《第二章 一元二次函数、方程和不等式》同步练习及答案解析

《第二章一元二次函数、方程和不等式》同步练习

2.1等式性质与不等式性质

【题组一不等式性质】

1.若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>6,则公;2>4/B.若则储>。人>人2

11

-<-

C.a<h<QfQhD.若acbcO,则一

ah

2.下列结论正确的是（）

A.若a>b,则B.若a2vb2,则a<b

ba

C.若a>b,则。-d>b-cD.若a>b,则Q/AOC?

3.若a>Z?>O,cvdvO,则一定有()

ababab

A.—>—B.—<—C.—>-

cdccldc

4.已知&b,cGR,则下列命题正确的是()

°ab,a>b11a>h11

A.a>b=^ac2>bcB.—>—=>«>/?C.>=>->-D>=>—>—

ccah<0)abab>0]ab

5.对于实数判断下列命题的真假.

(1)若a>b,则QC<.

(2)若ac1>be1，则a>。.

(3)若。<人<0,JU!]a2>ab>b2•

(4)若a<b<0,则|。|>|。|.

(5)若c>a>/?>0,贝ija>b,

c—ac-b

(6)若,则a>0,〃〈0.

ab

【题组二比较大小】

1.比较下列各组中两个代数式的大小:

(1)3工2—x+1与212+1-1；

（2）当。>0,。>0且球。时，a»b与a%".

2.已知a,6均为正实数，试利用作差法比较/+尸与“从的大小.

3.己知x<l,比较丁-i与2f—2%的大小.

【题组三代数式的取值范围】

1.已知x-2y=6,x-3y=4,则/一5孙+6y?的值为.

2.已知lWa-/?W2,2<a+b<4>则4。-2〃的取值范围是（）

A.[3,12]B.[5,10]

C.[6,12]D.[3,10]

3.设且1是一元二次方程0?+法+c=0的一个实根，则£的取值范围为（）

a

A.[-2,0]B.--,0C.-2,-《D.—1,——

L2」L2j|_2J

【题组四不等式的证明】

1.证明不等式才+炉》2数（a,

1/1

2.已知xel,yel,证明：x+yH<—I-1-xy

xyxy

2.1等式性质与不等式性质答案解析

【题组一不等式性质】

1.若“、b、。为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>6,则“<?->/?(?B.若a<b<。,则a->ab>Zr

11

-<-D.若a<8<0,则2>g

Q

ab

【答案】B

【解析】对于A选项，若c=0,则4C2=根2,故A不成立；

对于B选项，Qa<h<0>在不等式a<Z?同时乘以,得a?>而，

另一方面在不等式a<b两边同时乘以人，得必〉从，故B成立;

对于选项C,在。两边同时除以可得一<一，所以C不成立；

ba

对于选项D,令。=一2,b=-l,则有q=2=2,-=所以D不成立.

b-1a2ab

故选B.

2.下列结论正确的是（）

A.若a>。，则B.若/<〃，贝|］。<力

ba

C.若a>b,c>d则a-d>Z?-cD.若a>b,则ac?〉儿?

【答案】C

【解析】对于A,取a=l力=-1时，则A错误；

ba

对于B,取a=0,/?=-1时，a>b,则B错误；

对于C,因为a>。,—d>—c,所以由不等式的性质可知a-d>Z?-c,则C正确;

对于D,取c=0时，a*=b/,则D错误;

故选：C

3.若a>Z?>0,c<"<0,则一定有（）

abab

A.—>—B.—<—

cdcd

【答案】D

【解析】本题主要考查不等关系.已知a>匕>0,c<d<0,所以一,>—J.〉。，所以

dc

abuab

—>—,故二<一.故选。

dcdc

4.已知a,b,cRR,则F列命题正确的是（）

a>b11a>b11

A.a>b=>ac>b（?B.—>—=>a>bC.?=>—>—D.>=>—>—

ccab<0\abab>0ah

【答案】C

【解析】当c=0时，/不成立；

当&0时，5不成立；

a>b]11h-a11

当,八时，——T=-->0,即一>7，所以C成立.

ab<0ababab

a>b]11b-a11

当，八卜时，=f<0,即上<上，所以D不成立.

ab>0]ababab

故选：C

5.对于实数。力,c,判断下列命题的真假.

