2023高考数学复习专项训练《平面向量的线性运算》(含答案)

2023高考数学复习专项训练《平面向量的线性运算》

-、单选题(本大题共12小题，共60分)

1.(5分)已知非零向量工b,下列说法正确的是0

A.若a=b,则|Q|=\b\

B.若2,b为单位向量，则或=b

C.若向>|匕|且征与b同向，则3>b

TTT7

D.|a+b|)|可+网

2.(5分)己知向量•=(1m),»=(X2),若。//b,则实数m等于

一日0

C.或D.0

asa),b=(―cosa,—)

3.(5分)已知322,s.a(tb,则锐角合的值

nn

A.8B.6

7171

C.4D.3

4.(5分)已知直线I上有三点4、B、C,0为矽卜一点，又等差数列｛即｝的前n项和为先,

若OA=(a1+ci3)0B+2ai()OC,则S[1=()

A.—B.3C.—D.—

422

5.(5分)已知工。是不共线的向量，AB=Aa+b,AC=a+nb,A,贝必1,

B,C三点共线的充要条件为0

A.a+〃=2B.a—〃=1C.川=-1D.A/z=1

6.(5分)已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2川，若a〃，则实数入的值为

2323

A.-3B.2C.3D.-2

7.(5分)己知点P(2,2),若圆。。一5)2+(丫-6)2="0>0)上存在两点4B,使

得赢=2AB,则r的取值范围是()

A.(0,5)B.(|,5)C.[1,5)D.[V5,|)

Q---——=1

8.（5分）设F是双曲线a二的左焦点,P是C上一点，线段P尸与虚轴的焦点

为8,且8是线段尸尸的三等分点，则C的离心率为

场夜妈日迷

A.2B.C.2或D.

9.（5分）己知0,48是平面上的三个点，直线A8上有一点C,满足

2就+而=00^

，则等于

201-0^-02+20^

A.B.

-oA--0^--0A+-0B

C.33D.33

10.(5分)设向量改=(1,4),b=(2,x),2=%+%.若不几,则实数%的值是()

A.-4B.2C.4D.8

11.(5分)已知向量a=(3,1),b=(—6,k),若a〃匕，则［=()

A.18B.-18C.-2D.-6

12.(5分)已知平面直角坐标系内的两个向量d=(3-2m),b=fi,m-2\且平面

内的任一向量都可以唯一地表示成？=历+"百兀”为实数，则实数M的取值范围是（）

A.(-*B.

C.(-8「2)U(-2.+8)D.(-86乂:+8)

-、填空题(本大题共5小题，共25分)

13.(5分)已知向量输=(2,6),b=(-U).若前,则入=.

14.(5分)已知a=(6,4),b=(-1,2),若@〃8,则实数4=.

15.(5分)化简：

⑴成+5C+CD=;

(2)而+BC+CD+DE+EF=;

⑶6-CB-AC=;

TTT

(4)力142+力2力3+',•+4九—1/171=.

16.(5分)如图，在平行四边形4BCD中，E和F分别是边CC和BC的中点，若成=

—>—>

XAE+RAF,其中，RER,则A+4=.

17.(5分)设向量a=(l「4),b=(—l,x),c=a+3b若2〃<:,则实数x的值是.

三、解答题(本大题共6小题，共72分)

18.(12分)如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形,AB〃DC,M,N分别是DC,AB

…一ASAS配八一就丽丽+前

的中点，已知=a,=b,=c，试用a,b,c表示，，.

19.(12分)设△ABC的内角4B,C所对边分别为a,b,c.向量拓=(a,—百匕)，n=

T—>

(cos?l,sinB),且m〃7i.

(1)求4的大小；

(2)若南=4，求cosC的值.

20.(12分)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知向量3又点4(8,0),

B(n,t),C(/csinO,t),0G/?.

(1)若MB12,fl.|AB|=V5|OA|,求向量dk

(2)若向量A与向量热共线，常数k>0,求/⑼=tsin®的值域.

21.(12分)设函数/(%)=VIsin2x+Zsidx-1.

