函数奇偶性的复习教案人教课标版1

《函数奇偶性的专题复习》教案

一奇偶函数的概念

.奇函数：对于函数()的定义域内任意一个，都有(一)一()(或()(-)),

则称()为奇函数.

.偶函数：对于函数()的定义域内任意一个，都有(一)()(或()-(-)),则称()

为偶函数

、函数奇偶性定义的几点说明

()判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：/(%)+/(-%)=0,上竺=±1

/(f)

()如果函数。是奇函数或偶函数，那么我们就说函数。具有奇偶性

()偶函数(奇函数)的定义中“对内任意一个，都有一C,且(一)=()((一)=一())"，这表

明(一)与()都有意义，即、一同时属于定义域.因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对

称的.也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.

()存在既是奇函数又是偶函数的函数，即()=,e,这里定义域是关于坐标原点对称的非

空数集.

()函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数

又不是偶函数.

【经典习题解答】

、下面四个结论：①偶函数的图象一定与轴相交；②奇函数的图象一定通过

原点；③偶函数的图象关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是

0(G),其中正确命题的个数是().

.2C

分析：偶函数的图象关于轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误_

奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确一

若()既是奇函数，又是偶函数，由定义可得()，但不一定G,如例中的0,

故④错误，选一

说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零

.已知()=+是定义在［一，2目上的偶函数，那么+的值是

、若奇函数。的定义域为{<>},则的值为……()

解析V=VVoVV2a,

又()为奇函数，，2a=.

答案

.二次函数丁=a?+6%+。是偶函数的条件是答案：b=0

二、判定奇偶的方法

函数奇偶性证明的步骤

O首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称;

()确定(一)与()的关系；

()作出相应结论：

【经典习题解析】

、判断下列函数的奇偶性

/1+XX2+x(x<0)

—X9+X(x>0)

]/-------/-------J]_r2

⑶/(%)=x—(4)/(x)=V1—x2-Vx2—1(5)/(x)=।----；~-

xx+3-3

］+九

解：()由120,得定义域为［—1,1),关于原点不对称，・・・/(x)为非奇非偶函数

1-%

()当X<0时，>0,则f(-X)=—(―X)~—X——(X-4-X)=-f(X),

当x〉0时，-Xv0,则/(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x),

综上所述，对任意的X£(TX),+8),都有/(r)=—/(x),・・・/(x)为奇函数

()奇函数

O.•.()是偶函数.事实上函数的定义域为{,},将/(X)=J1—V力/―1

化简得。，0既是偶函数，又是奇函数.

()奇函数

•已知函数。在上同时满足条件:①对于任意G都有()=()()；②当〉时0〈，则函

数。在上()

.是奇函数且是减函数.是奇函数且是增函

数

.是奇函数且不具有单调性.是偶函数且不具有

单调性

解析：•；、J有()=()(),

令=,

/.0=00.

/.00=0.

又()=()(),

0=.

•**0=0.

取〈，则0=。。=。()<,

()<().

•••。在上是奇函数且是减函数.

答案

、函数()，W,若对于任意实数，都有(+)+(-)=2/•()().试判断函数=()的奇偶性

•解：•.•对于任意实数，都有

•(+)+(—)=2f()(),

,.,.令=,—,得

•()+(-)=2/()0①

,令=,=,得

•()+()=2/()0②

•由①②得，(一)=(),

•.•.=()为偶函数.

三、奇偶函数的性质

()具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称

()奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.

()若奇函数的定义域包含数，则。.

()定义在(一8,8)上的任意函数()都可以唯一表示成一个奇函数与一个

偶函数之和.

()奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反

【经典练习】

、设函数/(x)为定义在R上的偶函数，且/(x)在[0,+8)为减函数，则(-乃),/(3)

的大小顺序

.若奇函数()在=处有意义，则0是什么？

【提示】由奇函数定义，(一)=一()，贝|](一)=一()，.•.()=.

.已知。是偶函数，且其图象与轴有个交点，则方程。=的所有实根之和

为…()

解析：•••()是偶函数,

其图象关于轴(=)对称.

