2023-2024学年河南省新乡十中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省新乡十中八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列式子中，是最简二次根式的是(

)A.13 B.6 C.2.在下列各组线段中，能构成直角三角形的是(

)A.1,2,3 B.1，2，3 C.1，2，5 D.1，13.下列运算结果正确的是(

)A.4+9=13 B.4.有7名同学参加学校的数学社团的面试，该社团只需录取3名人员，每人仅知道自己的成绩(每人的成绩均不相同)，若想让他们知道是否被录取，该社团只需公布他们面试成绩的(

)A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差5.若直线y=−x+b经过点A(−2,y1)，B(1,y2)，则yA.y1<y2 B.y1>6.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图(2)所示的正方形，并测得对角线AC=102，则图(1)中菱形的对角线BD长为(

)A.10 B.20 C.102 7.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B、C两点不重合)，过点D作DE/​/AC，DF/​/AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是(

)

A.若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

B.若BD=CD，则四边形AEDF是菱形

C.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

D.若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形8.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有(

)

A.①③ B.②③ C.②④ D.①④9.下面的三个问题中都有两个变量：

①设一个正方形的边长为x cm，周长为y cm；

②某蓄水池蓄水20m3，用速度为0.5m3/min的水泵向外抽水，设蓄水池的剩余水量为ym3，抽水时间为x min；

③某电信公司手机的A类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费12元，另外通话费按0.2元/min计费.若一个月的通话时间为x min，应缴费用为y元．

其中，变量yA.① B.② C.③ D.②③10.已知一次函数y=3x+3与坐标轴交于点A和点B，如图，以AB为边作正方形ABCD，点C的坐标是(

)A.(−1,4)

B.(−3,1)

C.(−4,1)

D.(−1,3)二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若二次根式x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．12.请写出一个过点(2,1)且y随x的增大而减小的函数的解析式______．13.某学生平时考核成绩为95分，期末测试成绩为90分，该校规定平时考核成绩占20%，期末测试成绩占80%，则该生的综合成绩为______分．14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点B，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为______．15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE=______时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

计算：

(1)18−32+17.(本小题9分)

如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH，已知CB=5千米，CH=2千米，HB=1千米．

(1)CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；

(2)求新路CH比原路CA少多少千米？18.(本小题9分)

为迎接中考体育测试，本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程．

甲同学五次体育模拟测试成绩统计表次数第一次第二次第三次第四次第五次成绩(分)656967a70小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：S乙2=15[(66−68)2+(68−68)2+(67−68)2+(69−68)2+(70−68)2]=2(分 ​2).19.(本小题9分)

已知点A(0,4)、C(−2,0)在直线l：y=kx+b上，直线l和函数y=−4x+a的图象交于点B．

(1)求直线l的表达式；

(2)若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组y=kx+by=−4x+a的解及a的值．

(3)在(2)的条件下，根据图象比较当x>1时，kx+b的值与−4x+a的值的大小．20.(本小题9分)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.延长CB至D，使得BD=CB，过点A，D分别作AE/​/BD，DE//BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE=DE．(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；

(2)连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论．21.(本小题9分)

杆秤是古代的一种度量工具，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤锤、秤纽等组成(如图1).称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(cm)时，秤钩所挂重物为y(kg)，则y是x的一次函数．

【记录数据】

表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据．x/cm12471112y/kg0.751.001.52.753.253.50【探索发现】

(1)在如表的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2平面直角坐标系中，通过描点法，观察判断哪一对数据是错误的；

(2)求y与x之间的函数关系式，并推测秤盘的质量；

【结论应用】

(3)已知秤杆上秤砣到秤纽的最大水平距离为25cm，现有8kg的重物，该秤是否能一次性称出此物体的重量？请说明理由．

22.(本小题10分)

近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某生产厂家销售的甲、乙两种头盔，已知甲种头盔比乙种头盔的单价多11元，购进甲种头盔10个，乙种头盔20个，共需1730元．

(1)求甲、乙两种头盔的单价；

(2)某商店欲购进两种头盔共100个，正好赶上厂家进行促销活动，其方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每个降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔的数量，那么应购买多少个甲种头盔可以使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？23.(本小题10分)

综合与实践

问题情境：

在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′．

分析探究：

(1)如图1，当点D′恰好落在AB边上时，四边形D′BCE的形状为______．

问题解决：

(2)如图2，当E，F为CD边的三等分点时，连接FD′并延长，交AB边于点G.试判断线段AG与BG的数量关系，并说明理由．

(3)如图3，当∠ABC=60°，∠DAE=45°时，连接DD′并延长，交BC边于点H.若▱ABCD的面积为24，AD=4，请直接写出线段D′H的长．

答案解析1.B

【解析】解：A、13=33，故不是最简二次根式，不符合题意；

B、6是最简二次根式，符合题意；

C、8=222.A

【解析】解：A、12+(3)2=22，能构成直角三角形，符合题意；

B、12+22≠323.D

【解析】解：A.