(I)求函数/Q)的最大值和最小正周期.

(H)已知/ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若/(C)=2,CACB=3,

a+b=?,求边c.

22.(12分)设两个非零向量3与了不共线.试确定实数k,使kN+1和2+kl共线.

23.(12分)已知△ABC中，4=60°,AB=1,AC=4,AE=A/1C(O<A<1).

(1)求|康|的取值范围；

TTT

(2)若线段BE上一点。满足/D=灰丝+与)，求2+工的最小值.

\AB\\AC\〃

四、多选题(本大题共5小题，共25分)

24.(5分)下列说法中正确的是0

A.对于向量联，瓦京,有G•b)•”=鼠(b•W)

B.向量3=-er+2e2,b=5e^+7g能作为所在平面内的一组基底

C.设茄,曾为非零向量，贝广存在负数人使得蔡=总，是唱7<0”的充分而不必

要条件

D.在△4BC中，设。是BC边上一点，且满足后）=2而，CD=AAB+fiAC,则2+

〃=0

一一"•.

25.（5分）/ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足3a,

一・.

XC-3a*b,则下列结论中正确的有（）

T—一

A.。为单位向量B.bfBi

C.albD.（6a+b）1BC

26.（5分）已知△ABC的重心为G,点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是

A.AG+BG=CG

B.若族=：而+[£?,则△E4C的面积是AaBC面积的|

C.若AB=4C=2,BC=3,则/•公=乙

6

D.若4B=4C=2,BC=3,则当成•前取得最小值时，|以|=?

27.（5分）设向量输=（匕2）1=（1,一1）,则下列叙述错误的是（）

A.而的最小值为2

B.与1共线的单位向量只有一个为铮-苧）

C.若&<—2,则；与片的夹角为钝角

D.若向=2b,则/c=2企或一2企

28.（5分）（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是（）

A.a=rb=（k,8）,若tall-b,贝味=6

B.单位向量-i=（1,0）,tf=（0,1）,贝”3-i-4-7|=5

C.若鼠”二b・1且—c*t0,则-»a=->b

D.若点G为4ABe的重心，则TGA+TGB+TGC=T0

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】

此题主要考查向量的模，向量的基本知识的应用，命题的真假的判断，是基础题.

通过向量的模以及共线向量的关系，判断选项的正误即可.

解:4若Z=b,则向|=|b|正确；

对于B,单位向量的模相等，方向不一定相同，故B不正确；

对于C,若2,b满足向>闻且之与b同向，则Z>b显然不正确，向量不能比较大小，

故C错误；

对于。，向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量Zb,必有向+1|《向+

\b\,故。错误；

故选：4

2.【答案】C;

【解析】主要考查向量的坐标运算，共线向量的应用.

向量若则"=Z解得.

故选c.

3.【答案】c；

【解析】

利用两向量平行，则坐标交叉相乘相等，得出sin2d,然后求解.

**1.-13

a=(-t2sina),6=(-cosa,-)

解：因为322,且

131

-x-=2sinax-cosa

所以322,

即dn2a=1,

又a为锐角，

所以2aw(0,n),

2a=1

所以2.

即T

故选c.

4.【答案】A;

【解析】

根据点4、B、C是直线Lt不同的三点，得到存在非零实数入，使由=入京，可推出

0A=(1+X)OB-XOC,结合题意，根据平面向量基本定理得1+入=%+(13，-入=

2«10＞所以g=%+%】，最后用等差数列求和公式可得｛a"的前11项和.

本题以平面向量基本定理为载体，求等差数列的前11项和，着重考查了等差数列及其

前n项和和平面向量的基本定理及其意义等知识点，属于基础题.

解：•••点A、B、C是直线I上不同的三点，

・•・存在非零实数入，使/=入辰:，

即而一dX=M&-&)，则6\=(1+入)&一入&，

:若0A=(ax+a3)OB+2a10OC,

11+九=a1+,-X——2ciio,

,*•a1+cig+2a】o—1»

•••数列｛On｝是等差数列，

***2a2+2。]0—1,即Ja?+a1。=—=+a]],

.s=_11

11-2-4,

故选：A.