•.•。的图象与轴有个交点，

.••若为0=的一个根，则也必为方程的一个根，即方程的四个根两两互为相反数,

故四根之和为零.答案

・设奇函数/(x)在(0,+8)上为增函数，且/(1)=0,则不等式“X)―/(—X)<0的解集为

X

()

.(—1,0)(1,+00).(—00,—1)(0,1).(-00,-1)(1,4-00).(—1,0)(0,1)

答案：

四、奇偶函数的运用

()利用奇偶求解析式

、已知/(x)是R上的奇函数，且当xe(0,+oo)时，/(x)=x(l+也)，

x(l+加),％20

则/(x)的解析式为/(%)={

X(\—y/x),X<0

、已知/(X)是定义域为R的偶函数，当〉时，()(一)，求〈时，()的解析式.

•已知奇函数。在〉时的表达式为。，则当刘，有()

0()>0(X

()。。<000>

例.设()是定义在上的奇函数，当〉时，f(x)=lg(x+l)-2x2+lo试求此函数的解析式。

解：()当=时，f(0)=f(-0)=-f(0),于是f(0)=0；

()当<时，-x>0,则/一*)=馆(一*+1)-2(-*)2+1,由于0是定义在上的奇函数，则

f(x)=-f(-x)=-lg(-x+l)+2x2-1

此函数的解析式为

-lg(-x+l)+2x2-l(x<0)

f(x)=-0(x=0)

x3-2x2+l(x>0)

例.设xe(—L1),()是奇函数,()是偶函数,f(x)+g(x)=2x-lg(l+x),求()的表示式。

解：()是奇函数，有f(一x)=-f(x)；()是偶函数，有g(-x)=g(x),则

f(x)+g(x)=2x-lg(l+x)

f(-x)+g(-x)=2(-x)-lg(l-x)

|f(x)+g(x)=2x-lg(l+x)

[-f(x)+g(x)=-2x-lg(l-x)

两式相减得f(x)=2x+-Ig(L^)

21+x

例7、已知函数/'(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义R上

的偶函数，且/(x)-g(x)=l-九2-/

求g(x)的解析式

分析：由/(尤)为奇函数，g(x)为偶函数

目/(x)-g(x)=1-X2-X3...(1)

所以/(-X)-g(-X)=1-X?+X，

即一/(x)-g(x)=1-x2+x3...(2)

(1)+(2)得:g(x)=f_i

例.设()为定义在上的偶函数，当W一时，()的图象是经过点(一，),斜率为的射线，又

在()的图象中有一部分是顶点在(，)，且过点(一，)的一段抛物线，试写出函数()的表达式，并

在图中作出其图象.

命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对

分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目.

知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.

错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.

技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.

解：()当W—时，设()

:射线过点(一，).，一即，••.().

()当一《时，设().

•抛物线过点),；.•(一),即一

；•()一.

()当，时，()一

X+1,X<-1

综上可知：()<2-x2,-l<x<l作图由读者来完成.

-x+2,x>1

例..(★★★★★)已知函数()是定义在上的周期函数，周期，函数()(一WW)是奇函数，又

知()在［，］上是一次函数，在［,］上是二次函数，且在时，函数取得最小值，最小值为一.

()证明：()()；

()试求()2口的解析式；

()试求()在［,］上的解析式.

解.()证明：•••()是以为周期的周期函数，.•.()(一)(一),又()(一WW)是奇函数，••.()一(一)一

(),•••()().

()解：当G□时,由题意，可设()(一)—(#),由()()得(一)一(一)一，解得,，()(一)一(WW).

()解:WW)是奇函数，.,.()一(一),.,.(),又()(WW)是f次函数，.,.可设o(ww),•.•()(—•)

—，又()•，；.一....当WW时，()，当一W〈时，()一,当WW时，一W—W,.♦.()(一)

—3x+15(4<x<6)

()(-)E(-)-l

2(X-7)2-5(6<x<9)

O利用奇偶性求函数值

【例】已知/0)=丁+0^+力％一8且/(-2)=10,那么/(2)=。

【解析】设F(x)=/(x)+8,则F(x)=/+"为奇函数，

于是有尸(―x)=—F(x),从而有/(—x)+8=—"(x)+8］，

即：f(-x)+f(x)=-16.

