2024新教材高中数学第七章概率1随机现象与随机事件1.4随机事件的运算素养作业北师大版必修第一册

PAGEPAGE1第七章§11.4A组·素养自测一、选择题1．设M，N，P是三个事务，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为(A)A．(eq\o(M,\s\up6(－))∪eq\o(N,\s\up6(－)))P B．(eq\o(M,\s\up6(－))eq\o(N,\s\up6(－)))PC．(eq\o(M,\s\up6(－))∪eq\o(N,\s\up6(－)))∪P D．(eq\o(M,\s\up6(－))N)∪(Meq\o(N,\s\up6(－)))2．掷一枚骰子，设事务A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事务A与事务B的关系是(B)A．A⊆BB．A∩B＝{出现的点数为2}C．事务A与B互斥D．事务A与B是对立事务[解析]由题意事务A表示出现的点数是1或2或3；事务B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．3．某人在打靶中，连续射击2次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是(C)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶[解析]由于事务“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事务是不行能事务，所以它们互为互斥事务．4．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事务“取出1个红球和2个白球”的对立事务是(D)A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有白球也有红球D．取出的3个球不止一个红球[解析]从装有3个红球和1个白球的口袋中随机取出3个球可能的状况有：“3个红球”“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”，所以事务“取出1个红球和2个白球”的对立事务是“3个红球或2个红球1个白球”即“3个球不止一个红球”，故选D．5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设事务A＝{两弹都击中飞机}，事务B＝{两弹都没击中飞机}，事务C＝{恰有一弹击中飞机}，事务D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(D)A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D[解析]“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中其次枚没中或第一枚没中其次枚击中，“至少有一弹击中”包含两种状况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．6．(多选)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事务是(BD)A．至少有1个红球与都是红球B．至少有2个红球与都是白球C．至少有1个红球与至少有1个白球D．恰有1个红球与恰有2个红球[解析]A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事务同时发生，故它们不是互斥事务，所以A项不符合题意；B项中，这两个事务不能同时发生，则它们是互斥事务，若取出的3个球为1红2白，则它们都没有发生，故它们不是对立事务，所以B项符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事务，所以C项不符合题意；D项中，这两个事务不能同时发生，是互斥事务，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事务，所以D项符合题意．二、填空题7．(2024·安徽省安庆市联考)某人打靶时连续射击三次，击中靶心分别记为A，B，C，不中分别记为eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(C,\s\up6(－))，则事务“恰有两次击中靶心”可记为__eq\o(A,\s\up6(－))BC∪Aeq\o(B,\s\up6(－))C∪ABeq\o(C,\s\up6(－))__．[解析]事务“恰有两次击中靶心”说明有两次击中，且有一次未击中．依据未击中的情形进行分类：当第一次未击中时，“恰有两次击中靶心”为eq\o(A,\s\up6(－))BC；当其次次未击中时，“恰有两次击中靶心”为Aeq\o(B,\s\up6(－))C；当第三次未击中时，“恰有两次击中靶心”为ABeq\o(C,\s\up6(－))．故所求事务eq\o(A,\s\up6(－))BC∪Aeq\o(B,\s\up6(－))C∪ABeq\o(C,\s\up6(－))．8．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事务A：“二次都出现正面”，事务B：“二次都出现反面”，则事务A与事务B是对立事务；(2)在命题(1)中，事务A与事务B是互斥事务；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事务A：“所取3件中最多有2件是次品”，事务B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事务A与事务B是互斥事务，其中真命题的个数是__1__．[解析]命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事务A，B外，还有“第一次出现正面，其次次发觉反面”和“第一次出现反面，其次次出现正面”两个事务，所以事务A和事务B不是对立事务，但它们不会同时发生，所以是互斥事务；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事务A和事务B同时发生，所以事务A和事务B不是互斥事务．9．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事务A，B，C，D，E，则事务取出的是理科书可记为__B∪D∪E__．[解析]由题意可知事务“取到理科书”可记为B∪D∪E.三、解答题10．某同学在篮球场上进行了连续3次投篮练习，记Ai＝{第i次投中篮筐}(i＝1，2，3)，试用Ai(i＝1，2，3)表示事务：(1)Bj＝{连续3次投篮中恰好有j次投中篮筐}(j＝0，1，2，3)；(2)Ck＝{连续3次投篮中至少有k次投中篮筐}(k＝0，1，2，3)．[解析](1)B0表示“连续3次投篮，均没有投中”，故B0＝eq\o(A1,\s\up6(－))eq\o(A2,\s\up6(－))eq\o(A3,\s\up6(－))；B1表示“3次投篮恰有1次投中，其他2次均未投中”，故B1＝A1eq\o(A2,\s\up6(－))eq\o(A3,\s\up6(－))∪eq\o(A1,\s\up6(－))A2eq\o(A3,\s\up6(－))∪eq\o(A1,\s\up6(－))eq\o(A2,\s\up6(－))eq\o(A3,\s\up6(－))；B2表示“3次投篮有1次没投中，其他2次都投中”，故B2＝A1A2eq\o(A3,\s\up6(－))∪A1eq\o(A2,\s\up6(－))A3∪eq\o(A1,\s\up6(－))A2A3；B3表示“3次投篮都投中”，故B3＝A1A2A3.