人教版高中数学全册教案-08-圆锥曲线方程-15

圆锥曲线教案对称问题教案

教学目标

1.引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法.

2.通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析

问题和解决问题的能力.

3.通过对称问题的探讨，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的

思想来处理问题.

教学重点与难点

两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点.把数学问题转化为对称问

题，即用对称观点解决实际问题是难点.

教学过程

师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质.今天这节课继

续讨论有关对称的问题.大家想一想：点P（x,y）、P'（x'，y'）关于点Q（x。,

y°）对称，那么它们的坐标应满足什么条件？

生，Q就是P和P'的中点，晒*=亨，*=亨・

师：P（x,y）,P'（x'，y'）关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？

生：P和P'的中点是原点.即x=-x'且y=-y'.

师：若P和P'关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？

生：X=x'且丫=一丫'.

师：若P和P'关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？

生：y=y'且x=-x'.

师：若P和P'关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？

生：y=x'且*=丫'.

师，双曲线a=*=i与%-布=函位置加何？

生：它们关于直线y=x对称.

师：若P与P'关于直线Ax+By+C=O对称，它们在位置上有什么特征？

生：P和P'必须在直线Ax+By+C=O的两侧.

师：还有补充吗？

生：PP'的连线一定与直线Ax+By+C=O垂直.

师：P与P'在直线Ax+By+C=O的两侧且与直线垂直就能对称了吗？

生：还需要保证P和P'到直线Ax+By+C=O的距离相等.

师：P与P'到直线Ax+By+C=O的距离相等的含义是什么？

生：就是P与P'的中点落在直线Ax+By+C=O上，换句话说P与P'的中点

坐标满足直线方程Ax+By+C=O.

师：下面谁来总结一下，两点P(x,y)、P'(x',y')关于直线Ax+By+C=O

对称应满足的条件？

生：应满足两个条件.第一个条件是PP'的连线垂直于直线Ax+By+C=O,第

二个条件是P，P'的中点应落在直线Ax+By+C=O上.

师：这两个条件能否用方程表示呢？

(在黑板上可画出图形(如图2-72),可直观些)

Ax+By+C=O

图2-72

生：方程组:

A

r7（记）=]

+c=o.

师：这个方程组成立说明了什么？它能解决什么问题?

生：方程组中含有X，，/，也可认为这是一个含X，，y'的二元一次方

程组.换句话说，给定一个点P（x,y）和一条定直线Ax+By+C=O,可以求出P点

关于直线Ax+By+C=O的对称点P'（x'，y'）的坐标.

师：今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性.但也还有

其他方法，大家--起看下面的例题.

例1已知直线7,和2关于直线2x-2y+l=0对称（如图2-73）,若1、的方程

是3x-2y+l=0,求3的方程.

图2-73

（选题目的：熟悉对称直线方程）

师：哪位同学有思路请谈谈.

生：先求出已知两直线的交点，设上的斜率为k,由两条直线的夹角公式可

求出k,再用点斜式求得小的方程.

（让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正.）

3

因为文点为（0,她阳梓为匕由两直维夹角公式/

2

幅.所配三.

由点斜式，人的方程为4x-6y+3=0.

师：还有别的解法吗？

生：在直线么上任取一点，求出这点关于2x-2y+l=0对称的点，然后再利用

交点，两点式可求出/的直线方程。

（让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正.）

解由方程组：

/2x-2y4-1=0,

pi-2y4-1=0,

求辖文点为（0,在直线G上任职一点式1,4找送于直线、

-2y4-l=0tt^#jftP,■',/）由图2-网.

.yP(1,2)

T/Zz2x-2y+l=0

2|

1区”李专)

师：还有别的解法吗？

生:在Z上任取一点P（x,y）,则P点关于2x-2y+l=0对称的点的（x'，y'）

在/上，列出P,P'的方程组，解出X，，y',代入，问题就解决了.

师：请你到黑板上把解题过程写出来.

解设P（x,y）为/上的任意一点，

则P点关于直线2x-2y+l=0对称，点P'（x'，y’）在P上（如图2-75）,

图2-75

因如

从中碉一4"；+2'

r=-5-

又因为P'（X'，y'）在直线乙3x-2y+l=o±,

所以3•x'-2y'+1=0.

-x+6y-3c4i*y+2,.门

所必,----------2,———+1=0，

即上的方程为：4x-6y+3=0.

师：很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法.那么，如果

把人改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？

引申：已知：曲线C：y=x2,求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程.