5.【答案】D;

【解析】

【分析】

本题考查向量共线充要条件.

若4、B、C三点共线，则向量晶与备平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列

式，即可找出使4、B、C三点共线的充要条件.

【解答】

解：•.•?!、B、C三点共线=而与公共线=几=比Q以

・•・-1=0.

:.=1

故选D

6.【答案】C;

南正-

【解析】根据A,B两点的坐标，可得=(3,1),：a〃，，2xl-35c=0J^^n=3^J^C.

7.【答案】C;

【解析】

此题主要考查了动点轨迹和圆与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题.

根据日1=2几的几何意义找出圆心C到直线的距离d与半径r的关系，利用直线ZB

与圆相交，得到O&d<r,再解不等式求得r的范围.

解：取48的中点。，则C0J.4B.

•••PA=2AB,则|PD|=5|/W|.

设|CD|=d,

则一"=5Vr2-d2.

•・・P(2,2),C(5,6),

2

A\PC\=(5—2)2+(6-2)2=25,

V25-d2=5Vr2-d2,得d2=g(r2-1).

v0<d<r,

所以。4**一1)<产，解得i<r<5.

故答案选：C.

8.【答案】C;

【解析】这道题主要考查双曲线离心率的计算，利用点的关系求出B的坐标是解决本题

的关键，注意进行分类讨论.

因为所以设&Ob),因为B是线段尸F的三等分点，所以

B?=3=~3F?.

X=-(x+c)

科二；用则G,y-b)=；G+c,y),则3]

设外幻T),若Iy一0=£),解得

p(^,~--3=V==V13;

-2),因为PB在双曲线上，所以23〜*T▼若

.?一

2(X=；(X+t)

B?=W(x,y-b)=-(x+c,y)/M2

(y_b=：y解得

P(2c,3b),因为P在

双曲线上，所以

9一千一二三二黄=--二二的离心率为1或不故选c.

9.【答案】A;

【解析】

10.【答案】D;

【解析】

该题考查向量的坐标运算，以及平行向量的坐标关系.

可先求出c=(3,4+x),根据a〃c即可得出4+x—12=0,解出工即可.

解：c=a+b=(3,4+%)；

va//c；

A44-X-12=0；

***x=8.

故选：D.

11.【答案】c；

【解析】

该题考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系.

根据;帚即可得出3k+6=0,解出k的值即可.

解：,.•％///);

■1•3k+6=0；

•••k=-2.

故选：C.

12.【答案】D;

【解析】略

13.【答案】-3;

【解析】

此题主要考查向量的平行的坐标表示.

根据两向量平行的充要条件解答即可.

解：因为向量而(2,6),6=(-1,X),a//b,

所以2入—(—6)=0,

解得入=-3.

故答案为—3.

14.【答案】-12;

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量平行的条件，属于基础题.

利用向量平行的坐标关系，列出等式求解即可.

【解答】

解：a=(6,A),b=(—1,2),

若Z//1,则6x2-;1x(-1)=0,解得;1=一12.

故答案为-12.

15.【答案】⑴筋;(2)后;(3)3(4)4入；

【解析】

此题主要考查了向量加法、减法运算，属于基础题.

根据向量加法、减法运算法则进行运算即可.

解：(1)6+辰'+而=AD

(2)AB+BC+CD+DE+EF=AF

(3)AB-CB-AC=AB+BC+CA=0

(4)/遇2+A2A3+…+An-lAn=AlAn-

故答案为：ADfAFfOfA^An.

16.【答案】右

【解析】

此题主要考查平面向量基本定理，向量的线性运算等知识，属于基础题.

设=乙AD=b,先用工：表示出星AC,根据/：=4族+也5唧可求出〃,

人从而得解.

解：设48=a,AD=b,则ZE=：a+b,AF=a+1b.

又AC=a+b,二AC=|(4E+4F),即4=〃=|,,1-A+^=|.

故答案为：g.

17.【答案】4;

【解析】主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算.

