2024年四川省泸州市中考数学试卷（含详细解析）

2024年四川省泸州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（3分）下列各数中，无理数是（）A． B．3.14 C．0 D．π2．（3分）（2024•泸州）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21﹣24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（）A．2.6×107 B．2.6×108 C．2.6×109 D．2.6×10103．（3分）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（）A． B． C． D．4．（3分）把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝（）A．10° B．15° C．20° D．30°5．（3分）（2024•泸州）下列运算正确的是（）A．3a+2a3＝5a4 B．3a2•2a3＝6a6 C．（﹣2a3）2＝4a6 D．4a6÷a2＝4a36．（3分）（2024•泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD7．（3分）分式方程﹣3＝的解是（）A．x＝﹣ B．x＝﹣1 C．x＝ D．x＝38．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（3分）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（）A．56° B．60° C．68° D．70°10．（3分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（）A． B． C． D．11．（3分）（2024•泸州）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（）A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜12．（3分）（2024•泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是．14．（3分）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为．15．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是．16．（3分）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a＞0）个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ（a，θ）变换．如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（﹣1，2），则点B（，﹣1）按照ρ（2，105°）变换后得到点B'的坐标为．三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分。17．（6分）计算：|﹣|+（π﹣2024）0﹣2sin60°+（）﹣1．18．（6分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．19．（6分）化简：（+x﹣2y）÷．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。20．（7分）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如表．甲781011111213131414141415161618乙7101311181213131013131415161117将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．苗高分组甲种小麦的频数7≤x＜10a10≤x＜13b13≤x＜16716≤x＜193小麦种类统计量甲乙平均数12.87512.875众数14d中位数c13方差8.657.85根据所给出的信息，解决下列问题：（1）a＝，b＝，并补全乙种小麦的频数分布直方图；（2）c＝，d＝；（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x＜13（单位：cm）的株数．21．（7分）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？五、本大题共2小题，每小题8分，共16分。22．（8分）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与x轴相交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝的图象相交于点B（2，3）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直线x＝m（m＞2）与反比例函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点C，D，且S△OBC＝2S△OCD，求点C的坐标．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。24．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC＝CE，CE交AB于点F．（1）求证：∠CAE＝∠D；（2）过点C作CG⊥AB于点G，若OA＝3，BD＝3，求FG的长．25．（12分）（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．【解答】解：﹣是分数，3.14是有限小数，0是整数，它们都不是无理数；π是无限不循环小数，它是无理数；故选：D．2．【解答】解：260000000＝2.6×108．故选：B．3．【解答】解：A．主视图和左视图都为三角形，所以A选项不符合题意；B．主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项不符合题意；C．主视图为矩形，左视图也是矩形，所以C选项符合题意；D．主视图是矩形，左视图是三角形，所以D不符合题意．故选：C．4．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠1＝45°，∵∠2+∠DAE＝∠BAD，∠DAE＝30°，∴∠2＝15°，故选：B．5．【解答】解：A、3a与2a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、3a2•2a3＝6a5，故此选项不符合题意；C、（﹣2a3）2＝4a6，故此选项符合题意；D、4a6÷a2＝4a4，故此选项不符合题意；故选：C．6．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，∴选项A可以判定▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时▱ABCD为矩形，故选项B可以判定▱ABCD为矩形，故选项B不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，∴选项C可以判定▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，∴选项D不能判定▱ABCD为矩形，故选项D符合题意．故选：D．7．【解答】解：﹣3＝，去分母，得1﹣3（x﹣2）＝﹣2，整理，得﹣3x＝﹣9，∴x＝3．经检验，x＝3是原方程的解．