令x=2,得/(—2)+.f(2)=—16,又/(—2)=10,

故/⑵=一16—10=—26。

设/(x)是(-00,+8)上的奇函数，/(%+2)=-/(%),当04x41时，.f(x)=x,

则/(47.5)等于()

..-0.5.-1.5

答案：

变式训练：(安徽)函数“X)对于任意实数%满足条件〃尤+2)=一若41)=—5,

f\x)

则“"5))=。

解：由〃x+2)=看得〃x+4)="^=/(x),所以〃5)=/⑴=一5,

/(x)小+2)

则/(〃5))=/(—5)=/(-1)=-4-T7=-。

.(山东理)设()为定义在上的奇函数，当，时，()2,(为常数)，则()()

0000

答案：

【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=2°+2x0+b=0:解得b=-L所以

当x之0时，f(x)=2x+2x-l即f(-l)=-f⑴=-(21+2、1-1)=3故选口.

【命题意图】本题考查函数的基本性质:熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.

例.设()是定义在上的偶函数，且0(一),当一WW时，()一,，则()

2

(第八届希望杯高二第一试题)

解：：()是定义在上的偶函数...是()对称轴；

又♦.♦()(一)...也是0对称轴。故()是以为周期的周期函数，.••()()()(-)

例.设。是定义在上的奇函数，且。一()，当WW时，()，则()()

0()-00-

解：•••()是定义在上的奇函数，.•.点(，)是其对称中心；

又•••()-0(-),即()(一)，.•.直线是0对称轴，故()是周期为的周期函数。

•'•()(-)(-)-()—故选。

例.设f(x)=a''+b」ogc(x++l)+x2(其中为常数)，且f(—2)=5,试求()的值。

2

解：设g(x)=^~”一+b-logc(x+Vx+1),易证。是奇函数，故

g(-2)=-g(2),f(x)=g(x)+x2

工Jf(—2)=g(-2)+4⑴

1f(2)=—g(—2)+4(2)

两式相加得:f(2)=8-f(-2)=8-5=3,即f(2)=3

()利用奇偶性比较大小

【例】已知偶函数/(X)在(一8,0)上为减函数，比较/(—5),/⑴，/(3)的大小。

【解析】；偶函数/1)在(—8,0)上为减函数，

二/(x)在(0,+8)上为增函数，又•.F〉？〉1,二/(5)>/(3)>/(I)

又/(5)=/(-5),.-./(-5)>/(3)>/(1)0

例.定义在区间(一8,十8)上的奇函数/"(X)为增函数，偶函数g(x)在[0,

+8)上图象与/'(X)的图象重合.设a>6>0,给出下列不等式，其中成立的是()

①/'(6)—f(一a)>g(a)-g(一b)

②f(6)-f(-a)<g(a)-g(一6)

(3)/(a)—f(—6)>g(6)—g(—a)

④f(a)-f(-6)<g(6)-g(-a)

4①④B.②③C.®@D,②④

分析：本题可采用三种解法：

解法一：直接根据奇、偶函数的定义：

由/'(x)是奇函数得：

f(―a)=—f(a),f(—=-f(Z>),g(a)=，(a),g(6)=

fib),g(—a)—g(a),g(—/>)—g(/>)

以上四个不等式分别可简化为①f(6)>0；②/'(6)V0；③F(a)>0；

@f(a)<0

又；f(x)是奇函数又是增函数，且a>6>0,故/=

0,从而以上不等式中①、③成立.

故选C

解法二：结合函数图象

由如图(右图)，分析得:

f(a)—g(a)—g(—af(—a

f(b)=g(Z>)=gC—bf(—b

从而根据所给结论，得到①与③是正确的.

故选C

解法三：利用间接法，即构造满足题意的两个模型函数

f(X)=X,(X)=|X\,

取特殊值a,6.如：a—2,6=1,可验证正确的是①与③,

故选C.