Q=(1.,-4),b—(―1..V),c=a+3b=.(—2,3A—4)/.*a||c,

1x(3x-4)=-4x(-2),解得x=4.

.元=筋+近+配

18.【答案】=-a+b+c.

..5LV=诟+曲一大

・,

乂=-2=入、=-=-b,**a,

Mf)=：；

-a-b-~c.

而+丽=询+而+南+碇丽

=2=a-2b-c.;

【解析】

19.【答案】解：(1)因为m=(Q,—g匕)，兀=(cosAsinB),且m〃蔡.

所以asinB+\[3bcosA=0.

由正弦定理得sinAsinB+y/3sinBcosA=0.

因为BE(O,TT),所以sinB>0,所以sin4+遮cos4=0(*).

当4=1时，(*)不成立；

当力中卯寸，整理(*)得tan4=-V3,

而A6(0,7T),所以4=y.

(2)因为南=斗，所以cos27l+siMB=/

而4=拳所以(一乎+sin2F=j.

又sinB>0,解得sinB=—.

6

因为z=—,所以Be(0,7).所以COSB=V1-sin2S=—.

336

因为+B+C=7T,所以cosC=COS(y—B),

TCTC

=cos—•cosB+sin—•sinB

33

=3x虚+在X逅=5.

262612,,

【解析】本题涉及的考点有两个向量平行的坐标公式、向量模的坐标公式、正弦定理、

三角形内角和定理及两角和差公式等，属于中档题.

(1)利用向量平行的坐标公式得到边角混合的方程，再由正弦定理化边为角得到目标的

方程求解出目标；

(2)由向量模的坐标公式得关于B的三角方程，解出B的正余弦，注意角的范围定三角

值的正负，再由内角和定理将所求目标转化到8后求解.

20.【答案】解:(1)AB=(n-8,t),VAB±a,K|AB|=V5|OA|,A-(n-8)

+2t=0,V(n-8)2+t2=8V5,

解得t=±8,t=8时，n=24；t=-8时,n=-8.

向量&=(24,8),(-8,-8).(2)AC=(ksinO-8,t),

(2)..•向量品与向量之共线，常数k>0,，t=-2ksin0+16,

；.f(0)=tsin0=-2ksin20+16sinO=-2k(sin0—

①k>4时，OV「V1,.飞访总时，f(。)=tsin9取得最大值年,

kkk

sinO=-l时，f(0)=tsin0取得最小值-2k-16,此时函数f⑹的值域为［—2k—16,高.

②4>k>0时，7>1.；.sin0=l时，f(0)=tsin0取得最大值-2k+16,

sin0=-l时，f(G)=tsin0取得最小值-2k-16,

此时函数f(9)的值域为［-2k-16,-2k+16］.;

【解析】

(1)AB=(n-8,t),由且|口|=VK|6k|,可得一(n-8)+2t=0,

7(n-8)2+t2=8V5,联立解出即可得出.

(2)AC=(fcsin6-8,t),由向量辰与向量2共线，常数k>0,可得t=—2ksin9+16,

/(0)=tsinG=-2ksin20+16sin0=-2k(sin0-y+茬对k分类讨论，利用三角函数

的值域、二次函数的单调性即可得出.

该题考查了向量共线定理、模的计算公式、三角函数的值域、二次函数的单调性，考

查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(I)函数f(x)=V3sin2x+2sin2x-1

=V3sin2x-cos2x=2sin(2x--),

6

函数f(x)的最大值是2,

最小正周期为T=@=兀；

(0

(II)△ABC中，由f(C)=2,得2sin(2C--)=2,

6

Asin(2C-)=1,

6

.\2C--=^2k7t,kez,

62

解得C=g+k兀，kez,取C=全

由4•&=3,得abcosg=3,

/.ab=6；

又a+b=?,

2

/.a2+62=(a+b)2-2ab=(y-)2-2x6=^,

由余弦定理得：

。2=。2+廿_2abeosC=%x6x工竺，

424

所以c=£;

【解析】

(I)化函数/(X)为正弦型函数，求出/(X)的最大值和最小正周期；

(II)由f(C)=2求出C的值，由&,&=3求出ab的值；

再由a+b=£,利用余弦定理求得c的值.

