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文档简介

广东省揭阳市一中等三校重点中学2025年高三3月内部考试数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对;再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数估计的值,那么可以估计的值约为()A. B. C. D.2.已知平面和直线a,b,则下列命题正确的是()A.若∥,b∥,则∥ B.若,,则∥C.若∥,,则 D.若,b∥,则3.在直角梯形中,,,,,点为上一点,且,当的值最大时,()A. B.2 C. D.4.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤5.某地区高考改革,实行“3+2+1”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“1”指在物理、历史两门科目中必选一门,“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科,则一名学生的不同选科组合有()A.8种 B.12种 C.16种 D.20种6.已知P是双曲线渐近线上一点,,是双曲线的左、右焦点,,记,PO,的斜率为,k,,若,-2k,成等差数列,则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.7.设正项等差数列的前项和为,且满足,则的最小值为A.8 B.16 C.24 D.368.下列函数中,值域为的偶函数是()A. B. C. D.9.复数的模为().A. B.1 C.2 D.10.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.11.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1,其中“正方形为朱方,正方形为青方”,则在五边形内随机取一个点,此点取自朱方的概率为()A. B. C. D.12.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则______.14.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是_______.15.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个点,,,在半径为的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________.16.已知函数则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线交于点,将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.(1)求曲线的参数方程;(2)求面积的最大值.18.(12分)如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.(I)求证:为直角三角形;(II)试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.19.(12分)已知数列的前项和为,且满足().(1)求数列的通项公式;(2)设(),数列的前项和.若对恒成立,求实数,的值.20.(12分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶5元,售价每瓶7元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:摄氏度℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间,需求量为500瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温天数414362763以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为(单位:瓶)时,的数学期望的取值范围?21.(12分)已知,.(1)当时,证明:;(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.22.(10分)已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点,过点P作轴于Q,线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N,D为线段BN的中点,设O为坐标原点,试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

由试验结果知对0~1之间的均匀随机数,满足,面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对,满足条件的面积,由几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,即可估计的值.【详解】解:根据题意知,名同学取对都小于的正实数对,即,对应区域为边长为的正方形,其面积为,若两个正实数能与构成钝角三角形三边,则有,其面积;则有,解得故选:.本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形,可以直接解出可行域的面积;求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.2.C【解析】

根据线面的位置关系,结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.【详解】A:当时,也可以满足∥,b∥,故本命题不正确;B:当时,也可以满足,,故本命题不正确;C:根据平行线的性质可知:当∥,,时,能得到,故本命题是正确的;D:当时,也可以满足,b∥,故本命题不正确.故选:C本题考查了线面的位置关系,考查了平行线的性质,考查了推理论证能力.3.B【解析】

由题,可求出,所以,根据共线定理,设,利用向量三角形法则求出,结合题给,得出,进而得出,最后利用二次函数求出的最大值,即可求出.【详解】由题意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵点在线段上,设,则,即,又因为所以,所以,当时,等号成立.所以.故选:B.本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理,以及运用二次函数求最值,考查转化思想和解题能力.4.B【解析】

依题意,金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列,则,由此利用等差数列性质求出结果.【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为,设首项,则,公差,.故选B本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.C【解析】

分两类进行讨论:物理和历史只选一门;物理和历史都选,分别求出两种情况对应的组合数,即可求出结果.【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门,则有种组合;若一名学生物理和历史都选,则有种组合;因此共有种组合.故选C本题主要考查两个计数原理,熟记其计数原理的概念,即可求出结果,属于常考题型.6.B【解析】

求得双曲线的一条渐近线方程,设出的坐标,由题意求得,运用直线的斜率公式可得,,,再由等差数列中项性质和离心率公式,计算可得所求值.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为,且,由,可得以为圆心,为半径的圆与渐近线交于,可得,可取,则,设,,则,,,由,,成等差数列,可得,化为,即,可得,故选:.本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率,考查方程思想和运算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.B【解析】