评述：()本题考查了函数的奇偶性和单调性等性质，还考查了图象的对称性和不等式，

体现了高考突出重点知识的考查及在各知识网络交汇点上出题这一观点，函数的奇偶性是其

相应图象的特殊的对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及

其性质的相互转化，这是对称思想的应用；

()利用奇偶性讨论函数的单调性

【例】若/(》)=(上一2)一+(左一3)》+3是偶函数，讨论函数/(x)的单调区间。

【解析】/(%)是偶函数，A/(-%)=/(%)，即

(左一2)f—(左一3)x+3=(A-2)x2+(k—3)x+3,

:.k=3,.•J(x)=x2+3,在［0,+8)上为增函数，在(-oo,0)上为减函数。

()利用奇偶性求参数的值

【例】定义在上的偶函数在(—8,0)是单调递减，若f(2a2+a+l)<f(3a2-2a+\),

则a的取值范围是如何？

【解析】偶函数/(x)在(-00,0)是单调递减，，函数/(x)在(0,+oo)上单调递增，

>197

・・・2Q2+2a+1=2(。+/+京>o，

I2

22

又•.•3/-2a+l=3(a-§)2+->o,/(2a+a+\)<f(3a-2a+Y),

2a2+a+1<3a2-2a+1,解得a>3或a<0。

例.定义在(一1,1)上的函数f(X)是奇函数，并且在(一1,1)上f(X)

是减函数，求满足条件f(1—a)+f(1—a2)<0的a取值范围.

分析：考查函数的奇偶性与单调性综合性的问题需要两个重要性质熟练把握.

解：：f(x)的定义域是(一1,1)

-1<1-a<1①

-1<1-a2<1②

又■f(x)是奇函数

/.—f(1—a)2=f[―(1—a')]=f(a2—1)

又：/■(l-a)+/'(l-az)<0,

有/'(1—a)<—/(I—a2)=f(a2

：f(x)在(-1,1)是减函数，

1—a>a*—1③

由①②③组成不等式组：

-1<1-cz<1

--1<1-4<1得。<。<1

\-a>cr

二所求a的范围为：0<aVl

评述：研究有关函数问题时，不考虑函数的定义域是出现错误的主要原因.

例.已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数，当*£[0,2]时，f

(x)是减函数，如果不等式f(1-m)<f(m)成立，求实数m的取值范围.

分析：此题关键是如何去掉函数符号“6’，与分类讨论思想的应用.

解：；f(x)在[0,2]上是减函数，在[—2,0]上是增函数，故分类可得：

,、—2<1—m<0[1<m<3

()当q：\

-2<m<0[—2<m<0

得me。，故此情况不存在.

0<1—zn<2

()当<

[O<m<2[0<m<2

得0WmW1

•・・F(x)在［0,2］上为减函数

.*•f(1—m)<f(m)可转化为1—m>m

1

♦・m<一

2

**•0WmV—

2

0<1—7?2<2-1<m<1

()当《

—2<m<0-2<m<0

得一1WmW0

v/(l-777)=/(m—1)

：.fCY-277)<f(m)可转化为f(m-1)<r(m)

・・・F(x)在［-2,0］上是增函数

:.m—1<m.\—1WmW0

八-2K1—mKO[1<m<3

0当1/J

O<m<2[0<m<2

得1WmW2

・・・0Wm-1W1

f(1—777)=f(m—1)

/./(1—777)</(m)可转化为f(777—1)</(777)

・・・f(X)在[0,2]上是减函数

m—1无解

综上所述，满足条件的实数m

2

评述：以上例中，将1一m与m放在同一个单调区间内是解题的又一个关键.

注意：此题若利用偶函数的性质"/(Ix|)=f(x)”能否使问题变得简化些呢？

请读者试探下去！

例设函数()是定义在上的偶函数，并在区间(一8)内单调递增，(2”)<(3。-2”).求的取值范

围，并在该范围内求函数(上尸-3间的单调递减区间.

2

命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定

方法..

知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.

错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过

本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.

解：设<<，则一<—<,；()在区间(一8)内单调递增，

•••(-)<(-),•••()为偶函数，••.(一)0(-)0,

.••()<().；.()在(，8)内单调递减.

1712

又2Q2+4+1=2(4+^)2+w>0,3a2-2«4-l=3(tz--)2+->0.

Etj(24)<(3a—2。)得：2〃>3〃-2a解之，得<<.

35

又一3。(一—.

24

函数的单调减区间是13,81

22

结合得函数(3)『-3"+1的单调递减区间为［』，］.

