2022-2023学年福建省福州某中学高二年级上册9月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州高级中学高二上学期9月月考数

学试题

一、单项选择题

1.如图，在正六边形ABCDEF中,与向量而相等的向量是0

A.BCB.EDC.AFD.CD

【答案】B

【分析】由相等向量的定义可知.

【详解】由图可知六边形ABCCEF是正六边形,所以瓦AAB,与而方向相同的只有加;

而配，而，而与而长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；

应选：B

2.点A(l,3)1(4,-1),那么与而同方向的单位向量为

433443

一，----一,一

5551555

【答案】A

【详解】试题分析：而=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与福同方向的单位向量为

-福1”八，34、

"而[=不')=q一7’应选儿

【解析】向量运算及相关概念.

3.向量1=(X+2/+X),5=(X—2』—X).假设那么()

A.』二2B.\x\=2C.X2=3D.|x|=3

【答案】A

【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可.

【详解】解：5=(X+2,14-X),6=(x-2,l-x).

5+2)[1-x)-(\+x)(x-2)=0,

:.-2AT+4=0,jr=2.

应选：A.

4.如图，在中，M为BC的中点，AC=mAM+nBD^那么加+〃=()

45

A.1B.-C.-D.2

33

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算可求也〃的值.

【详解】AM=AB+^BC^AB+^AD,^\BD=AD-AB，

1

故+—=(小一与+

2

4

tn-n=\m=—

______,UUUUUlfl35

而恁=丽+而且43,AD不共线，故{:",=>{

—+〃=113

2n=—

3

应选：C.

5.向量公是非零向量，B是单位向量，4的夹角为120,且£“日+可,那么B卜。

।历

A.3B.\C.1D.2

22

【答案】A

【分析】由£“£+可，可得£刊+与=0,化简后可求出内

【详解】因为办R+B),

所以£化+%0,即？+"=0，

因为］是单位向量,的夹角为120,

所以|4『一字〃|=0,

因为向量2是非零向量，

所以0=；,

应选：A

6.复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),那么色=()

Z—1

A.—2—2iB.1—iC.2+2iD.1—2i

【答案】D

【分析】由复数的除法运算求解即可.

【详解】由题意得z=—l+2i,

l+3i(l+3i)(-l-i)2-4i

所以z-i-(-l+i)(-l-i)-2

应选：D.

7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球面的外表积为

32

A.12乃B.一nC.87rD.44

3

【答案】A

【详解】试题分析：因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长

为2月，所以正方体的外接球的半径为石，所以该球的外表积为4万・（百）2=12万，应

选A.

【解析】正方体的性质，球的外表积

【名师点睛】与棱长为。的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相

切的球，其半径分别为叵、£和叵.

8.加，”是两条不同的直线，6,7是三个不同的平面，那么以下命题正确的选项是

A.假设机〃a,〃//a,那么

B.假设那么a///

C.假设小〃a,"〃a,且/nu/7,〃u户,那么a〃夕

D.假设机_La,”_L£,且a_L/?,那么切_L〃

【答案】D

【分析】根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，A民C均可举出反例;

。可证明得出.

【详解】假设加/a，n!la,那么相〃"或m与"异面或机与"相交，应选项A错误;

假设aly,,那么a与夕可能相交，应选项8错误；

假设直线〃〃不相交，那么平面a，力不一定平行，应选项C错误；

Qa_L£,m，aI。或tnu。,又〃_L£.•.加，应选项。正确.

此题正确选项：D

【点睛】此题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想

象能力和对定理的掌握程度.

二、多项选择题

9.在AABC中，a=6,6=3夜，5=30,那么角A的值可能为0

A.45B.60C.135。D.150

【答案】AC

【分析】根据正弦定理求出sin4,根据〃>万可得A=45°或A=135.

b竺1金,

【详解】由正弦定理得，得sinA=asinB

sinAsinBh3近2

因为0<A<180,且a>/>,所以A=45°或A=135.

应选：AC.

