2020-2021学年黑龙江省高二上学期学业水平考试数学（文）试题（解析）

2020-2021学年黑龙江省高二上学期学业水平考试数学（文）试题一、单选题1．设有直线，当k变动时，所有直线都经过定点（）A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）【答案】C【分析】将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点．【详解】原直线方程变形为，根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点．故选：C．【点睛】本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题．2．双曲线的渐近线方程为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线方程的渐近线为，结合标准方程即可得渐近线方程.【详解】由双曲线方程知：渐近线为，故选：B3．无论为何值，方程所表示的曲线不可能为（）A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆【答案】B【分析】因为，所以当时，方程表示直线；当或时，方程表示椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示双曲线.【详解】因为，所以当，即，时，方程化为，表示两条直线；当时，方程化为表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程化为表示圆；当时，方程化为表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程化为表示焦点在轴上的双曲线.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查方程所表示的曲线的判断，解题关键是判断的符号以及与的大小关系的判断，按照五种情况分类讨论即可得解.4．设实数，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】画出可行域,根据目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率求解.【详解】由实数，满足约束条件，画出可行域如图所示：目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率，当点P为点时，目标函数取得最大值，最大值是3，故选：D5．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为（）A．3 B． C．7 D．【答案】D【分析】根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出，，即可得出结果.【详解】因为，不妨令，，，因为点P是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，两曲线的焦距为，根据椭圆与双曲线的定义可得：，，因此，，所以.故选：D.6．已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为（）A． B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据条件作出图示，根据抛物线的定义将转化为到准线的距离，然后根据三点共线求解出的最小值.【详解】根据已知条件出图示如下，过作准线，且准线方程，所以，所以当三点共线时，此时有最小值，即有最小值，所以，且，，所以，故答案为：D.【点睛】思路分析：利用抛物线的定义求解抛物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离；（2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.7．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆方程，求得，设，然后利用点差法得到，再根据的中点为得到求解.【详解】因为椭圆，所以点为左焦点，点，因为直线l平行于，所以，设，因为AB在椭圆上，所以，两式相减得：，又因为的中点为，所以，即，所以，即，解得，又，所以，故选：A【点睛】方法点睛：求解直线与椭圆的位置关系的常规方法：先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．8．已知双曲线的左焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据过点且倾斜角为的直线的斜率与渐近线的斜率的大小关系列式可解得结果.【详解】过点且倾斜角为的直线与双曲线左支有且只有一个交点，等价于，即，所以离心率.所以此双曲线的离心率的取值范围是.故选：B【点睛】关键点点睛：将问题转化为过点且倾斜角为的直线的斜率与渐近线的斜率的大小关系求解是解题关键.9．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线l与曲线的方程可得它们的图形，结合图形分析可知直线l与半圆相切到过时有两个交点，即可求的取值范围.【详解】由题意知：直线过定点，曲线为y轴上半部分的半圆，如下图示：如图，当且仅当直线l与半圆相切，到直线l过时，它们有两个交点，当直线l与曲线相切时，，得，当直线l过时，，得，∴结合图象知：时直线l与曲线有两个交点.故选：B10．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则（）．A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由已知结合抛物线定义可知的边长为，应用两点距离公式可得，即可求.【详解】由题意知：抛物线准线为，，又，∴，又为等边三角形，即边长为，∴，而，整理得，解得或（舍去），故选：A11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，且，则（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】设直线，与抛物线方程联立得，求出，根据抛物线定义化简解得，由可得结果.