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文档简介
海珠区2023学年第二学期期末教学质量检测高一数学本试卷共4页,19小题,全卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上,再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在中,,则().A. B.C. D.2.下列的表述中,正确的是().A.过平面外一点,有且只有一个平面与这个平面垂直B.过平面外一点,有且只有一个平面与这个平面平行C.过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线垂直D.过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线平行3.若两个非零向量,的夹角为,且满足,,则().A. B. C. D.24.有一组从小到大排列的样本数据,,…,,由这组数据得到新样本数据,,…,,其中,,,则().A.数据,,…,的标准差不小于数据,,…,的标准差B.数据,,…,的中位数与数据,,…,的中位数相等C.若数据,,…,的方差为m,则数据,,…,的方差为amD.若数据,,…,的极差为d,则数据,,…,的极差为5.为了得到的图象,只需把正弦曲线上所有点().A.先向右平移个单位长度,横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度,横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变C.先向左平移个单位长度,横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度,横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变6.已知的外接圆圆心为O,且,,则在上的投影向量为().A. B. C. D.7.已知,,且,则().A. B.C. D.8.通常以24小时内降水在平地上积水厚度(单位:mm)来判断降雨程度,其中小雨,中雨,大雨,暴雨.小明用一个近似圆台的水桶(如图,计量单位)连续接了24小时的雨水,桶中水的高度约为桶高的,则当天的降雨等级是().A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知向量,,则下列说法中正确的是().A.若,则B.若,则C.若,则D.若向量,的夹角为钝角,则m的取值范围是10.已知复数,,则下列说法中正确的是().A. B.若,则C.若,则 D.11.在正三棱柱中,已知动点P满足,,,且,则下列说法中正确的是().A.若,则三棱锥的体积是定值B.若,则三棱锥的体积是定值C.若,则三棱锥的体积是三棱柱的体积的D.若,则直线AP与平面所成角的正弦值的最大值是三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数z满足,则__________.13.某班有男学生20人,女学生30人,为调查学生的课后阅读情况,现将学生分成男生、女生两个小组.对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计,情况如下表:课后阅读时长平均数(小时)方差男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为__________,方差为__________.14.已知点G,O在所在平面内,满足,,且,,则边BC的长为__________.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,在棱长为2的正方体中,点E,P分别为CD,的中点.(1)求证:直线平面;(2)求点A到平面的距离.16.(15分)一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店.公司在年底对所有加盟店本年度营销总额(单位:百万元)进行统计,制作频率分布表如下:分组频数频率100.1x0.15200.230y150.1550.0550.05合计1001.00(1)请求出频率分布表中x,y的值,并画出频率分布直方图;(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数(同一组中的数据,用该组区间的中点值作代表);(3)为了评选本年度优秀加盟店,公司将依据营销总额制定评选标准,按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求,请根据频率分布直方图,为该公司提出本年度“评选标准”建议.17.(15分)海里的B处以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行.(1)甲船航行3小时到达C处,求AC;(2)在A海岛西偏南方向6海里的E处,乙船因故障等待救援.当甲船到达A海岛正东方向的D处时,接收到乙船的求援信号.已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域,甲船能否沿DE方向航行前往救援?请说明理由.18.(17分)在四棱锥中,侧面底面ABCD,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为矩形,M是PD的中点,且PB与平面ABCD所成角的正弦值为.(1)求证:平面PCD;(2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值;(3)求平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值.19.(17分)如图,E为线段AD的中点,C为DA延长线上的一点,以A为圆心,AE长度为半径作半圆,B为半圆上一点,连接BC,BD.(1)若,以BD为边作正三角形BFD,求四边形ABFD面积的最大值:(2)在中,记,,的对边分别为a,b,c,且满足.①求证:;②求的最小值.参考答案1.C
2.B
3.A
4.B
5.C
6.B
7.D
8.B
9.BC
10.AD
11.ACD
12.1013.25.6;1.3
14.315.(1)证明:因为A1B1=DC
又因为点P,E分别为A1B1,CD的中点,
∴PB1//DE,PB1=DE
∴四边形PB1ED为平行四边形.
∴DP//EB1,
又EB1⊂平面AEB1,DP⊄平面AEB1
∴DP//平面AEB1.
(2)解:
由ABCD−A1B1C1D1是正方体,
∴点E到平面ABB1A1的距离是BC=2,
又S△ABB1=12×2×2=2,设三棱锥E−ABB1体积为V,16.解:(1)x=100−(10+20+30+15+5+5)=15,y=1.00−(0.1+0.15+0.2+0.15+0.05+0.05)=0.3
频率分布表中,“频数”列的x为15,“频率”列的y为0.3
频率分布直方图如下:
(2)设这100所加盟店去年销售总额的平均数为x则x=1100(13×10+15×15+17×20+19×30+21×15+23×5+25×5)
=1100×1820=18.2
估计这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2
(3)由频率分布直方图可知,从右往左,第一至第五组的频率分别为0.05,0.05,0.15,0.3,0.2,前4组的频率和为0.55,这五组的频率和为0.75.
则可知,“正好60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的“评选标准”值x∈[16,18)
且x满足(18−x)×0.1+0.55=0.6
解得17.(1)解:由已知得,AB=153,BC=7×3=21,∠ABC=30∘
由AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos30∘=(153)2+212−2×153×21×32
解得AC=171=319
即甲船航行3小时后距离海岛AC=319海里.
(2)解:甲船到D处时,△ABD为∠BAD=90∘,∠ABD=30∘的直角三角形
又AB=153,故AD=1518.(1)证明:∵底面ABCD为矩形,
∴CD⊥AD
又∵侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,
∴CD⊥侧面PAD
又∵AM⊂侧面PAD,
∴AM⊥CD
又∵侧面PAD为正三角形,M是PD的中点,
∴AM⊥PD
又∵PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD
∴AM⊥平面PCD.
(2)设AD的中点为G,连接PG
∵ΔPAD为正三角形,
∴PG⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD,交线为AD
∴直线PG⊥底面ABCD
∴PB与平面ABCD所成角即∠PBG
设AD=1,AB=m则PG=AM=32,PB=m2+12
由sin∠PBG=64,解得m=1
连接AC,BD,AC∩BD=F,
∵M为PD中点,底面ABCD为矩形
∴MF//PB,MF=12PB=22,AF=12AC=22
在ΔAMF中,∴cos∠AMF=AM2+MF2−AF22×AM×MF=64
故直线AM与直线PB所成角的余弦值等于64.
(3)以AP,AD为邻边构造▱ADQP,
则M是AQ的中点
连接CQ,
则四边形BCQP是平行四边形,又N为PC中点
故B,N,Q三点共线,平面ABM与平面ABQ为同一平面
;故所求二面角为二面角P−BQ−A或二面角C−BQ−A
易知二面角P−BQ−A与二面角C−BQ−A的大小互补,故其正弦值相等.
由(1)(2)知PM⊥平面ABQ,BQ⊂平面ABQ
∴PM⊥BQ
在Rt△BAQ中,过M作MT⊥BQ,垂足为T,则BQ⊥平面PMT
连接PT,则PT⊥BQ,故二面角19.解:过B向CD作垂线,垂
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