4+9=2+3=5，故该选项不正确，不符合题意；

B.

149=139=1334.C

【解析】解：知道自己是否被录取，只需公布第4名的成绩，即中位数．

故选：C．

5.B

【解析】解：在y=−x+b中，

∵−1<0，

∴y随x的增大而减小，

又−2<1，

∴y1>y2，6.D

【解析】解：在正方形ABCD中，∠B=90°，

∴AB2+CB2=AC2，

∵AB=CB，AC=102，

∴2AB2=(102)2，

∴AB=10，

在菱形ABCD中，AB=CB=10，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=10，

如图(1)，连接BD交AC于点O，

∴AC⊥BD，7.A

【解析】解：A、若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；

B、若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；错误；

C、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；错误；

D、若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；错误；

故选：A．

8.D

【解析】解：①S^梯形，S^梯形，

∴12(a2+2ab+b2)=12(2ab+c2)，

整理得a2+b2=c2，

故①满足题意；

④S9.C

【解析】解：①设一个正方形的边长为x，周长为y cm，则y=4x，y是x的正比例函数，故①不符合题意；

②某蓄水池蓄水20m3，用速度为0.5m3/min的水泵向外抽水，设蓄水池的剩余水量为ym3，抽水时间为x min，则y=20−0.5x，y随x的增大而减小，故②不符合题意；

③某电信公司手机的A类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费12元，另外通话费按0.2元/min计费．若一个月的通话时间为x min，应缴费用为y元，则y=12+0.2x，故10.C

【解析】解：过点C作CE⊥x轴于点E，

∴∠CEB=90°，

∵x轴⊥y轴，

∴∠BOA=90°，

∴∠CEB=∠BOA，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，BC=AB，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBE=∠BAO，

在△CBE和△BAO中，

∠CEB=∠BOA∠CBE=∠BAOBC=AB，

∴△CBE≌△BAO(AAS)，

∴BE=AO，

令x=0，则y=3，

∴一次函数y=3x+3与y轴的交点A的坐标是(0,3)，

∴AO=3，

∴BE=AO=3，

令y=0，则3x+3=0，

解得x=−1，

∴一次函数y=3x+3与x轴的交点B的坐标是(−1,0)，

∴OB=1，CD=1

∴OE=OB+BE=1+3=4，

即点C到y轴的距离是4，

C的坐标为(−4,1)．

故选：C．11.x≥−1

【解析】解：∵x+1≥0，

∴x≥−1．

故答案为：x≥−1．

12.y=−x+3(答案不唯一)

【解析】解：由于y随x增大而减小，则k<0，取k=−1，

设一次函数的关系式为y=−x+b，

代入(2,1)得：b=3，

则一次函数的解析式为：y=−x+3．

故答案为：y=−x+3(答案不唯一)．

13.91

【解析】解：该生的综合成绩为95×20%+90×80%

=19+72

=91(分)．

故答案为：91．

14.48

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，

∴AC=12，

∵DH⊥AB，

∴∠BHD=90°，

∴BD=2OH=2×4=8，

∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=115.78或4【解析】解：设BE=x，则EC=4−x，

