广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题(含解析)

海珠区2023学年第二学期期末教学质量检测高一数学本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在中，，则（）．A． B．C． D．2．下列的表述中，正确的是（）．A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行3．若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则（）．A． B． C． D．24．有一组从小到大排列的样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，，，则（）．A．数据，，…，的标准差不小于数据，，…，的标准差B．数据，，…，的中位数与数据，，…，的中位数相等C．若数据，，…，的方差为m，则数据，，…，的方差为amD．若数据，，…，的极差为d，则数据，，…，的极差为5．为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点（）．A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变C．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变6．已知的外接圆圆心为O，且，，则在上的投影向量为（）．A． B． C． D．7．已知，，且，则（）．A． B．C． D．8．通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨，中雨，大雨，暴雨．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（）．A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，，则下列说法中正确的是（）．A．若，则B．若，则C．若，则D．若向量，的夹角为钝角，则m的取值范围是10．已知复数，，则下列说法中正确的是（）．A． B．若，则C．若，则 D．11．在正三棱柱中，已知动点P满足，，，且，则下列说法中正确的是（）．A．若，则三棱锥的体积是定值B．若，则三棱锥的体积是定值C．若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的D．若，则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数z满足，则__________．13．某班有男学生20人，女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组．对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：课后阅读时长平均数（小时）方差男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为__________，方差为__________．14．已知点G，O在所在平面内，满足，，且，，则边BC的长为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在棱长为2的正方体中，点E，P分别为CD，的中点．（1）求证：直线平面；（2）求点A到平面的距离．16．（15分）一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：分组频数频率100.1x0.15200.230y150.1550.0550.05合计1001.00（1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；（2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60％的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．17．（15分）海里的B处以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．（1）甲船航行3小时到达C处，求AC；（2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．18．（17分）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD所成角的正弦值为．（1）求证：平面PCD；（2）求直线AM与直线PB所成角的余弦值；（3）求平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值．19．（17分）如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．（1）若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值：（2）在中，记，，的对边分别为a，b，c，且满足．①求证：；②求的最小值．答案简析1.C

【简析】解：由题意得：AE=AB+2.B

【简析】解：对于A，设点P∉平面α，P∈l，当l⊥α时，经过直线l的平面都与平面α垂直，所以A错误；

对于B，若经过平面α外一点P与平面α平行的直线都在同一平面β内，并且这样的平面β有且只有一个，所以B正确；

对于C，设点Q是直线l外一点，并且平面γ过点Q且l⊥γ，则在平面γ内过点Q的直线都与直线l垂直，所以C错误；

对于D，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，所以D错误．

故选B．3.A

【简析】解：∵

a+3b⊥a，

∴a⋅(3b+a)=3a⋅b+|a|2=0

，

4.B

【简析】解：∵样本数据x1，x2，⋯，xn，由这组数据得到新样本数据y1=ax1+b(i=1,2,⋯,n)，a>0，b≠0，

∴数据y2，y3，⋯，yn−1的标准差等于数据y1，y2，⋯，yn的标准差，故A选项错误;

数据y2，y3，⋯，yn−1的中位数与数据y1，y2，⋯，yn的中位数相等，故B选项正确;

若数据x1，x2，⋯，xn的方差为m，则数据y1，y2，⋯，yn的方差为a2m，故C选项错误;5.C

【简析】解：正弦曲线y=sinx先向左平移2π3个单位长度，得到函数y=sin(x+2π3)的图象，

再将所有点的横坐标缩短到原来的16.B

【简析】解：因为2AO=AB+AC，所以BC为圆O的直径，∠BAC=90°，

又|AB|=3|OA|，所以△OAC为等边三角形，所以∠ABC=30°，

所以7.D

【简析】解：由于tanα+tanβ=1cosβ，从而sinαcosα=1−sinβcosβ，

即sinαcos故选D．8.B

【简析】

如图：设AC=x，水面半径为r，

由题意得：x10=x+5r=x+3016，解得：r=11，

则水的体积为：V=13⨉5⨉(102π+112π)=9.BC

【简析】解：A、a+b=(1,m+3)，|a+b|=1+(m+3)2=10，

解得m=−6或m=0，A错误;

B、a−b=(3,m−3)，|a+b|=|a−b|，1+(m+3)2=9+(m−3)2，

解得m=23，B正确;

C10.AD

【简析】解：由复数模的三角不等式可得|z1+z2|⩽|z1|+|z2|，所以A正确；

令z1=1+i，z2=1−i，则|z1||z2|=2=|z1|2，但是z1≠z2，所以B错误；

令z1=1，z11.ACD

【简析】A:λ=1时，BP=BC+μBB1，即CP=μBB1此时P点在CC1上，

VB−AB1P=VP−AB1B=VC−ABB1为定值，故A正确;

B：μ=1时，BP=λBC+BB1，即B1P=λBC，此时P点在B1C1上，VB−AB1P=VP−ABB1，因为S△ABB1为定值，而P到平面ABB1的距离不是定值，故B错误；