此题主要考查了平面向量的数量积与三角函数的化简和解三角形的应用问题，是综合

题.

22.【答案】解：因为kZ+Z与；+共线，

所以存在实数；I,使总+片=4@+京)(4<0),

所以所以k=±l.

故当k=±l时，两向量共线.

【解析】

非零两向量以、b共线的条件是存在实数九使或=4b,由此可得解法.

23.【答案】解：(1)根据题意，BE2={AE-AB)2=-AB)2=A2AC2-2XAC-

—>—>

AB+AB2

—16%-4A+1=16(2—

因为ova<1,根据二次函数性质可得薪2£[|,13),

所以的取值范围为[串辰)；

(2)由题可得：AD=iiAB+^AC=nAB+^AE,

因为B、E、。三点共线，所以〃+三=1故工=1+5，

所以；1+工=4+^+1》2当且仅当；I=；时等号成立，

fl4A2

所以2+；最小值为2,;

【解析】此题主要考查平面向量的模以及利用基本不等式求出最值，属于中档题.

(1)根据题意晶=族-易，两边平方可得关于的二次函数，进而求出|靛|的取值范

围；

(2)根据B、E、。三点共线，可得;=1+W，利用基本不等式可求2+；的最小值.

24.【答案】BCD;

【解析】【分析】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量

运算性质是解决本题的关键.难度不大.

A.向量数量积不满足结合律进行判断；B.判断两个向量是否共线即可；C.结合向量数

量积与夹角关系进行判断；。.根据向量线性运算进行判断.

【解答】

解：4向量数量积不满足结合律，故4错误，

B.假设向量：与％共线，则存在唯一实数；I,使得％=41，

所以+2届=5Ae^+lXe2,即(54+1)3+(7A-2)届=0,

所以出+JU，则方程组无解，

所以向量：=—3+2■工=5益+7扇不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B正

确，

C.存在负数4,使得m=则?n与n反向共线，夹角为180。，此时m-n<0成立，

当益•蔡〈()成立时，则就与装夹角满足90。ve4180。，则薪与蔡不一定反向共线，

即“存在负数人使得薪=a於是“薪•n<0”的充分而不必要条件成立，故C正确，

D.由CO=：C8得CO=-“C,

则4=I，〃=一|,贝iU+〃=L=0,故。正确.

故正确的是BCD,

故选BCD-

25.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查了向量共线，垂直，向量的数量积公式的运用；属于中档题.

注意：三角形的内角与向量的夹角的关系，由题意，知道3=b=BC,根据已

知三角形为等边三角形解之，

解：因为已知三角形ABC的等边三角形，a,b满足AB=30verrightairowa,

所以|30verrightarrowq|=|AB|=3,所以同=1所以a为单位向量，故4正确；

TTTTTT

又因为AC=30vcrrightarrowa+b,又AC=AB+BC=30verrightarrowa+b,

Ab=BC,故土靛共线，故B正确

所以a=AB,b=BC,所以|b|=3,a.b=1x3xcosl20°=—|。0,故C错；

->TT

60verrightarrowa,h=6xlx3xcosl20°=—9,b2=9,所以Goverrightarrowa•b4-

—>—>—>

b2=0,BP(40verrightarrowa+&).6=0,

BP(60verrightarrowa+b~)-BC=0,所以(60verrightarrowa+h)1BC,故。正确，

故选ABD.

26.【答案】BCD;

【解析】

此题主要考查向量的线性运算、向量的数量积的运算律、平面向量的基本定理，余弦

定理，属于中档题.

由重心的性质以及平面向量的基本定理可分析4,得出E为边BC上靠近点B的三等分点

可分析B,由余弦定理得cos4=-J,结合平面向量的数量积运算可分析C,先由余弦

定理得cos乙4BC=：,通过平面向量的数量积运算以及二次函数的性质，得出或•曲

取得最小值时I晶|的大小，即可求解|以|,可分析0.

解：设4B的中点为D,则0+总