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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期教学质量测试数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若(1−i)z=3+i,则复数z在复平面内对应的点位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.为了得到函数y=sin(5x+π3)的图象,只要将函数A.向左平移π15个单位长度 B.向右平移π15个单位长度
C.向左平移π3个单位长度 D.3.设α,β,γ是三个不同的平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则“α//β”是“l//m”的(
)A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.曲线f(x)=ex−3x2在点A.x+y+1=0 B.x+y−1=0 C.x−y−1=0 D.x−y+1=05.若直线l:x−y+m2−6=0平分圆x2+2mx+yA.−2 B.2 C.3 D.−2或36.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺,前八个节气日影长之和为80尺,则小满日影长为(
)A.1.5尺 B.3.5尺 C.5.5尺 D.7.5尺7.已知函数fn(x)=xn+x+a,其中n∈N且n≥2,a<0且为常数.若对任意n∈N且n≥2,y=fn(x)A.(−1,0) B.(−1,−34) C.(−2,−8.已知A,B,C,D为球面上四点,M,N分别是AB,CD的中点,以MN为直径的球称为AB,CD的“伴随球”.若三棱锥A−BCD的四个顶点均在表面积为100π的球面上,它的两条棱AB,CD的长度分别为8和6,则AB,CD的伴随球的体积的取值范围是(
)A.[π4,343π3] B.[二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(2,−3),b=(2,1),则(
)A.(a−2b)⊥b
B.a与b可作为一组基底向量
C.a与b夹角的余弦值为656510.已知函数f(x)=sin(x+π3A.f(x)的值域为[−2,2] B.f(x−π12)为偶函数
C.f(x−π1211.已知函数fx=lnxA.fx=lnx2x与gx=2lnxx的定义域不同
B.fx的单调递减区间为e,+∞
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=3,b=2,cos(A+B)=13,则c=
13.已知集合A={x∈N|log2(x−3)≤2},B={x|x−7x−4≤0}14.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为E上且不与顶点重合的任意一点,I为△PF1F2的内心,O为坐标原点,记直线四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b−c)sin(1)求A;(2)若D为边AB的中点,且CD=1,求△ABC面积的最大值.16.(本小题15分)南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情,其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男、女性游客各100名,统计结果如下表所示:对滑雪的喜爱情况性别合计男性游客女性游客喜欢滑雪603595不喜欢滑雪4065105合计100100200(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联?(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训,对四个滑雪基本动作(起步、滑行、转弯、制动)进行指导.据统计,每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为34,12,13,12,且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立附:χ2=n(ad−bcα0.050.010.001x3.8416.63510.82817.(本小题15分)
如图,在四棱台ABCD−A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,AD//BC,(1)记平面A1ADD1与平面B1BC(2)求平面A1ADD118.(本小题17分)
已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为x=−12,焦点为F.A,B,(1)求E的方程;(2)若F为△ABC的重心,求|FA|+|FB|+|FC|的值;(3)过A,B两点分别作E的切线l1,l2,l1与l2相交于点D,若|AB|=419.(本小题17分)给定数列{an},若首项a1>0且a1≠1,对任意的n(1)已知数列{an}为“指数型数列”,若a1(2)已知数列{an}满足a1=12,an(3)若数列{an}是“指数型数列”,且a1=答案解析1.A
【解析】解:由(1−i)z=3+i,
得z=
3+i1−i=(3+i)(1+i)1−i1+i=1+2i,
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为2.A
【解析】解:y=sin则为了得到函数y=sin只需把函数y=sin 5x的图象上所有的点向左平行移动故选:A.3.B
【解析】解:由于
α//β
,
α∩γ=l,β∩γ=m
,由面面平行的性质定理可得:
l//m
,所以
α//β
是
l//m
的充分条件;
但当
l//m
,
α∩γ=l,β∩γ=m
,并不能推出
α//β
,也有可能
α,β
相交,
所以
α//β
是
l//m
的不必要条件;
则α//β是l//m的充分不必要条件.
