新教材2024高中数学第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理分层演练新人教A版选择性必修第三册

6.3二项式定理6.3.1二项式定理A级基础巩固1.在x2-1x5的绽开式中,含A.-10B.10C.-5D.5解析:x2-1x5的绽开式的通项为Tr+1=C5r(x(-1)r·C5r·x10-3r.令10-3r=4,得r=2.所以含x4的项的系数是(-1)2×C答案:B2.(x-2y)10的绽开式中x6y4的系数是()A.-840B.840C.210D.-210解析:在通项Tk+1=C10k(-2y)kx10-k中,令k=4,得(x-2y)10的绽开式中x6y4的系数为C104×(-2答案:B3.x+2xA.第7项B.第8项C.第9项D.第10项解析:二项绽开式的通项为Tk+1=C12k·x12-k2xk=C12k·2k·x12-32答案:C4.2x+1解析:由n=7,可知绽开式中共有8项,所以倒数第3项即为第6项,所以T6=C75(2x)2·1x25=C755.在x+2xn的绽开式中,若常数项为60,则解析:Tk+1=Cnk(x)n-k2xk令n-3k2依据题意,得2kC3kk=60,阅历证知k=2,故6.已知在12(1)n的值;(2)绽开式中x5的系数;(3)含x的整数次幂的项的个数.解:12x2-1xn的绽开式的通项为T(-1)k12(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-52k=0,解得n=10(2)由(1)知(12x2-1x)10的绽开式的通项为Tk+1=(-1)k(12)10令20-52k=5,得k=6所以x5的系数为(-1)6×(12)4×C106(3)要使20-52k为整数,即40-5由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6项,分别为绽开式的第1,3,5,7,9,11项.B级拓展提高7.9192被100除所得的余数为()A.1B.81C.-81D.992解析:利用9192=(100-9)92的绽开式,或利用(90+1)92的绽开式.方法一(100-9)92=C920×10092-C921×10091×9+C922×100100×991+C9292×9绽开式中前92项均能被100整除,只需求最终一项除以100的余数.而992=(10-1)92=C920×1092-C921×1091+…+C9290×102前91项均能被100整除,后两项的和为-919.因原式为正,可从前面的数中分别出1000,结果为1000-919=81,所以9192被100除所得的余数为81.方法二(90+1)92=C920×9092+C921×9091+…+C9290×90前91项均能被100整除,后两项的和为92×90+1=8281,明显8281除以100所得的余数为81.答案:B8.(2024·上海卷)在(x3+1x)12的绽开式中,含1x4解析:绽开式的通项公式为Tk+1=C12k(x3)12-k(1x)k=C12kx364k=-4,解得k=10,即T11=C1210x-4=66x49.多选题设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则满意an2an-1an+1的正整数n的值可能为()A.1B.2C.3D.4解析:(1+2x)5的绽开式的通项为Tr+1=C5r(2x)r=C5r2rxr,r=0,1,2,3,4,5.所以a0=C5020=1,a1=C5121=10,a2=C5222=40,a3=C53a5=C5525=32.满意an2=2an-1an+1的有a22=2a1a3,a32答案:BC10.(2024·新高考全国Ⅰ卷)(1-yx)(x+y)8的绽开式中x2y6的系数为-28(用数字作答)解析:(x+y)8的通项公式为Tr+1=C8rx8-ry当r=6时,T7=C86x2y6,当r=5时,T6=C85x3y5,所以(1-yx)(x+y)8的绽开式中x2y6的系数为C86-C85=811.利用二项式定理证明:49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.证明:49n+16n-1=(48+1)n+16n-1=Cn0·48n+Cn1·48n-1+…+Cn=Cn0·48n+Cn1·48n-1+…+48和16n都可以被16整除,所以Cn0·48n+Cn1·48n-1+…+C所以49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.C级挑战创新12.多空题在x2-12x9解析:Tk+1=C9k×(x2)9-k×-12xk=-12k×C9k×C93×x9=-212x9,所以第4项的二项式系数为C13.多空题已知二项绽开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=80,a1+a3+a5=122.解析:因为(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,所以a4=C54×2a1+a3+a5=C51×21+C53×23+C14.多空题若f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N*)的绽开式中含x的项的系数是19,则f(x)的绽开式中含x2的项的系数的最小值为81;当f(x)的绽开式中含x2的项的系数取最小值时,f(x)的绽开式中含x7的项的系数为156.解析:由题意,知m+n=19,所