（选题目的：进一步熟悉对称曲线方程的一般方法.）

师：例1中的儿种解法还都适用吗？

生：第二种和第三种方法还能适用.

师：谁来试一试？

生：可先在y=x?上任取一点P0（x。，y。），它关于直线的对称点P'（x”y）,

可得它们的交点,从中解出X”外代入曲线y=x?即可（如图2-76）.

（让学生把他的解法写出来.）

解设Po（x0,y。）是曲线C：y=x，上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点

为P'（x”y）,因此，连结PKx"。）和P'（x”y）两点的直线方程为y-yo=-（x-x0）.

m=«-3,

由

f7=2，

得交点（出产，%+广-2）,由申点坐标公式养，为=*「2,!=

九+2,M1-2=（71+2）\杂

师：还有不同的方法吗？

生：用两点关于直线对称的方法也能解决.

师：把你的解法写在黑板上.

生：解：设M（x,y）为所求的曲线上任一点，M„（Xo,y°）是M关于直线x-y-2=0

对称的点，所以M“定在曲线C：y=x2±.

代入C的方程可得x=4y°+4y+6.

师：大家再看一个例子.

例2已知点V）.2^1HC.仅-6）2等.一条光线从A

点出发射到x轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经

过的路程.（如图2-77）

图2-77

师：解这题的关键是什么？

生：关键是找到X轴的交点.

师：有办法找到交点吗？

生：没人回答.

师：交点不好找，那么我们先假设M就是交点，利用交点M对解决这个问题

有什么帮助吗？

生：既然AM是入射光线，MD为反射光线，D为切点，这样入射角就等于反

射角，从而能推出NAMO=NDMx.

师：我们要求|AM|+|MD|能解决吗?

生：可以先找A关于x轴的对称点A，（0,-2）,由对称的特征知:|AM|=|AZ

M|,这样把求|AM|+|MD|就可以转化为|A，M|+|MD|gp|AzD|.

师：WD|怎么求呢?

生：IA'D|实际上是过A'点到圆切线的长，要求切线长，只需先连结半径

CD,再连结A，C,在RSA，CD,|CD|和|A，C|都已知，|AD|就可以得到了.（如

图2-77）

（让这位学生把解答写在黑板上.）

解已知点A关于x轴的对称点为A'(0,-2),所求的路程即为

|A，D|,CD中，|A，Dp=|A'Cj14CDt，.所见A'D|=

亦彳祠、竽.光线A点切切点所缗幡珞程，|AMHMD|=

师：巧用对称性，化简了计算，很好.哪位同学能把这个题适当改一下，变

成另一个题目.

生：若已知A(0,2),D(4,1)两定点，在x轴上,求一点P,使得|AP|+|PD|

为最短.

师：谁能解答这个问题？

生：先过A(0,2)关于x轴的对称点A，(0,-2),

连结A，D与x轴相交于点PP为所求(如图2-78).

师：你能保证|AP|+|PD|最短吗?

生：因为A,关于x轴对称，所以生P|=|A，P|,这时|AP|+|PD|=|A，D|

为线段，当P点在x轴其他位置上时，如在P'处，那么，连结AP‘、A'P'和

P'D.这时|AP'|+|P'D|=|A'P|+pD|>|AZD|.理由(三角形两边之和大于

第三边).所以|A'D|为最短.即P为所求.

师：这题还能不能再做些变形，使之成为另一个题目？

生，已知，点旃+(y-4)J=-j-,汾用为

x轴和圆C上的动点，求|AM|+|MP|的最小值.

师：哪位同学能够解决?

生：先作A点关于x轴的对称点A'(0,-2),连结A'和圆心C,A'C交x

轴于M点，交圆于P点，这时|AM|+|MP|最小(如图2-79).

师：你怎样想到先找A点关于x轴的对称点A'的呢？

生：由前题的结论可知，把AM线段搬到x轴下方，尽可能使它们成为直线,

这样|A，M|+|MP|最小.

师：很好，大家一起动笔算一算(同时让这位学生上前面书写).

生：解A点关于x轴的对称点为A'(0,-2),连A'C交x轴于M,交圆C

于P点，因为A'(0,-2),C(6,4),所以|A,C|=

所叨A，P|=|A，q-R=fc^-沔gffl钻)

所叫AM出蜗的我小值是!(5^-我.

师：我们一起看下面的问题.

例3若抛物线y=a・x『l上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范

围.