故选:B.4.D
【解析】解:∵f(x)=ex−3x2,f(0)=1,
∴f′(x)=
ex−6x,f′(0)=1,
∴曲线在点(0,f(0))处切线方程为y−1=x−0,
5.C
【解析】解:将x2+2mx+y2+4=0可化为(x+m)2+y2=m2−4,则圆心为(−m,0),且m2−4>0,
又直线l:x−y+m2−6=0平分圆x2+2mx+y2+4=0,
则直线l经过圆心(−m,0),
代入直线6.B
【解析】解:设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1,a2,⋅⋅⋅,a12,前n由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺,前八个节气日影长之和为80尺,得a2+a4+所以小满日影长为a11=a故选B.7.C
【解析】解:当x>0时,fn′(x)=nxn−1+1>0恒成立,
所以函数fn(x)=xn+x+a在(0,+∞)上单调递增,
所以函数y=fn(x)在(12,1)内均存在唯一零点只需fn(12)⋅fn(1)<0即可,
即f8.D
【解析】解:
由题意,设三棱锥
A−BCD
外接球的半径为
R
,则
4πR2=100π故三棱锥A−BCD的外接球O的半径为5,故OA=OD=5,
分别取AB,CD的中点M,N,则OM⊥AB,ON⊥CD,
由勾股定理得OM=OA2−AM2=3,ON=OD2−DN2=4,
由题意知,AB,CD的伴随球O1是以AB,CD为切线,且|OM−ON|≤MN≤OM+ON,
故MN的最大值和最小值分别为7和1,
当O,M,N三点共线且O在线段MN之间时取得最大值,
当O,M,N三点共线且O在线段MN之外,满足|OM−ON|=1时取得最小值,
故球O19.BC
【解析】解:因为a=(2,−3),b=(2,1),
所以a−2b=(−2,−5),
所以(a−2b)⋅b=−2×2+(−5)×1=−9,故A错误;
易得a与所以cos<a,b>=a⋅ba·b=2×2+(−3)×122+(−3)2×22+12=6510.ABD
【解析】解:f(x)=sin(x+π3)+sin(π6−x)=sin(x+π3)+cos(x+π3)=2sin(x+7π12),
所以f(x)的值域为[−2,2],选项A正确;f(x−π12)=11.AD
【解析】解:对于A,由fx=lnx2x的定义域为xx≠0对于B,由函数定义域为xx≠0,因为f′x=2−lnx2x2所以fx的单调递减区间为−∞,−e,e,+∞,所以选项B对于C,因为f′x=2−lnx2x所以f(x)的单调递增区间为−e,0,0,e,由选项B知,f(x)的单调递减区间为−∞,−e,e,+∞,又f(e)=2e,f(−e)=−2e,当x→−∞当x→+∞时,f(x)>0,且f(x)→0,当x<0且x→0时,f(x)→+∞,当x>0且x→0时,f(x)→−∞,其图象如图所示,
由图知,fx=a有三个不同的解,则−2e<a<对于D,由题知fx1=由图,不妨设0<x1<e<x2则H′(x)=ℎ′(x)+e当0<x<e时,1−lnx>0,e2即H(x)=ℎ(x)−ℎ(e2x)在区间所以H(x1)=ℎ(又ℎ′(x)=1−lnxx2,当x>e时,ℎ′(x)<0又x2>e,e2x1>e故选:AD.12.17【解析】解:∵cos(A+B)=cos(π−C)=13,可得:cosC=−13,又∵a=3,b=2,
13.5,6,7
【解析】解:若
log2x−3≤2
,则
0<x−3≤4
,解得所以
A=x∈N|3<x≤7=若
x−7x−4⩽0
,则
(x−4)(x−7)⩽0x−4≠0
,解得
所以
B={x|4<x⩽7}
;所以
A∩B={5,6,7}
.故答案为:
5,6,7
.14.12【解析】解:如图,不妨设点P在第二象限,P(x0,y0),I(xt,yt),
△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,x轴相切于点M,N,T,
所以|PM|=|PN|,|F1M|=|F1T|,|F2N|=|F2T|,
所以|F1T|+|PN|+|F2N|=a+c,
即|F1T|+|PF2|=a+c,所以15.解:(1)因为(b−c)sinB=(a+c)(sinA−sinC),
所以由正弦定理可得(b−c)b=(a+c)(a−c),即b2−bc=a2−c2,则b2+c2−a2=bc,
由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3;
(2)因为D是边AB的中点,即AD=12AB,所以【解析】(1)由题意结合正弦定理可得b2+c2−a2=bc,再由余弦定理可得cosA=116.解:(1)零假设为H0:游客是否喜欢滑雪与性别无关联.
由题可得χ2=200×(60×65−40×35)2100×100×95×105=5399≈12.531>10.828=x0.001.
所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)令事件Ai(i=1,2,3,4)分别表示滑雪初学者起步、滑行、转弯、制动达到优秀,
滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件【解析】
(1)计算出χ2=200×(60×65−40×35)17.证明:(1)因为AD//BC,AD⊂平面A1ADD1,BC⊄平面A1ADD1,
所以BC//平面A1ADD1,
又BC⊂平面B1BCC1,平面A1ADD1∩平面B1BCC1=l,
所以l//BC,
因为D1D⊥平面ABCD,
所以D1D⊥BC.
在△BCD中,BC=1,CD=2,∠BCD=60∘,由余弦定理得,BD=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=
12+22−2×1×2cos60∘=3,
则CD2=BC2+BD2,得BC⊥BD.
又D1D∩BD=D,D1D,BD⊂平面B1BDD1,
所以BC⊥平面B1BDD1.
因为l//BC,
所以l⊥平面B1BDD1;
解:(2)在△BCD中,BC=1,CD=2,∠BCD=π3.
由余弦定理得,BD=3,则CD2=BC2+BD2,得BC⊥BD.
又AD//BC,则AD⊥BD.
因为D1D⊥平面ABCD,AD,BD⊂【解析】(1)根据线面平行的判定和性质定理、线面垂直的判定定理进行证明即可;
(2)建立空间直角坐标系,利用向量法进行求解即可.18.解:(1)因为抛物线E的准线为x=−12,
所以−p2=−12,所以p=1,
所以E的方程为y2=2x.
(2)依题意F(12,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
由F为△ABC的重心,即x1+x2+x3=32,
由抛物线定义得,|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+12)=3.
(3)显然,直线AB的斜率不为0,
可设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,【解析】
(1)由题得到−p2=−12,即可求解;
(2)利用抛物线定义,得|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+1219.解:(1)解:因为数列{an}是“指数型数列”,
所以对于任意的n,m∈N∗,都有an+m=an⋅am
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