（1）若a>b,则QC<Z?c.

（2）若QC?Abe?，则。>〃.

（3）若4<。<0，则

（4）若avbvO,则1。1>1勿.

（5）若贝ij0>b.

c-ac-b

（6）若a>b,—>—,则4>0,b<0.

ah

【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.

【解析】（1）由于。的符号未知，因而不能判断成与人。的大小，故该命题是假命题.

（2）­.­ac2>he2,/.c2>0,.\a>b,故该命题为真命题.

acb,\ci<b.

（3）:a1>ab•又<7_/.ab>b1：.a2>ab>b2-

a<0,[Z?<0,

故该命题为真命题.

（4）vbvO,「・<<O,bvO,.,・同=—°,网=—A,

又•・・〃（伍・,.一。）一".二问>网，故该命题为真命题.

（5）-：c>a>h>G,:.0<c-a<c-h,

二」一>」一，.•.，一〉一2一.故该命题为真命题.

c-ac-bc-ac-b

（6）由已知条件，得人一。<0,---->0,

ab

b—Q

---->0,ab<0.又a>b,:.a>0,b<0.

ab

故该命题为真命题.

【题组二比较大小】

1.比较下列各组中两个代数式的大小：

(1)3x2-x+1与2^2+x-l；

（2）当。＞0,匕＞0且出万时，优〃与〃为”.

22ahba

【答案】⑴3X-X+\>2X+X-\；(2)ab>ab.

【解析】(1)'/(Sx2-x+l)-(2x2+x-l)=x2-2x+2=(j;-l)2+1>0,

因此，3X2-X+1>2X2+X-1;

①当a>〃>0时，即a—b>0,—>1时，->-=1，aabh>ahba；

b㈤［bj

/\a-bz\0

②当。>a>0时，即a—b<0,0<@<l时，->-=1，,-.aabb>ahba-

b{b)⑴

综上所述，当a>0,b>03.a'b时，aabh>ahba.

2.已知a,6均为正实数，试利用作差法比较/+犷与+的大小.

【答案】+/>+加

［解析］,**cc+b，-(crb+ab?)=(a"-ct~bj4-(。，一cib~j

=/(a—/7)+/(。-a)=(a一勿一片)=(a—b)2(a+b).

又2。均为正实数，

当a=b时，a-b=0,a^=a2b4-ab2；

当a】b时，(a-b)2>0,a+b>0,

则/+/>。2》+必2.

综上所述，a3+b，>a2b+加.

3.己知x<l,比较d_i与2f_21的大小.

【答案】x3-1<2x2—2x

【解析】d-1-(212_2x)=J_2x~+2x_1

=(j?—%2)_(%2-2x+])

-x2(%—1)—(%—l)2

x<l,x-1<0,

【题组三代数式的取值范围】

1.己知x-2y=6,x-3y=4,则f-5盯+6丁的值为.

【答案】24

【解析】由题得》2一5砂+6y2=(x—2y)(x-3y)=6x4=24.故答案为：24

2.已知1W。一2<a+b<4,则4a—2力的取值范围是()

A.[3,12]B.[5,10]

C.[6,12]D.[3,10]

【答案】B

x+y=4

【解析】令4a-2b=x(a-b)+y(a+b),即《"，解得：x=3,y=l,即4a-

[-x+y=-2

2b=3(a-b)+(a+b).

•.TWa-bW2,2Wa+bW4,；.3W3(a-b)W6,；.5W(a-b)+3(a+b)W10

故选：B.

3.设且1是一元二次方程依2+从c+c=O的一个实根，则上的取值范围为()

a

A.[-2,0]B.--,0C.f-2,-^1D.-1,--

2L2j2

【答案】C

【解析】又因为1是一元二次方程水2+/+C=0的一个实根，

所以有。+力+。=0,且QZZ?2C,所以a>O,c<。，

所以£<0,所以排除A、B两项，

a

当〃>0时，c=—(a+b),所以向v|d42|a|，此时一24(<一1,

当力=0时，c=-a,止匕时£=一1,

a

1ci

当b<0时，c=-(a+Z?),所以5144cl<同，此时-1<一4一5，

c1

所以一e-2,--,故选C.

aL2_

【题组四不等式的证明】

1.证明不等式才+4>2a6(a,6G心.

