事件的相互独立性高一数学下学期人教A版2019必修第二册

10.2事件的相互独立性（１）事件的关系或运算含义符号表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互为对立A发生导致B发生A与B至少一个发生A与B同时发生A与B不能同时发生A与B有且仅有一个发生A⊆BA∪B或A+BA∩B或ABA∩B=ΦA∩B=Φ,A∪B=ΩP(A)≤P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)P(A)+P(B)=1复习引入？P(A+B)=P(A)+P(B)前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法．对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢?下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题．试验1：

分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.探究：相互独立事件探究：下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?

思考2：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？思考1：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？试验1：

分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.思考2：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点，A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}．由古典概型概率计算公式，积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.思考3：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？思考4：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.思考4：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}}，包含16个等可能的样本点，A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}，B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，所以AB={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}．积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.相互独立事件的定义：对任意事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．通俗地说，对于两个事件A，B，如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．设A为任意事件，因为P(Ω)=1，P(Ø)=0，

所以，P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立．归纳总结思考5：必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立吗？探究2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B互相独立，那么它们的对立事件是否也互相独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与与B，与是否独立，你有什么发现？试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}，证明：若事件A与B相互独立,则也相互独立.∵事件A与B相互独立，∴P(AB)=P(A)P(B).提示：证明:（1）必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.

（2）若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:注意：当三个事件A、B、C两两独立时，

等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.相互独立事件的性质归纳总结例1：

一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独立？解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12个等可能样本点，即n(Ω)=12A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，n(A)=6，B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，n(B)=6，所以AB={(1,2)，(2,1)}，n(AB)=2．例题所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.课本248页归纳总结判断两个事件是否相互独立的方法（3）转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与

,

与B,

与

是否具有独立性.

（1）直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.（2）定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A，B，C中哪两个相互独立？练习解：课本249页2.设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b}，B={a,c}，C={a,d}.请验证A,B,C三个事件中两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解：∵A={a,b}，B={a,c}，C={a,d}，∴A={a}，AC={a}，BC={a}，ABC={a}，∴P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=P(AC)=P(BC)=

∴P(A)P(B)P(C)=

P(ABC)=

∴P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=

P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，即A,B,C三个事件中两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).课本249页例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶．解：例题课本248页解：例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：

(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶．课本248页解：例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：(4)至少有一人中靶．课本248页反思归纳说明：已知两个事件A,B,那么:(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.(2)A,B中至多有一个发生为事件 

.(3)A,B恰好有一个发生为事件.(5)A,B都不发生为事件 

. (4)A,B都发生为事件AB.

(6)A,B不都发生为事件 

.若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．要掌握公式的适用条件天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:（1）甲、乙两地都降雨的概率;（2）甲、乙两地都不降雨的概率;（3）至少一个地方降雨的概率；解：设事件A=“甲地降雨”，事件B=“乙地降雨”，由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3,且事件A与B相互独立.（１）因为AB=“甲、乙两地都降雨”，练习（２）因为=“甲、乙两地都不降雨”，课本249页天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:（3）至少一个地方降雨的概率；解：设事件A=“甲地降雨”，事件B=“乙地降雨”，由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3,且事件A与B相互独立.（3）因为=“至少一个地方降雨”，练习课本249页随堂检测2.一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与（）A.相互独立事件 B.不相互独立事件C.互斥事件 D.对立事件3.(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有()A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到白球”，事件N＝“第2次摸到白球”C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”解析：在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.答案：CDA.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率解析：记4个选项中的事件分别为A，B，C，D，则：答案：Ｃ5.根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各