2024新教材高中数学第6章平面向量及其应用章末综合提升教师用书新人教A版必修第二册

第6章平面对量及其应用类型1平面对量的线性运算(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的第4～6题的位置，主要考查平面对量的线性运算及几何意义，平面对量基本定理及坐标运算，难度较小．考查分析实力，运算求解实力．核心素养是直观想象、数学运算．(2)用几个向量表示某个向量的技巧：①视察各个向量的位置．②找寻相应的三角形或多边形．③运用法则找关系．④化简结果．【例1】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))A[法一如图所示，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A．法二eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A．]类型2平面对量数量积的运算(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的第5～8题的位置，主要考查平面对量的数量积、模、夹角运算，难度中等及以下．考查分析实力，想象实力及运算求解实力．(2)在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以干脆应用．【例2】(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是()A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)A[eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos∠PAB＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|·cos∠PAB，又|eq\o(AP,\s\up6(→))|·cos∠PAB表示eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\r(3)×2×cos30°＝6，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2×2×cos120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))∈(－2，6)，故选A．]类型3平面对量的共线(1)高考对平面对量的共线的考查主要是在选择题或填空题中，难度较小，一般有两类题型：一是已知两个向量共线求参数的值；二是依据条件证明向量共线，再得出其他的结论．(2)平面对量共线问题常用的方法①向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa．②向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0．③向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|．④向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0．【例3】已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．eq\f(1,2)[2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝eq\f(1,2)．]类型4平面对量的夹角与垂直(1)向量的夹角与垂直问题是高考的重点题型，一般出现在选择题或填空题中，难度中等以下，当出现在解答题中时也会与其他学问结合考查，难度较小．(2)设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))．(3)平面对量垂直问题的常用方法a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．【例4】(1)(2024·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满意|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝()A．－eq\f(31,35)B．－eq\f(19,35)C．eq\f(17,35)D．eq\f(19,35)(2)(2024·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb．若a⊥c，则k＝________．(1)D(2)－eq\f(10,3)[(1)由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(25－12＋36)＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝eq\f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq\f(19,5×7)＝eq\f(19,35)，故选D．(2)c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－eq\f(10,3)．]类型5向量的模与距离(1)向量的模不仅是探讨向量的一个重要的量，而且是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇点”，一般在选择题或填空题中考查，难度中等．(2)向量的模的计算方法有几何法和坐标法两种，有时两种方法均可运用．【例5】(2024·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝________；eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝________．eq\r(5)－1[法一如图，由题意及平面对量的平行四边形法则可知，点P为BC的中点，在三角形PCD中，|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，cos∠DPB＝－cos∠DPC＝－eq\f(1,\r(5))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(PD,\s\up6(→))|cos∠DPB＝1×eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(5))))＝－1．法二以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(2，1)，P(2，1)，∴eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－2，1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，－1)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，－1)·(－2，1)＝－1．]类型6利用正、余弦定理解三角形(1)高考对正、余弦定理的考查既有选择、填空题，也有解答题，常以正弦定理、余弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了高考命题的交汇性．(2)求解此类问题的关键是正、余弦定理及其变形的敏捷应用．【例6】(2024·新高考全国Ⅰ卷)在①ac＝eq\r(3)，②csinA＝3，③c＝eq\r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝eq\r(3)sinB，C＝eq\f(π,6)，____________？[解]方案一选条件①．由C＝eq\f(π,6)和余弦定理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2)．由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b．于是eq\f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，由此可得b＝c．由①ac＝eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)，b＝c＝1．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1．方案二选条件②．由C＝eq\f(π,6)和余弦定理得eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2)．由sinA＝eq\r(3)sinB及正弦定理得a＝eq\r(3)b．于是eq\f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，由此可得b＝c，B＝C＝eq\f(π,6)，A＝eq\f(2π,3)．由②csinA＝3，所以c＝b＝2eq