C：当λ=μ=12时，BP=12BC+112.10【简析】解：由已知z=2+i所以|z|=故答案为1013.25.6；1.3

【简析】解：把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x20，其平均数记为x−，方差记为sx2，

把样本中女生身高记为y1，y2，…，y30，其平均数记为y−，方差记为sy2，

样本平均数记为a−，方差记为s2，

14.3【简析】解：由已知得点G，O分别为△ABC的重心和外心，

如图，延长AG交BC于D，连接OD，作OH⊥AC于H，则D，H分别是BC，CA的中点，

AC⋅AO=|AC||AO|cos∠OAC=|AC||AH|=12|AC|2=12AC2，

同理AO⋅AB=12|AB15.(1)证明：因为A1B1=DC

又因为点P，E分别为A1B1，CD的中点，

∴PB1//DE，PB1=DE

∴四边形PB1ED为平行四边形．

∴DP//EB1，

又EB1⊂平面AEB1，DP⊄平面AEB1

∴DP//平面AEB1．

(2)解：

由ABCD−A1B1C1D1是正方体，

∴点E到平面ABB1A1的距离是BC=2，

又S△ABB1=12×2×2=2，设三棱锥E−ABB1体积为V，【简析】

(1)证得DP//EB1是关键；

(2)首先求出三棱锥E−ABB1体积为V，又三棱锥16.解：(1)x=100−(10+20+30+15+5+5)=15，y=1.00−(0.1+0.15+0.2+0.15+0.05+0.05)=0.3

频率分布表中，“频数”列的x为15，“频率”列的y为0.3

频率分布直方图如下：

(2)设这100所加盟店去年销售总额的平均数为x则x=1100(13×10+15×15+17×20+19×30+21×15+23×5+25×5)

=1100×1820=18.2

估计这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2

(3)由频率分布直方图可知，从右往左，第一至第五组的频率分别为0.05，0.05，0.15，0.3，0.2，前4组的频率和为0.55，这五组的频率和为0.75．

则可知，“正好60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的“评选标准”值x∈[16,18)

且x满足(18−x)×0.1+0.55=0.6

解得【简析】(1)根据题意计算出x，y，作出频率分布直方图

(2)根据题意计算平均数即可

(3)根据题意可知正好60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的“评选标准”值x∈[16,18)且x满足(18−x)×0.1+0.55=0.6，求解即可17.(1)解：由已知得，AB=153，BC=7×3=21，∠ABC=30∘

由AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos30∘=(153)2+212−2×153×21×32

解得AC=171=319

即甲船航行3小时后距离海岛AC=319海里．

(2)解：甲船到D处时，△ABD为∠BAD=90∘，∠ABD=30∘的直角三角形

又AB=153，故AD=15【简析】

(1)由已知求得AB=153，BC=21，∠ABC=30∘，再利用余弦定理即可；

(2)ΔADE中，应用余弦定理求得ED，再利用正弦定理求得sin∠AED=5132618.(1)证明：∵底面ABCD为矩形，

∴CD⊥AD

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，

∴CD⊥侧面PAD

又∵AM⊂侧面PAD，

∴AM⊥CD

又∵侧面PAD为正三角形，M是PD的中点，

∴AM⊥PD

又∵PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD

∴AM⊥平面PCD．

(2)设AD的中点为G，连接PG

∵ΔPAD为正三角形，

∴PG⊥AD

又∵面PAD⊥面ABCD，交线为AD

∴直线PG⊥底面ABCD

∴PB与平面ABCD所成角即∠PBG

设AD=1，AB=m则PG=AM=32，PB=m2+12

由sin∠PBG=64，解得m=1

连接AC，BD，AC∩BD=F，

∵M为PD中点，底面ABCD为矩形

∴MF//PB，MF=12PB=22，AF=12AC=22

在ΔAMF中，∴cos∠AMF=AM2+MF2−AF22×AM×MF=64

故直线AM与直线PB所成角的余弦值等于64．

(3)以AP，AD为邻边构造▱ADQP，

则M是AQ的中点

连接CQ，

则四边形BCQP是平行四边形，又N为PC中点

故B，N，Q三点共线，平面ABM与平面ABQ为同一平面

;故所求二面角为二面角P−BQ−A或二面角C−BQ−A

易知二面角P−BQ−A与二面角C−BQ−A的大小互补，故其正弦值相等．

由(1)(2)知PM⊥平面ABQ，BQ⊂平面ABQ

∴PM⊥BQ

在Rt△BAQ中，过M作MT⊥BQ，垂足为T，则BQ⊥平面PMT

连接PT，则PT⊥BQ，故二面角【简析】

(1)推得AM⊥CD，AM⊥PD，再利用线面垂直的判定定理，即可求证；

(2)设AD的中点为G，连接PG，推得PB与平面ABCD所成角即∠PBG，再结合余弦定理；

(3)根据几何知识推得所求二面角为二面角P−BQ−A或二面角C−BQ−A，又二面角P−BQ−A的平面角为∠PTM，再在直角