所以原方程的解为：x＝3．故选：D．8．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣k＝0无实数根，∴Δ＝4﹣4（1﹣k）＜0，解得k＜0，则函数y＝kx图象经过第二、四象限，函数y＝的图象分布在第一、三象限，两个函数没有交点．故选：A．9．【解答】解：连接AD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAE+∠BCD＝236°，∴∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，∴∠EAD＝56°，∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD＝56°，∴∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，故选：C．10．【解答】解：由题知，令AD＝BC＝（）a，AB＝CD＝2a，由翻折可知，∠EAC＝∠BAC．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AE＝EC．令DE＝x，则AE＝EC＝2a﹣x，在Rt△ADE中，[（）a]2+x2＝（2a﹣x）2，解得x＝，∴DE＝，AE＝2a﹣＝．在Rt△DAE中，sin∠DAE＝．故选：A．11．【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限，∴Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＞0且a﹣1≥0，a＞0，解得1≤a＜，∴a的取值范围为1≤a＜．故选：A．12．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，又∵AE＝BF，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°，∵点M是DF的中点，∴，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，∵FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，∴△FBG≌△FBH（SAS），∴FH＝FG，∴，∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，∵AG＝2GB，AB＝6，∴BH＝BG＝2，∴AH＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得．∴的最小值为5，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.13．【解答】解：由题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2，所以函数y＝的自变量x的取值范围是x≥﹣2，故答案为：x≥﹣2．14．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得x＝3，经检验：x＝3是原分式方程的解，∴黄球的个数为3个．故答案为：3个．15．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5．∴（x1﹣x2）2+3x1x2＝+x1x2+＝（x1+x2）2﹣x1x2＝32﹣（﹣5）＝9+5＝14．故答案为：14．16．【解答】解：由题知，将点B（）向上平移2个单位所得点M的坐标为（）．如图所示，过点M作x轴的垂线，垂足为F，则OF＝，MF＝1．在Rt△MOF中，tan∠MOF＝，OM＝，所以∠MOF＝30°．由旋转可知，B′O＝MO＝2，∠MON＝105°，所以∠B′OF＝135°．过点B′作y轴的垂线，垂足为E，则∠B′OE＝135°﹣90°＝45°，所以△B′OE是等腰直角三角形．又因为B′O＝2，所以B′E＝OE＝，所以点B′的坐标为（）．故答案为：（）．三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分。17．【解答】解：|﹣|+（π﹣2024）0﹣2sin60°+（）﹣1＝+1﹣2×+2＝+1﹣+2＝3．18．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF．在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠1＝∠2．19．【解答】解：原式＝÷＝•＝．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。20．【解答】解：（1）由表格可知，a＝2，b＝4．故答案为：2；4．由题意知，乙种小麦苗高在13≤x＜16的频数为7，补全乙种小麦的频数分布直方图如图所示．（2）将甲种16株小麦的苗高按照从小到大的顺序排列，排在第8和第9的苗高为13，14，∴c＝（13+14）÷2＝13.5．由表格可知，d＝13．故答案为：13.5；13．（3）∵甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，∴甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙．故答案为：乙．1200×＝375（株）．∴估计苗高在10≤x＜13（单位：cm）的株数约375株．21．【解答】解：（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，根据题意得：，解得：．答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；（2）设购进m件A商品，则购进（60﹣m）件B商品，根据题意得：，解得：19≤m≤20，∴m的最大值为20．答：购进A商品的件数最多为20件．五、本大题共2小题，每小题8分，共16分。22．【解答】解：过C作CH⊥AB于H，∵∠CAB＝45°，AC＝30nmile，∴AH＝CH＝15nmile，∵∠CBH＝60°，∴BC＝＝＝10（nmile），过D作DG⊥AB于G，∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，∴∠BDG＝60°，∴∠CDB＝60°，∴CD＝＝＝20（nmile），答：C，D间的距离为20nmile．23．【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得，，解得，所以一次函数的解析式为y＝．将点B坐标代入反比例函数解析式得，a＝2×3＝6，所以反比例函数的解析式为y＝．（2）将x＝m分别代入y＝和y＝﹣得，点C的坐标为（m，），点D的坐标为（m，），所以．又因为S△OBC＝2S△OCD，所以S△OBC＝8．令直线CD与x轴的交点为M，过点B作x轴的垂线，垂足为N，因为S△BON+S梯形BNMC＝S△BOC+S△COM，且S△BON＝S△COM，所以S梯形BNMC＝S△BOC＝8，所以，解得．因为m＞2，所以m＝6，则点C的坐标为（6，1）．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。24．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠D+∠CBD＝90°，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠D，∵＝，∴∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠D，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠E，∴∠CA