师：这题的思路是什么？

生：如图2-80,设A(x”y),B(x“力)是抛物线上关于直线x=-

通称的两点，JIAB的方程可设为y=t+b,解方乱｛；二：“'

图2-80

得AB中点C的蟒(g6联i{；［二［'所如‘7途+0=0

…(,l^BS,C)班=1+9+9＞0.

ZZa/

_3

所啰Lab=-L再由△＞!)可得》＞：.

4

师：很好，谁还有不同的解法吗？

生：曲线y=axJl关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-l,解方

程蛆'{'；；；：=，+"«--/)・

PK-ay-Il

因为x+jr#0.所以y=x-L代入y=a・--I得到关于曲

a

3

a\3-a*«+(l-a)=0,由△＞喑£＞：.

4

师：今天我们讨论了有关点，直线，曲线关于定点，定直线，对称的问题.解

决这些问题的关键所在就是牢固掌握灵活运用两点关于定直线对称的思想方法，

结合图象利用数形结合思想解决问题.

作业：

1.一个以原点为圆心的圆与圆：x2+y2+8x-4y=0关于直线/对称，求直线/

的方程.

(2x-y+5=0)

2.ABCD是平行四边形,已知点A(T,3)和C(-3,2),点D在直线x-3y-l=0

上移动，则点B的轨迹方程是

(x-3y+20=0)

3.若光线从点A(-3,5)射到直线3x-4y+4=0之后，反射到点B(3,

9),则此光线所经过的路程的长是(12)

4.已知曲线C：y=-x?+x+2关于点(a,2a)对称的曲线是C',若C与C'有

两个不同的公共点，求a的取值范围.(-2VaVl)

5.蚓耳■"史+号^=1刖访，陵小”

1EB点，密PFHP剧的最小值及相频点Pfl悭乐(川5,哈-专)

设计说明

1.这节课是一节专题习题课，也可以认为是复习题，通过讨论对称问题把

有关的知识进行复习，最重要的是充分突出以学生为主体.让学生讨论和发言，

就是让学生参加到数学教学中来，使学生兴趣盎然，思维活跃，同时对自己也充

满了信心.这样，才有利于发挥学生的主动性，有利于培养学生的独立思考的习

惯，发展学生的创造性和思维能力.因此，在数学教学中要有一定的时间让学生

充分地发表自己的见解，从而来提高他们的兴趣，发展他们的能力.

2.这节课自始至终贯穿数形结合的数学思想，让学生在脑海里留下一个深

刻的印象，就是对称问题，归根结底都可以化成点关于直线的对称问题，即可用

方程组去解决.反过来，一直线与--曲线的方程组消元后得到一元二次方程，若

这二次方程的判别式大于零，也可得直线与曲线有两个交点，这种从形到数，再

由数到形的转化为我们处理解析儿何问题带来了便利.在解题时，只有站在一定

的高度上去处理问题，思路才能开阔，方法才能灵活，学生的能力才能真正的得

到培养，同时水平才能提高得较快.

3.习题课的一个中心就是解题，怎样才能让学生做尽可能少的题，从而让

学生掌握通理通法，这是一个值得研究和探讨的问题.本节课采取了让学生把题

目进行一题多变，一题多解，从中使学生悟出一些解题办法和规律，从而达到尽

可能做少量的题，而达到获取尽可能多的知识、方法和规律的目的，真正提高学

生的分析问题、提出问题、解决问题的能力.解决当前学生课业负担过重的问题,

根除题海战术给学生带来的危害.

4.本课的例题选择可根据自己所教学生的实际情况，下面几个备用题可供

参考.

题目1过圆0：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线M为/上任

一点，过M作圆。的另…条切线，切点为Q,求点M在直线l上移动时，4MAQ

垂心的轨迹方程.

(选题目的：熟练用代入法求动点的轨迹方程，活用平几简化计算.)

解如图2-81所示.P为aAUQ的垂心，连0Q,则四边形AOQP为菱形，所

以|PQ|=|0A|=2,设P(X”y),Q(x0,y«).于是有x0=Xi且

%=2因为几)为已如因I上的点，所以曷-2)'=4,垂心

池轨迹方程力，B1+(y-2)1=4.除去(0,Q),(0,4)网点.

题目2若抛物线丫=犬上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m的取

值范围.

解(如图2-82)设抛物线上两点A(x,y),B(x2,%)关于直线

歹=D>CK-为旗R,AB^J中点为MCA.%).显然m/o.JMk.=%_力

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