(2)C0表示“连续3次投篮，至少有0次投中”，这是必定事务，故C0＝A1∪eq\o(A1,\s\up6(－))∪A2∪eq\o(A2,\s\up6(－))∪A3∪eq\o(A3,\s\up6(－))；C1表示“连续3次投篮，至少有1次投中”，故C1＝A1∪A2∪A3；C2表示“连续3次投篮，至少有2次投中”，故C2＝A1A2∪A2A3∪A1A3；C3表示“连续3次投篮，3次都投中”，故C3＝A1A2A3.11．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，推断下列给出的每对事务是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．[解析](1)是互斥事务，不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥事务．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事务．(2)既是互斥事务，又是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事务不行能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事务，又是对立事务．(3)不是互斥事务，当然不行能是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事务可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事务，当然不行能是对立事务．B组·素养提升一、选择题1．某人射击一次，设事务A为“击中环数小于4”，事务B为“击中环数大于4”，事务C为“击中环数不小于4”，事务D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是(D)A．A与B为对立事务 B．B与C为互斥事务C．C与D为对立事务 D．B与D为互斥事务[解析]“击中环数大于4”与“击中环数大于0且小于4”不能同时发生，所以为互斥事务．2．假如事务A，B互斥，记eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分别为事务A，B的对立事务，那么(B)A．A∪B是必定事务 B．eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必定事务C．eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))肯定互斥 D．eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))肯定不互斥[解析]利用集合Venn图可知B正确．3．设H，E，F为三个事务，eq\o(H,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))，eq\o(F,\s\up6(－))分别表示它们的对立事务，表示“三个事务恰有一个发生”的表达式为(B)A．H＋E＋F B．Heq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))＋eq\o(H,\s\up6(－))Eeq\o(F,\s\up6(－))＋eq\o(H,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))FC．HEeq\o(F,\s\up6(－))＋Heq\o(E,\s\up6(－))F＋eq\o(H,\s\up6(－))EF D．eq\o(H,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－))＋eq\o(F,\s\up6(－))[解析]“恰有一个发生”是指三个事务中只有一个发生，同时另外两个不发生，故选B．4．(多选题)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中随意抽取5件，现给出以下四个事务：事务A表示“恰有一件次品”；事务B表示“至少有两件次品”；事务C表示“至少有一件次品”；事务D表示“至多有一件次品”．则下列说法正确的是(AB)A．A∪B＝C B．B∪D是必定事务C．A∩B＝C D．A∩D＝C[解析]事务A∪B表示“至少有一件次品”，即事务C，所以A正确；事务B∪D表示“至少有两件次品或至多有一件次品”，包括了全部状况，所以B正确；事务A∩B＝∅，所以C不正确；事务A∩D表示“恰有一件次品”，即事务A，所以D不正确．二、填空题5．掷一枚质地匀称的骰子，记A为事务“落地时向上的数是奇数”，B为事务“落地时向上的数是偶数”，C为事务“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事务的是__A，B__，是对立事务的是__A，B__．[解析]A，B既是互斥事务，也是对立事务．6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事务：A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请依据这些事务，推断下列事务的关系：(1)B__⊆__H；(2)D__⊆__J；(3)E__⊆__I；(4)A__＝__G.[解析]当事务B发生时，H必定发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I，而事务A与G相等，即A＝G.7．若掷红、蓝两颗骰子，事务A＝“红骰子点数大于3”，事务B＝“蓝骰子点数大于3”，则A∩B＝__{(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}__．(记在点的坐标(x，y)中，x表示红骰子出现的点数，y表示蓝骰子出现的点数)三、解答题8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事务R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“其次次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．(1)事务R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？(2)事务R与事务G的并事务与事务M有什么关系？事务R1与事务R2的交事务与事务R有什么关系？[解析](1)因为R⊆R1，所以事务R1包含事务R；因为R∩G＝∅，所以事务R与事务G互斥；因为M∪N＝Ω，M∩N＝∅，所以事务M与事务N互为对立事务．(2)因为R∪G＝M，所以事务M是事务R与事务G的并事务；因为R1∩R2＝R，所以事务R是事务R1与事务R2的交事务．9．在掷骰子试验中，依据向上的点数可以定义很多事务，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事务的关系；(2)求两两运算的结果．[解析]在掷骰子的试验中，依据向上出现的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