10.对于复数z=a+6i（a/GR）,以下说法正确的选项是（）

A.假设b=0,那么a+历为实数

B.假设a=0,那么a+万为纯虚数

C.假设国=1,那么z=±l或z=±i

D.假设忖41,那么点Z的集合所构成的图形的面积为"

【答案】AD

【分析】对A,根据实数的定义分析即可；

对BC,举反例判断即可；

对D,根据复数的几何意义判断即可

【详解】对A,那么假设6=0,那么a+>i=a为实数，故A正确；

对B,假设。=0,〃=0那么〃+历为0为实数，故B错误；

对C,如[+[i=l,故C错误；

对D,假设回41,那么点Z的集合所构成的图形为以坐标原点为圆心，半径为1的圆

内，其面积为乃，故D正确；

应选：AD

11.以下命题中正确的选项是0

A.假设直线与平面有两个公共点，那么直线在平面内

B.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线一定与该平面相交

C.假设直线/与平面a平行，那么/与平面a内的直线平行或异面

D.假设平面a〃平面£,直线aua,直线buQ,那么a//b

【答案】AC

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析即可.

【详解】解：对于A：由公理1可知，假设直线与平面有两个公共点，那么直线在平面

内，故A正确；

对于B：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，那么另一条直线与该平面平行或

相交或在平面内，故B错误；

对于C：假设直线/与平面a平行，那么/与平面a内的直线平行或异面，故C正确；

对于D：假设平面c〃平面/，直线“ua,那么。〃平面夕,又直线bu/,那么直线

或“与匕异面，故D错误.

应选：AC

12.某工厂生产出一种机械零件，如下图零件的几何结构为圆台。。-在轴截面ABCC

中，AB=AD=BC=4cm,CD=2AB,那么以下说法正确的有（）

A.该圆台的高为Gem

B.该圆台轴截面面积为12j8cn?

C.该圆台的体积为变叵CD?

3

D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AO的中点，所经过的最短路程为10cm

【答案】BCD

【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B

选项；由圆台体积公式即可判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D

那么圆台的高为2«cm,A错误；

圆台的轴截面面积为J（4+8）x2g=12^5?,B正确；

圆台的体积为丫=:兀（4+16+8"2百=冬『70：0?,C正确；

将圆台一半侧面展开，如图中ABC。，设P为AO中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开

为扇形COD,由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm,底面半径为4cm,侧面

2兀.4

展开图的圆心角为。=一一=兀，连接CP,可得NCOP=90。，OC=8,0P=4+2=6,

o

那么％=病次=10,所以沿着该圆台外表从点c到中点的最短距离为10cm,

故D正确.

应选：BCD.

三、填空题

13.假设复数z=f〔i是虚数单位）是纯虚数，那么实数机的值为_____.

2+，

【答案】2

【分析】利用复数的运算法那么和纯虚数的定义即可得出.

\—mi(1-mi)(2-i)2-m-(2m+l)z2-m2m+\.曰”士,以

【详解】解：•.•复数z=---=-------=---------=--------1是纯虚数,

2+i(2+i)(2-i)555

*=0

c5,解得加=2，

+1人

-----H0

5

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查复数代数形式的运算法那么以及纯虚数的定义，属于根底题.

14.在AA6C中，4=60。,a=3,6=疯那么3=

【答案】45°

【分析】根据正弦定理，代入计算即可.

【详解】由正弦定理可得一二=上

sinAsinB

3_76.y/2

那么近一孟i=sin亍且0。<3<180。

T

所以3=45。或135。

且a>Z>=A>3

所以8=45°

故答案为：45。

15.假设圆锥的母线长为2石，侧面展开图的面积为67，那么该圆锥的体积是

【答案】3兀

【分析】求出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥的高和体积.

【详解】设圆锥的底面圆半径为"，因为母线长为2百，

所以侧面展开图的面积为万rx2G=6万>

解得r=>/3,

所以圆锥的高为〃=,(26—(G)=3，

所以圆锥的体积是V=g乃x(6『x3=3;r.

故答案为：3万.

16.向量a=(3-机,2),分=(1,〃])，假设那么加=.

【答案】-3

【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.

【详解】解析：此题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.

因为2_1_石，所以3-加+2机=0,那么根=一3.

故答案为：-3.

四、解答题

17.向量a=(2,4),加=(-6,8).

(1)求“+石与£-坂的夹角：

⑵假设向量"满足"”£+4,[+£)〃人求"的坐标.