【答案】证明见详解.

【解析】・・・。2+〃一2次?=(4一/?)2之。，.Q2+/N2ab，当且仅当〃=b时，等号成立.

111

2.已知y2L证明：x+y_J-<--\---Fxy

xyxy

【证明】

1111‘八一

(一+—+孙)一。+yH)=——[(x+y+xy)—(彳y+盯+1)]

xyxyxy

11

=—[x9-y?-l+x+y—xy(x+y)]=—[(孙+1)(孙一1)一(xy-l)(x+y)]

xyxy

=­(Ay+1-x-y)(xy-1)=—(x-l)(y-l)(xy-1)

xyxy

因为xel,所以x—120,y—1^0,所以一(x—l)(y—l)(xy—1)^0

孙

111、111

故(一+一+孙)-(x+y+—)20,所以％+y+—4一+―+孙

xyxyxyxy

2.2基本不等式

【题组一公式直接运用】

4

1.已知x<3,求/(x)=——+x的最大值.

x—3

2.已知。>0,h>0yab=l,且〃2=〃+,,n=a+-,则加+力的最小值是()

ab

A.3B.4C.5D.6

4.若Q+/?WO,贝~的最小值为_____.

[a+b)

12

5.(1)已知%>0,求〃x)=1+3x的最小值；

4

(2)已知x<3,求〃x)=----+x的最大值.

%—3

(%+1)(2>'+1)

6.设x>0,y>0,x+2y=5,则~---/=---1的最小值为_

g

【题组二条件型】

1.若。>0,8>0,且a+b=l,则L+_1的最小值为()

ab

A.2B.3C.4D.5

21

2.正实数苍了满足：2x+y=l,则一+一的最小值为___.

xy

3.已知不等式。+血刃&+：)29对任意正实数筋y恒成立，则正实数而的最小值是()

xy

A.2B.4C.6D.8

11Q

4.已知。>0,b>0f且。〃=1,则一+—+——的最小值为—

2a2ba+b

5.设勿，〃为正数，且加+〃=2,则一--+"+3的最小值为________.

m+l〃+2

【题组三配凑型】

5X?_Ay_1_5

1.已知X》一，则f(X)=-~~山2有()

22x-4

A.最小值1B.最大值。

4

C.最小值2D.最大值1

2.已知X〉O，y>-l,且x+y=l,则X=+_2_最小值为__________.

xy+1

3.函数/（x）==4/3的值域为.

4.函数“x）=.；T~4（x>1）的最小值为.

【题组四换元法】

1.若实数乂y满足外>（）,则=的最大值为（）

z&,ttJ期

A.2-72B.2+>/2C.4+20D.4-272

2.已知x、V为正实数，满足4x+y+2_xy=7,则2x+y的最小值为:

3.若正实数X,y满足V+2孙一1=0,则x+2y的最小值为.

【题组五求参数】

（1]、

1.设x,yeR+,（x+y）-+-恒成立，则实数。的最大值为（）

（%y）

A.2B.4C.8D.16

21n

2.已知。>0,b>0若不等式一十-2-----恒成立，则拉的最大值为（）

fah2a+b

A.9B.12C.16D.20

21°

3.若两个正实数X,y满足一+—=1,且x+2y>机2+2加恒成立，则实数m的取值范围是

（）

A.（―—2）U[4,H-oo）B.（—oo,-4）U[2,+oo）C.（—2,4）D.（—4,2）

2

4.已知关于x的不等式2x+——27在xe（a,北。）上恒成立，则实数a的最小值为（）

x-a

53

A.1B.—C.2D.一

22

19

5.设。、b、。都是正实数，且。、满足一+-=1,贝IJ使恒成立的c的范围

ab

是（）

A.(0,8]B.(0,10]

C.(0,12]D.(0,16]

【题组六实际应用题】

1.(1)用篱笆围一个面积为100加2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最

短？最短篱笆的长度是多少？

(2)用一段长为36加的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面

积最大？最大面积是多少？

2.为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的

k

年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t20)万元满足x=4---(k为常

2f+1

数).如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定

投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为

每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).