22

()利用奇偶性求代数式的值

【例】已知(x+2y)s+/+2x+2y=0,求x+y的值

【解析】已知条件可变形为(x+2y)5+(x+2y)=—(/+x)....()

根据()式的结构特征，可构造函数/“)=/+，

/■(♦)=/«)，・•・/«)是奇函数。

v()式可写成f(x+2y)=—/(x)==(-x)......()

又•••/(，)是增函数，由()式有尤+2y=-x，/.2x+2y=0,二x+y=0。

O利用奇偶性解方程

【例】在实数范围内解方程行R+30l+3x+4=0

【解析】原方程可化为：V^+l+U+l)+V2x+3+2x+3=0......()

令x+l=r,贝ij()式变形为人+/+必2，+1+(2/+1)=0......()

设/«)=肪+乙则()式可变形为/(f)+/(2f+l)=0,.•./(2/+1)=-/。)，

函数/(r)是奇函数，/(2f+1)=/(-/),

114

又・.•/⑺是增函数，.•.2，+1=一，，.・.£=—§,.••X=［-1二一］-1二一］。

4

原方程的解为元=一一O

3

例.解方程：―2x+*+'==2-1)2

x2+l+7(x2+l)2+l

两边取以为底的对数得

2X+A/4X2+1

log

2X2+1+7(X2+1)2+1

22222

BP1og2(2x+A/4X+1)-1og2(x+l+yj(x+1)+1)=x-2x+1

22222

即log2(2x+A/4X+1)+2X=log2(x+1+7(x+l)+l)+(x+1)

构造函数(x)=log2(x+而工1)+x

于是()=(+)易证：()为奇函数，且是上的增函数，所以：=+

解得：=

评析：本题构造函数，巧妙运用函数奇偶性和单调性来解决方程问题。

()判断函数图像的对称性

例(湖南理).设/(x),g(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，当x<0时，

八》)8")+八加3>0,且8(-3)=0,则不等式/(幻8。)<0的解集是()

.(一3,0)53,+8).(-3,0)u(0,3)

.(-8,-3)53,+8).(-8,-3)50,3)

评析：结合新知识导数的应用与函数的性质在其交汇处知识重构，画出函数草图。()是奇函

数，()是偶函数，所以()()是奇函数。由题设知当〈时，()()的导数值大于，故此时函数()()为

增函数，结合己知条件及奇函数的图象关于原点对称,可画出函数草图，选出正确答案。

例.(上海)设奇函数。的定义域为［一］.若当e口时，

。的图象如右图，则不等式。〈的

解是(一)U().

分析：根据函数的奇偶性作出图象。由图象易知

不等式的解集是(—2,0)U(2,5］

例.已知函数()在(，)上是增函数，()是偶函数，则下列结论正确的是()

、/(I)</(|)</(1)、/(1)</(D</(1).

、/(<)A

解：()是偶函数()关于对称()在(，)上是增函数，如右图，由

图可知距越近，函数值越大，所以答案选

()求最值

例.若奇函数fQx)在区间［3,7］上的最小值是，那么f(x)在区间［―7,

—3］上()

/.最小值是.最小值是一5

C.最大值是一5.最大值是

分析：用定义去求：

可设x为［-7,—3］上任意一个值，则一xG［3,7］,由题意f(-x)》5,

由于f(x)是奇函数，所以，有/■(—x)=-f(x),则一f(x)25,得f(x)

W—5,故，-5为/1(*)在［—7,—3］上的最大值，故选C.

评述：()由于奇函数的图象关于原点对称，故可通过作出图象也能得出答案C；

()从以上例可以体会到从定义及图象两个方面去理解函数的奇偶性，体现了数与形的

统一.

请读者试探索：如果偶函数/'(x)在区间［3,7］上是增函数，且最小值是一5,那

么f(x()

4增函数且最小值为一5

.增函数且最大值为一5

.减函数且最小值为一5

.减函数且最大值为一5

答案：C

例.已知函数()定义域,为对任意的为eR都有(为+无)(Xl)+/(x2)且>时()〈()试

判断在区间［-3,3］上0是否有最大值和最小值?如果有试求出最大值和最小值，如果没有

请说明理由.