由翻折得：EC′=EC=4−x，当AE=EC′时，AE=4−x，

∵∠B=90°，

由勾股定理得：32+x2=(4−x)2，

解得：x=78，

当AE=AC′时，如图，作AH⊥EC′

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=∠AEC′+∠FEC′=90°，

∴∠BEA+∠FEC=90°，

∵△ECF沿EF翻折得△EC′F，

∴∠FEC′=∠FEC，

∴∠AEB=∠AEH，

在△ABE和△AHE中，∠B=∠AHE∠AEB=∠AEHAE=AE,

∴△ABE≌△AHE(AAS)，

∴BE=HE=x，

∵AE=AC′，

∴EC′=2EH，

即4−x=2x，

解得：x=4316.解：(1)原式=32−42+2

=0；

【解析】(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；

(2)先利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并即可．

17.解：(1)CH是从村庄C到河边的最近路．

理由如下：

∵CB=5，CH=2，HB=1，

∴CB2=CH2+HB2，

∴△BCH为直角三角形，∠BHC=90°，

∴CH⊥AB，

∴CH为C点到AB的最短路线；

(2)设AC=x km，则AB=x km，AH=(x−1)km，

在Rt△ACH中，(x−1)2+22=x2，解得【解析】(1)利用勾股定理的逆定理证明△BCH为直角三角形，∠BHC=90°，则CH⊥AB，根据垂线段最短可判断CH是从村庄C到河边的最近路；

(2)设AC=xkm，则AB=xkm，AH=(x−1)km，则在Rt△ACH中利用勾股定理得到(x−1)2+22=18.69

变小

【解析】解：(1)由题意得：65+69+67+a+70=66+68+67+69+70，

解得：a=69，

故答案为：69；

(2)乙的体育成绩更好．理由如下：

乙的体育成绩更好，理由是：

∵x−甲=x−乙=15(65+69+67+69+70)=68，

S甲2=15[(65−68)2+(69−68)19.解：(1)把A(0,4)、C(−2,0)代入y=kx+b得b=4−2k+b=0，解得k=2b=4，

∴直线l的解析式为y=2x+4；

(2)当x=1时，y=2x+4=6，则B(1,6)，

∵直线l和函数y=−4x+a的图象交于点B．

∴关于x、y的方程组y=kx+by=−4x+a的解为x=1y=6；

把B(1,6)代入y=−4x+a得−4+a=6，解得a=10；

(3)当x>1【解析】(1)利用待定系数法求直线l的解析式；

(2)利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求方程组y=kx+by=−4x+a的解，然后把B点坐标代入y=−4x+a可求出a的值；

(3)结合函数图象写出直线y=kx+b在直线y=−4x+a上方所对应的自变量的范围即可．20.(1)证明：选小星：连接BE，

∵AE/​/BD，DE//BA，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE=BD，

∵BD=BC，

∴AE=BC，

∵AE//BC，

∴四边形AEBC是平行四边形，

∵∠C=90°，

∴四边形AEBC是矩形，

∴∠EBC=90°，

∴BE⊥CD；

选小红：连接CE，

∵AE/​/BD，DE//BA，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE=BD，AB=DE，

∵BD=BC，

∴AE=BC，

∵AE//BC，

∴四边形AEBC是平行四边形，

∵∠C=90°，

∴四边形AEBC是矩形，

∴AB=CE，

∴DE=CE；

(2)BF//DE，BF=12DE理由如下：

证明：如图，连接BE，CE，

∵四边形AEBC是矩形，

∴CF=EF，

∵BD=BC，

∴BF是△CDE的中位线

∴BF/​/DE，BF=12【解析】(1)小星：连接BE，根据平行四边的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE=BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据矩形性质得到BE⊥CD；小红：连接BE，CE，根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质定理即可得到论；

(2)证明BF是△CDE的中位线即可得到结论．

21.解：(1)图象如图2所示：

根据图象可知，x=7，y=2.75这对数据是错误的；

(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

把x=1，y=0.75和x=2，y=1代入解析式得：

k+b=0.752k+b=1，

解得k=0.25b=0.5，

∴y=0.25x+0.5，

当x=0时，y=0.5，

∴秤盘的质量是0.5千克；

(3)不能一次性称出此物体的重量．

当x=25时，y=0.25x+0.5=0.25×25+0.5=6.75，

可称物体的重量为6.75−0.5=6.25(千克)，

∵6.25<8，

∴不能一次性称出此物体的重量．【解析】(1)画出函数图象得出结论；

(2)用待定系数法求函数解析式；

(3)把x=25代入解析式求出y与8比较即可．

22.解：(1)设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，

根据题意，得10(x+11)+20x=1730，

解得：x=54，

x+11=65，

答：甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元；

(2)设购m只甲种头盔，则购(100−m)只乙种头盔，设总费用为w元，

则m≥100−m，

解得：m≥50，

w=0.8×65m+(54−6)(100−m)=4m+4800，

∵4>0，

∴w随m的增大而增大，

∴m=50时，w取最小值，最小值=4×50+4800=5000，

答：应购买50个甲种头盔可以使此次购买头盔的总费用最少，最少费用是5000元．

【解析】(