(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

3.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米.池底每平方米

的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元.设池底长方形的长为x米.

(I)求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；

(II)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少？

4.用篱笆围一个面积为lOOn?的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最

短，最短的篱笆是多少？

5.经观测，某公路段在某时段内的车流量丁(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)

之间有函数关系：y=,秋《＞0).

V2+3V+1600V'

(1)在该时段内，当汽车的平均速度n为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确

到0.01)

(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围

内？

2.2基本不等式答案解析

【题组一公式直接运用】

4

1.已知尤<3,求/（力=-+x的最大值.

【答案】-1

【解析】vx<3,则3-x>0,由基本不等式可得

4j^-+（3-x）+3<-2^j^--（3-x）+3=-l,

人J

4

当且仅当——=3-x时，即当x=l时，等号成立，

3-x

4

因此，当x<3时，求〃力=-+x的最大值为一1.

X-J

2.已知。>0,b>0,ah=\,且m=。+!，n=a-^--,则根+〃的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由=I知，m=b+L=2b,n=a+—=2a,/.m-\-n=2（a+b）>4\lab=4,

ab

当且仅当。=/?=1时取等号.故〃2+鹿的最小值为4故选：B

4.若a+匕H0,则的最小值为

【答案】V2

【解析】由题意‘小…十七…2^^=修,当且仅当

a=b时等号成立,

所以“+从++康224=0’当且仅当丝答

(a+b)2(a+b)2

时取等号，所以当0=2^时，屋而取得最小值后.

5.(1)已知x>0,求/(%)=—+3x的最小值;

4

(2)己知1<3,求〃尤)=----+x的最大值.

x-3

【答案】(1)12；(2)-1.

【解析】(1)vx>0,

17fr?

(x)=—+3x>2J—•3x=12,

XVX

12

当且仅当一=3xnx=2时取等号；

x

所以“X)的最小值为12；

(2)•.•X<3=3—%>(),

"x)=-^-+x-3+3=-|-^-+3-x|+3<-2j-^--(3-x)+3=-l

x-3(3—x)\3-x,)

当且仅当J—=3—》=》=1时取等号，所以/(x)的最大值为—L

3-x

(x+l)(2y+l)

5,设x>0,y>0,x+2y=5,则-----7=——的最小值为

【答案】473

(x+l)(2y+1)_2孙+x+2y+l

【解析】而而

,/x>0,y>0,x+2y=5,孙>0,.」

2孙+6〉2-243y[xy

4G

而历

当且仅当孙=3,即X=3,y=l时成立，故所求的最小值为4G.

【题组二条件型】

1.若。>0,匕>0,且“+人=1,则L+工的最小值为()

ah

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因为Q+Z?=1,所以一+：=（—+7~］（。+。）=—+7+2.

abyabJab

hn

因为〃>0,〃>0,所以—>0,->0.

ab

所以2+322」2£=2,当且仅当2=即4=力=」时等号成立.

ab\abah2

所以,+工=2+色+2》2+2=4,即,+_L的最小值为4.

ababab

21

2.正实数阳了满足：2x+y=l,则一+一的最小值为.

%y

【答案】9

【解析】-+-=f-+-\2x+y）=5+^+—>5+2fe.—>5+274=9,当且

xy\xy

仅当x=y=」时取等号.故答案为：9.

3

3.己知不等式（x+my）&+929对任意正实数万，尸恒成立，则正实数m的最小值是（

xy

）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】不等式（％+my）（；+i）>9对任意的正实数人y恒成立，

xy

则:+?+1+皿29对任意的正实数x,y恒成立，

yx

又2+詈之+1+mN9，解得/五N2或/曲《一4（不合题意，舍去），

m>4,即正实数力的最小值是4.故选：B.

11Q

4.已知。>0,b>0,且次?=1,则一+丁+—的最小值为_________.