解:令为％2,则()()()••・()，令为，总则()()().・，()()，.•・()为奇函数・

设%।，％2e穴，且M<%2，则XiX,>，Xi)(Xi)(Xi)(Xi)(XiXi)<>'1-(%2)<(Xi)，()在上

为减函数.又(),溉()()()()3f()()(),又()在［-3,3］上为减函数，故当时，/(x)imx=/(-3)=6,当

时，/(*=%3)=-6

O有关不等式

例.解不等式(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)+(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)>120

解：iSf(x)=(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)+(x+l)(x+2)(x+3)(x+4),因f(-x)=f(x),则()

是偶函数，即()的奇数次方为，可设f(x)=2x4+Ax?+48,以=代入，得

2-14+A-12+48=(1-1)(1-2)(1-3)(1-4)+(1+1)(1+2)(1+3)(1+4)

解得=,即f(x)=2x4+70x2+48,原不等式可化为:

2x4+70x2+48>120

即+35x2_36>0

即(X?+36)(x2-1)>0

因而x2>1,x<-4或>

例.函数()(#)是奇函数，且当G时是增函数，若

0,求不等式尤—g)］<0的解集。

解：由函数()是奇函数且当G时是增函数，可得0的

图象形状大致如右图，()()

①若x(x-；)〉0时，•••/［九—>⑴

.".<X(X--)<1解得：1—后<x<0或

22

1i+Vn

—<X<

22

②若x(x-；)<0时，/[x(x-1)]</(-D

解得：G<|>

所以：匕晅一<0或1—<上姮

222

例、设0是定义在区间口上的函数，且满足是条件：(I)()();()对任意的G口，

都有I()()IW||()证明：对任意的G口，都有W()W;()证明：对任意的w

U，都有I()()IW()在区间［,］上是否存在满足题设条件的奇函数0,且使得I()()I<

II，当C「|；I()()III,当e|］若存在，请举一例，若不存在，请说明理由。对于第()

问，由于当w口时，WWWW,且()，故由已知条件0可推出I()II()II()()IWII,故有

W()W对于第()问，要证明对任意的6口，都有|()()|W,由于I()()IWII所以当

IIW时，有I()()IWIIW,困难在于当II>时呢？由于右口，所以当II>时，

由数轴图示，不可能同属于［,］或［,］,也就是说必有•〈即一个在(］中，另一个在［,)中。不

妨设<,则当有〉，且。所以有I()()II000()IWI()()||()()||()()||()()IWI

()III()<综上可知，对任意的e［］,都有1()01<这里，用到了绝对值不等式的

性质IIIIWI±IWIII1(G)(III)假设存在函数()满足条件，即它是奇函数且

使得I()0IVII,当£口；I0()III,当可］则由I()0III，w口得I()()III

又因为0,所以上式即()①又因为()是奇函数，e［］,即()有意义，所以有()再由条件

I()()I<II,何］,得I()()I<II,即I()I<②①与②矛盾，所以假设不成立，即这

样的函数不存在。故满足所述条件的函数不存在。本题仍然是抽象函数问题，给人

感觉有高等数学中研究函数变化率的背景。()()0,表示函数图象与轴交于(，)和(，)两点;

()对任意的景口,都有I()()IW||,变形得|(()())()IW,即W(()())()W；(()())()的几何意

义是()图象上两点(())、(())连线(割线)的斜率，故()表示。图象上任意两点之间连线的斜

率都介于与之间，因此，()的图象应位于菱形(正方形)||

IIW的内部，且I()II00IW||由图可知，()成立，

即W()W是显然的。在()成立的条件下，()在［,］和［,］上应

是两条线段，当土时，I(±)I;而在口上，由()又推出I(+)I<,同一点处的函数值应是唯

一的，这个矛盾是假设引出，故这样的函数()不存在。我们可以构造出满足()()的函数，

如()(II),它满足()()，对任意的《[],I()()II(II)(IIIIIIII<II<IVI,

但()不是奇函数。本题的第()问尚属容易，但()、()两问需要较高的理解能力与变形

能力，困难较大，可以拉开不同水平的学生的层次，有利于重点高等学校选拔选拔高水平的

学生。此题综合考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题

的能力，也是一道具有研究性背景的好题目。

()在二项式的展开式中的应用

23236665

例.若(1+2x+3x-4X)"(1-2X+3X+4X)"=a66x+a65xH—4-a,x+a0，求a6s+a1

的值。

解：设f(x)=(l+2x+3x2-4x3)”(l—2x+3x2+4x3)”,则()是偶函数

66

则f(x)=a66x+a65x65+..-a山+a()的奇数次方的系数

a

365=63=---=a3=a,=0

则a65+a,=0

五、函数奇偶的综合运用于

.已知函数/(幻对一切都有/(x+y)=，(%)+/(y),

()求证：/(九)是奇函数：()若/(一3)=〃，用a表示/(12)