【答案】(1)邛37c

4

⑵卜,一｛|

【分析】(1)根据题意求出£+6，£5的坐标及模，再利用夹角公式求解即可；

⑵设"=(x,y),根据I_L0+W,&+£)〃),列出关于X，)’的二元一次方程组求解即可.

【详解】⑴•.•£=(2,4)3=(-6,8),.\£+^=(-4,12),.3-B=(8,Y),

+=.^(-4)2+122=4A/10,

设日+,与1方的夹角为e,

4

又・・・。目0,可,...6=半7r；

⑵设c=(x,y),那么"+£=(x+2,y+4),

因为c_L(a+B),(c+a)//坂,

x=-4

-4x+12y=0

所以解得，4，

-6(y+4)-8(x+2)=0y=--

3

18.在△ABC中，内角AB,C的对边分别为〃也c,且4=1c=>/2,cosC=一,

4

(1)求sinA的值

⑵求瓦的值

【答案】(1)巫;

8

(2)2.

【分析】(1)求出sinC,再由正弦定理直接求解即可;

(2)由同角三角函数根本关系及三角恒等变换求出cosB,再由余弦定理求出b,由数

量积定义求解即可.

【详解】(l)；cosC=[,；.sinC=且，

44

a=1,c=V2,

也

由正弦定理可得..asinC4后.

sinA=--------==-----

cV28

(2)・.・sinA=,a<c,「.COsA=^2L,

88

又a=l,c=6,

由余弦定理得力=Jl+2_2xlx及xcosN=2.

^^CB-CA=ahcosC=-.

2

19.复数z=/n[m+1]+(m2+m-2)i.

(1)假设z是纯虚数，求实数〃?的值；

(2)假设z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数，〃的取值范围.

【答案】(1)，*=0

⑵(0,1)

【分析】(1)根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；

(2)根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，

列不等式求解即可.

【详解】(1)假设复数是纯虚数，那么I"!""?)：。解得忆=0或%=—2且〃?Hl,

m手-2,所以%=0.

(2)复数z在复平面内对应的点位于第四象限，那么+解得0〈加<],故切

[加+加一2<0

的取值范围为(0,1).

20.圆锥SO的底面半径H=5,高4=12.

(1)求圆锥SO的母线长：

(2)圆锥SO的内接圆柱OO,的高为人，当6为何值时，内接圆柱00’的轴截面面积最大,

并求出最大值.

【答案】⑴13

(2)〃=6；最大值为30

【解析】(1)

•.•圆锥SO的底面半径R=5,高回=12,

...圆锥SO的母线长乙=J“2+R2=13；

(2)作出圆锥、圆柱的轴截面如下图，

其中50=12,04=08=5,OK=h(0<h<\i).

设圆柱底面半径为r，那么：=三?，即「/"一成.

51212

设圆柱的轴截面面积为s，=2M='(i2~2)=|[—①一ey+sekodiz).

...当〃=6时，S'有最大值为30.

21.AABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)假设0“+%=2c，求sinC.

【答案】(1)A=g；(2)sinC="+行.

34

【分析】(1)利用正弦定理化简边角关系式可得：b2+c2-a2=hc,从而可整理出cosA,

根据Ae(o,;r)可求得结果；(2)利用正弦定理可得©sinA+sin8=2sinC,利用

sin3=sin(4+C)、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函

数关系解方程可求得结果.

【详解】[1)(sin/?-sinC)"=sin2/?-2sinBsinC+sin2C=sin27l-sinBsinC

即：sin2+sin2C-sin2A=sinBsinC

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc

(2)•/y[2a+b=2cf由正弦定理得：V2sinA+sinB=2sinC

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=y

整理可得：3sinC-V6=VicosC

解得：sinC=回史或史史

44

因为sin3=2sinC-0sinA=2sinC——^〉0所以sinC＞如，故sinC="十、

244

(2)法二：•;yfia+b=2c,由正弦定理得：V2sin+sinB=2sinC

又sin7?=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=-1-

整理可得：3sinC-B=7icosC，即3sinC-石cosC=2Gsin[c-/]="

I—/八2-717171r-r-..「，冗K—7171

由(0,—-),C--6(~t所以C-TTUT,Cn7+T"

3