2a2ba+b

【答案】4

【解析】a>0,b>0,。。>0,cih=1,---1----1----------1----1-----

2a2ba+b2a2ba+b

=£+^+8>/«+^x8=4（当且仅当a+匕=4时取等号，

2a+hv2a+h

结合a/?=l,解得a=2-百/=2+6，或a=2+石,6=2-百B寸，等号成立.

故答案为：4

5.设勿，刀为正数，且加+〃=2,则一--+“+的最小值为__________.

m+l〃+2

【答案】|9

【解析】令。=m+1,匕=〃+2,则。+方=5,且lva<3,2<Z?<4,

-1"+311।

又-----+-----=—+—+1,

m+1n+2ah

111z11\1r/b\14

f〃

而-+---+-■X-2+-+---

匕

〃

5〃1555

aka7ka7

当且仅当。=人=3时等号成立，

2

故——1+'几一十3的最小值为9

m+1〃+25

9

故答案为：—.

【题组三配凑型】

5丫？一4YaS

1.已知X、一，则f(x)--_竺士?有()

22x-4

A.最小值1B.最大值2

4

C.最小值之D.最大值1

4

【答案】A

X2-4X+51、,（*一2）~+1_1

【解析】f(x)—X-------------——>—x2>/1=1»当且

2x-42x-222

仅当工一2=」一即％=3时等号成立

x—2

x2+3y2

2.已知工>0,y>-1,且％+y=l,则2--+——最小值为

xy+1

【答案】2+百

【解析】=fx+->|+fy-l+—\

xy+1IxjIy+\）

31

结合x+y=l可知原式=一+-----,

xy+\

口31(311x+(y+l)1F,3(y+l)X

xy+1(xy+1J22xy+1

=2+6

2yxy+l

当且仅当尤=3-君,)，=一2+百时等号成立.

2a2

即七匕+上二最小值为2+G.

xy+1

3.函数〃x)=x：4；+3的值域为

【答案】(F,16-6g]u[16+6g,问

【解析】设x-6=r,x=r+6,g(r)='+1&+=，+国十房，

tt

当f>0时，g(z)>6>/7+16,

当且仅当r=3夕,x=3j7+6时等号成立；

同理当，<0时，g«)4—6«+16,

当且仅当f=—3j7,x=—3j7+6时等号成立；

所以函数的值域为(F,16—6«]U[16+6J7,+ooj.

故答案为：卜oo,16-6g]u[16+6\/7,+oo).

4.函数/(x)=x-x+4(x>1)的最小值为.

X1

【答案】5

【解析】f(x)=x2x+4=(1)2+(1)+4+j+]

\)x-1x-\\7x-1

Qx>l,/.x-1>0,

4/44

・•.（x—l）+——>2（x-1）----=4（当且仅当］一1=——，即x=3时取等号）,

x—1yx1x-1

：.Jf（\x]zmi.n=4+1=5.

故答案为：5.

【题组四换元法】

1.若实数x，y满足封＞。，则~-罂—与~的最大值为（）

需也承扁由期

A.2-V2B.2+72C.4+2夜D.4-2拒

【答案】D

m-x+yx=2m-n

【解析】由实数x，y满足外＞o,,设｛.，解得｛，

n=x+2yy=n-m

则上+且=网外+也也="（△+也）＜4-2心.也=4-2忘，当且

x+yx+2ymnmn\mn

仅当巴=2"，及〃=血加时等号成立，所以二#不三-的最大值为4一2夜,故选

mn般也般富*物

D.

2.已知X、＞为正实数，满足4x+y+2^y=7,则2x+y的最小值为.

【答案】3

【解析】由4x+y+2;^=7可得出y=上”=之生=_一2,

2x+l2x4-12x+l

x＞0

7

由于％、y为正实数，则17-4%，可得0＜工＜一,

y=-----＞04

I2x+l

9Q一3川（22）.高-3=3'

2x+y=2尤H-------2=（2尤+1）4-----

2x+l'72x+l

9

当且仅当2x+l=----时，即当％=1时，等号成立,

2x4-1

因此，2'+y的最小值为3.

故答案为：3.

3.若正实数X,y满足丁+2孙一1=0,则x+2y的最小值为

【答案】百

,1-V2

【解析】由丁+2D一1=0可得x=T-

2》

尤+2y=『2y=(f+2y=(+|”20|Z=g

当且仅当),=立时，等号成立.

