形

AEFC

＝2

S△

ACF

.

1234567891011121310.

如图，在矩形纸片

ABCD

中，

CD

＝2，点

E

在

AB

上，若

点

B

关于直线

CE

的对称点B'落在

AD

上时，∠B'CE＝22.5°.(1)∠AEB'＝

°；45

【解析】(1)∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

B

＝90°.由折叠的性质可得∠EB'C＝∠

B

＝90°，∠B'EC＝∠

BEC

，∵∠B'CE＝22.5°，∴∠

BEC

＝∠B'EC＝90°－∠B'CE＝90°－22.5°＝67.5°.∴∠AEB'＝180°－∠

BEC

－∠B'EC＝180°－67.5°－67.5°＝45°.第10题图12345678910111213

【解析】(2)∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

A

＝∠

B

＝∠

D

＝90°.由(1)，得∠AEB'＝45°，∴△AEB'是等腰直角三角形.∴∠AB'E＝45°.∴∠CB'D＝180°－∠EB'C－∠AB'E＝45°.∴△CB'D是等腰直角三角形.第10题图

12345678910111213

第10题图12345678910111213

11.老师布置了任务：过直线

AB

上一点

C

作

AB

的垂线.在没有直角尺的

情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，

下列判断正确的是(

C

)方案Ⅰ①利用一把有刻度的直尺在

AB

上量出

CD

＝30cm.②分别以点

D

，

C

为圆心，以50cm和40cm为半径

画圆弧，两弧相交于点

E

.

③作直线

CE

，

CE

即为所求作的垂线.12345678910111213方案Ⅱ取一根笔直的木棒，在木棒上标出

M

，

N

两点.①使点

M

与点

C

重合，点

N

对应的位置标记为点

Q

.

②保持点

N

不动，将木棒绕点

N

旋转，使点

M

落在

AB

上，将旋转后点

M

对应的位置标记为点

R

.

③将

RQ

延长，在延长线上截取线段

QS

＝

MN

，得到点

S

.

④作直线

SC

，

SC

即为所求作的垂线.12345678910111213A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行C.Ⅰ、Ⅱ都可行D.Ⅰ、Ⅱ都不可行C答案：【解析】由方案Ⅰ可得，

CD

＝30cm，

DE

＝50cm，

CE

＝40cm，∴

CD2＋

CE2＝2500＝

DE2.∴∠

DCE

＝90°.∴方案Ⅰ可行；由方案Ⅱ可得

QR

＝

QC

，

QS

＝

QC

，∴∠

QRC

＝∠

QCR

，∠

QSC

＝∠

QCS

.

∵∠

QRC

＋∠

QCR

＋∠

QSC

＋∠

QCS

＝180°，∴∠

QCR

＋∠

QCS

＝90°.∴

SC

⊥

RC

.

∴方案Ⅱ可行.12345678910111213

CA.

B.

C.

D.(2023

，2023)12345678910111213

1234567891011121313.

将矩形

ABCD

沿对角线

BD

折叠，顶点

C

的对应点是点

E

，

BE

交

AD

于点

F

，过点

E

作

AD

的垂线，交

AD

于点

G

，交

BD

于点

H

，交

BC

于点

I

，连接

AE

.

(1)求证：

BF

＝

DF

；(1)证明：∵四边形

ABCD

是矩形，∴

AD

＝

BC

，

AD

∥

BC

.

∴∠

FDB

＝∠

DBC

.

由折叠可知

BE

＝

BC

，∠

DBF

＝∠

DBC

，

∴∠

FDB

＝∠

DBF

.

∴

BF

＝

DF

.

12345678910111213(2)判断四边形

ABHE

是什么四边形，并证明你的结论；(2)解：四边形

ABHE

是平行四边形.证明：