解：()显然/(幻的定义域是H,它关于原点对称在/(1+丁)=/(幻+/(丁)中，

令y=得/(0)=/(x)+/(—),令x=y=0,得/(0)=/(0)+/(0)，

.../(0)=0,.../*)+/(—x)=0,即/(—x)=-/(x),.../(x)是奇函数

O由/(—3)=a,f(x+y)=f(x)+f(y)及/(x)是奇函数,

得/(12)=2/(6)=4/(3)=-4/(-3)=-4a

.设a为实数,函数/'(x)=/+|+1,xeR

()讨论/(%)的奇偶性；()求/(%)的最小值

解：()当。=0时•，/(r)=(_/)+I—X1+1=/(X),此时/(X)为偶函数；

当aw()时，f(a)—f(—a)-cr+2\a\+\,

/(-«)*/(a),/(-a)R-/(«),

此时函数/(X)既不是奇函数也不是偶函数

13

()①当时，函数/(x)=12-X+4+1=(%——)？+〃+—,

24

若心；,则函数/(x)在(一叫。］上单调递减，函数/(x)在(-8,0上的最小值为

f(a)="+1；

若“>；,函数/。)在(一00,0上的最小值为/(；)=?+4,且/('4/(a)

_o13

②当x2。时，函数/。)=厂+x-a+l=(x+—)0--。+—,

24

若a«-g,则函数/(x)在［。,+8)上的最小值为/(一;)=］一。，且/(—；)</(a)；

若a>—g,则函数/(%)在［a,+oo)上单调递增，；.函数/(%)在［a,+oo)上的最小值

f(a)=a2+l

1311

综上，当2时，函数/(x)的最小值是彳-a,当—/<。4万时，函数/(x)的最小值是

a2+1,

13

当”>/,函数/(x)的最小值是。+：

.(07上海)已知函数/(x)=/+@(x70,常数aeR).

X

(1)讨论函数/(X)的奇偶性，并说明理由

(2)若/(x)在XG［2,+8)上是增函数，求a的取值范围.

解：()当。=()时，/(x)=x2为偶函数；当时，/(x)既不是奇函数也不是偶函数.

()设%2>X］—2»/(X］)—/(*2)——X；"I----X：----

尤I-x2

=—~~—+x2)-cz］.

xxx2

由％2>X［22得+々)>16,Xx—X2<0,XjX2>0

要使/(x)在区间［2,+00)是增函数只需/(M)—/(/)V0，

即X]X2（x+工2）—。>0恒成立，则a416。

、设函数（）是定义在上的偶函数，并在区间（一8）内单调递增，（2a）<（3a—2»求的取值范

围，

本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本

题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.

解:设"，则一<一<，:。在区间（一8）内单调递增，

•••（—）<（—）,•••（）为偶函数，•••（一）0（一）（）,

。在（，8）内单调递减.

1717

+a+1=2（a+—）~H—>0,3ci~—2a+1=3（a——）~+—>0.

由（2a）<（3a—2a）得:2a〉3a—2a解之,得。.

、已知奇函数（）是定义在（一，）上的减函数，且满足不等式（一）（一）〈，设不

等式解集为，U｛WW右｝,求函数（）一一（e）的最大值.

命题意图:本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析

和解决问题的能力.

知识依托:主要依据函数的性质去解决问题.

错解分析:题目不等式中的号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间

上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.

技巧与方法:借助奇偶性脱去"”号，转化为的不等式，利用数形结合进行集

合运算和求最值.

.„,f-3<x-3<3,[0<x<6「辽l

解:由1,得J厂厂且W,故

-3<x-3<3-J6<%<J6

又•••（）是奇函数，.•.（一）<一（一）（一）,

又（）在（一，）上是减函数，

...—>一,即一>,解得〉或〈一,

综上得即｛〈<而｝,

U0<指｝｛<〈而｝,

又（）------（一U—U知（）在上为减函数，

2