3

则x+2y的最小值为道

故答案为：>/3

【题组五求参数】

1.设x,yeR+,(x+y)('+L恒成立，则实数。的最大值为()

(xy)

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】由于(%+丁)［，+，］=2+2+222+24"工=4,当且仅当x=y=l时等号

(x”>%\y

(11、

成立，而x,yeR',(x+y)-+—Na恒成立，故a«4,也即4的最大值为4.

\xy)

故选B.

21n

2.已知。>0,b>0若不等式—+2『二恒成立，则〃的最大值为()

tab2a+b

A.9B.12C.16D.20

【答案】A

【解析】因为a>0,b>0,所以2a+h>0,-+->—^—=>(2a+b)(-+-)>n,

ab2a+bab

(2a+/>)(-+-)=5+—+—>5+2,/—•—=9(当且仅当a=Z?EI寸，取等号)，要想

abba\ba

不等式2+?217恒成立，只需〃W9,即〃的最大值为9,故本题选A.

ab2a+b

21,,

3.若两个正实数X，y满足一+—=1,且x+2y>m2+2加恒成立，则实数m的取值范围是

xy

()

A.(-<»,-2)U[4,+oo)B.(-oo,-4)U[2,+<»)c.(-2,4)D.(-4,2)

【答案】D

【解析】由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2+，]="+2+4N2,叵士+4=8,

(x”xV\xy

4yx

当且仅当==一，由于x>0,y>0,即当x=2y时，等号成立，

1y

所以，x+2y的最小值为8,由题意可得〃+2〃2V8，即加2+2m—8V0，

解得T<m<2,因此，实数用的取值范围是(-4,2),故选D.

2

4.已知关于x的不等式2x+——27在％£(a,Ko)上恒成立，则实数a的最小值为()

x-a

53

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】D

2

[解析】设f(x)=2x+----，,：x>a,.\x-a>Q,

x-a

2_

2x+----27在xw(a,+8)上恒成立，需/(x)min>7,

x-a

22

f(x)=2x+----=2(x-a)+-----+2a22x2+2〃=4+2〃，

x-ax-a

当且仅当x-a=」一=l,即x=a+l时等号成立，

x-a

3

/.4+2a27,a2a.

故选：D.

19

5.设〃、b、c都是正实数，且〃、力满足一+7=1,则使a+恒成立的。的范围

ab

是()

A.(0,8]B.(0,10]

C.(0,12]D.(0,16]

【答案】D

19

【解析】力为正实数，一+:=1，

19

a+b-(a+b)—+—=10+-+—>10+2.

abab

bOzy

当且仅当2="，即。=4/=12时等号成立，

ab

：.(a+b)min=16,要使恒成立，

Vc为正实数，

A0<c<16.

故选：D.

【题组六实际应用题】

1.(1)用篱笆围一个面积为IO。，"的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最

短？最短篱笆的长度是多少？

(2)用一段长为36加的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面

积最大？最大面积是多少？

【答案】(1)当这个矩形菜园是边长为10〃?的正方形时，最短篱笆的长度为40加；(2)当

这个矩形菜园是边长为9加的正方形时，最大面积是81根2.

【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为X”、ym,篱笆的长度为2(x+y)m.

⑴由已知得孙=100,由苫上之历，可得x+y22而=20,所以2(x+y)10,

当且仅当％=^=10时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为1()根的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为4()加；

(2)由已知得2(x+y)=36,则x+y=18,矩形菜园的面积为xy/n?.

由士工=更=9,可得匀481,

22

当且仅当x=y=9时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为9加的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81〃，.

2.为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的

k

年销量（即该厂的年产量）X万件与年促销费用t（t2O）万元满足x=4----------（k为常

2r+l

数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定

投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为

每件产品平均成本的L5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.

（1）将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;

（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

1Q

【答案】（1）y=27----------（f20）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家

2f+l''

利润最大

k

【解析】（1）由题意有l=4—j,得％=3

3

故x=4—

2/+1

♦y=27-5「=27.5—[-y