【详解】由得，所以，准线为，设直线，联立，消去并整理得，设，则，，所以，，因为，，，所以，所以，所以，即，所以，所以.故选：C【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义将和转化为到准线的距离求解是解题关键.12．已知椭圆的焦点为、，离心率为，为椭圆上的一点，.设的外接圆和内切圆半径分别为，，则的比值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据椭圆的离心率为，设，在中，由正弦定理求得R，利用余弦定理和等面积法求得r即可.【详解】因为椭圆的离心率为，所以设，又为椭圆上的一点，，所以在中，由正弦定理得：，解得，由余弦定理得：，又，所以，解得，所以，解得，,故选：A二、填空题13．动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹方程为______.【答案】【分析】设动圆的圆心为，利用已知条件列出方程，即可求解.【详解】设动圆的圆心为，因为动圆过点且与直线相切，可得，整理得，即动圆的圆心的轨迹出为.故答案为：.14．若圆与圆相外切，则实数_____．【答案】【详解】的圆心，半径为2，的圆心，半径为1两圆外切，所以【解析】两圆相切的位置关系15．椭圆的左、右顶点分别为、，点为曲线上异于、的一点，直线、的斜率分别为、，则______.【答案】【分析】由已知可写出的坐标，设则有，又在椭圆上有即可求.【详解】由题意知：，设，则，∵在椭圆上，即，∴，故答案为：.16．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为______.【答案】【分析】根据图形，选择合适的抛物线的解析式，把图形中有关数据转化为相应点的坐标，代入抛物线方程得出，解出抛物线的解析式；当列车刚好距离隧道顶部时，得出列出车高度与的关系，然后得出点坐标，代入抛物线方程，解出.【详解】如图所示，设隧道上部抛物线的方程为：，由图可知，点在抛物线上，将点代入得，得，故抛物线方程为，当行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差为时，设车高为，则，则点到轴的距离为：，则点，代入抛物线方程得，解得，故车辆通过隧道的限制高度为．故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线的实际应用，解答的关键在于要建立合适的坐标系，设出抛物线的方程，根据题目中所给数据，利用待定系数法求出抛物线的方程，然后再进行目标问题求解．三、解答题17．已知双曲线：的实轴长为4，一条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）直线：与双曲线相交于不同两点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）且.【分析】（1）根据渐近线方程以及实轴长度求解出的值，则双曲线的方程可求；（2）联立双曲线与直线的方程，利用并结合求解出的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）由条件可知，所以，所以双曲线的方程为：；（Ⅱ）因为，所以，因为与双曲线交于不同两点，所以，所以解得：且．【点睛】关键点点睛：本题中的第二问，解答问题的关键是通过联立方程分析与的关系完成问题求解.18．已知圆关于直线对称的图形为圆.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的斜率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由圆与圆关于直线对称有直线与直线垂直，且、的中点在，即可求得坐标，进而写出圆的方程；（Ⅱ）由弦长，结合已知有直线为，利用点线距离公式、勾股定理即可求直线的斜率.【详解】（Ⅰ）整理圆C的方程：，即圆心为，∴直线：，令，则在上，代入可得：，即，又圆与圆关于直线对称，即圆的方程为；（Ⅱ）当直线为时，不合题意；∴可设直线为，而圆心到直线的距离为，由题意，有，解得.19．已知椭圆：的长轴长为6，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出的值，进而可得椭圆的方程；（2）设，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系得，再利用弦长公式可得，从而可求得其最大值【详解】解：（1）由题意可得，解得，所以，所以椭圆的方程为；（2）设，由，得，所以当时，．20．已知是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）直线会过定点；定点为.【分析】（1）根据抛物线的定义可知,求出后可得抛物线方程；（2）直线，与抛物线方程联立得和，求出，由得，化简可解得，从而可得过定点.【详解】（1）由可知抛物线的准线方程为，因为，根据抛物线的定义可知，所以，所以抛物线的方程为.（2）设，直线，联立，消去并整理得所以，所以由得，所以，所以，所以，所以，，恒过．【点睛】关键点点睛：设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理化简,求出是解题关键.21．已知椭圆：的焦点为，，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，过点作直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值为1，理由见解析.【分析】（1）由题意，得出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，结合斜率公式进行计算，即可求得是为定值.【详解】（1）椭圆：的焦点为，，且过点，可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可得点，设，直线的方程为，联立方程组，整理得，所以，则，所以是为定值.【点睛】有关直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．已知过原点的三条直线与抛物线依次交于，，三点，同样这三条直线与抛物线依次交于，，三点.（Ⅰ）试判断直线与的位置关系，并证