方法一:由题意得,根据等差数列的性质,得成等差数列,设,则,,则,当且仅当时等号成立,从而的最小值为16,故选B.方法二:设正项等差数列的公差为d,由等差数列的前项和公式及,化简可得,即,则,当且仅当,即时等号成立,从而的最小值为16,故选B.8.C【解析】试题分析:A中,函数为偶函数,但,不满足条件;B中,函数为奇函数,不满足条件;C中,函数为偶函数且,满足条件;D中,函数为偶函数,但,不满足条件,故选C.考点:1、函数的奇偶性;2、函数的值域.9.D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】解:,复数的模为.故选:D.本题主要考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,属于基础题.10.A【解析】

根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.【详解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率为.故选A.本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.11.C【解析】

首先明确这是一个几何概型面积类型,然后求得总事件的面积和所研究事件的面积,代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方,其面积为9,五边形的面积为,所以此点取自朱方的概率为.故选:C本题主要考查了几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.12.D【解析】

,,得解.【详解】,,,所以,故选D比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数,进一步求出的值.【详解】解:若,则,即,所以.故答案为:.本题考查的知识要点:定积分的应用,被积函数的原函数的求法,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.14.1【解析】

把向量进行转化,用表示,利用基本不等式可求实数的值.【详解】,解得=1.故答案为:1.本题主要考查平面向量的数量积应用,综合了基本不等式,侧重考查数学运算的核心素养.15.【解析】

先找到平面区域内任意两点的最大值为,再利用三角恒等变换化简即可得到最大值.【详解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中点E,AC中点F,BC中点G,如图所示显然平面区域任意两点距离最大值为,而,当且仅当时,等号成立.故答案为:.本题考查正弦定理在平面几何中的应用问题,涉及到距离的最值问题,在处理这类问题时,一定要数形结合,本题属于中档题.16.【解析】

先由解析式求得(2),再求(2).【详解】(2),,所以(2),故答案为:本题考查对数、指数的运算性质,分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(为参数);(2).【解析】

(1)根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程;(2)将曲线的方程化为普通方程,然后化为极坐标方程,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程,得出和关于的表达式,然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值.【详解】(1)由于曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,则曲线的参数方程为(为参数);(2)将曲线的参数方程化为普通方程得,化为极坐标方程得,即,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得,,的面积为,当时,的面积取到最大值.本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,考查了伸缩变换,同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题,要熟悉极坐标方程所适用的基本类型,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.18.(1)见解析;(II).【解析】

试题分析:(1)取中点,连结,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明为直角三角形;(2)设,由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.试题解析:(I)取中点,连结,依题意可知均为正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因为,所以,即,从而为直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,由可得点的坐标所以,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,显然平面的一个法向量为,依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.法二:由(I)可知平面,所以,所以为二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,当时,二面角的余弦值为.19.(1)(2),.【解析】

(1)根据数列的通项与前n项和的关系式,即求解数列的通项公式;(2)由(1)可得,利用等比数列的前n项和公式和裂项法,求得,结合题意,即可求解.【详解】(1)由题意,当时,由,解得;当时,可得,即,显然当时上式也适合,所以数列的通项公式为.(2)由(1)可得,所以.因为对恒成立,所以,.本题主要考查了数列的通项公式的求解,等差数列的前n项和公式,以及裂项法求和的应用,其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.20.(1)见解析;(2)【解析】

(1)X的可能取值为300,500,600,结合题意及表格数据计算对应概率,即得解;(2)由题意得,分,及,分别得到y与n的函数关系式,得到对应的分布列,分析即得解.【详解】(1)由题意:X的可能取值为300,500,600故:六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列为300500600(2)由题意得.1°.当时,利润此时利润的分布列为.2.时,利润此时利润的分布列为.综上的数学期望的取值范围是.本题考查了函数与概率统计综合,考查了学生综合分析,数据处理,转化划归,数学

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