2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期教学质量测试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期教学质量测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若(1−i)z=3+i，则复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.为了得到函数y=sin(5x+π3)的图象，只要将函数A.向左平移π15个单位长度 B.向右平移π15个单位长度

C.向左平移π3个单位长度 D.3.设α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则“α/​/β”是“l/​/m”的(

)A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.曲线f(x)=ex−3x2在点A.x+y+1=0 B.x+y−1=0 C.x−y−1=0 D.x−y+1=05.若直线l:x−y+m2−6=0平分圆x2+2mx+yA.−2 B.2 C.3 D.−2或36.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为(

)A.1.5尺 B.3.5尺 C.5.5尺 D.7.5尺7.已知函数fn(x)=xn+x+a，其中n∈N且n≥2，a<0且为常数.若对任意n∈N且n≥2，y=fn(x)A.(−1,0) B.(−1,−34) C.(−2,−8.已知A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.若三棱锥A−BCD的四个顶点均在表面积为100π的球面上，它的两条棱AB，CD的长度分别为8和6，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是(

)A.[π4,343π3] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(2,−3)，b=(2,1)，则(

)A.(a−2b)⊥b

B.a与b可作为一组基底向量

C.a与b夹角的余弦值为656510.已知函数f(x)=sin(x+π3A.f(x)的值域为[−2,2] B.f(x−π12)为偶函数

C.f(x−π1211.已知函数fx=lnxA.fx=lnx2x与gx=2lnxx的定义域不同

B.fx的单调递减区间为e,+∞

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=3，b=2，cos(A+B)=13，则c=

13.已知集合A={x∈N|log2(x−3)≤2}，B={x|x−7x−4≤0}14.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E上且不与顶点重合的任意一点，I为△PF1F2的内心，O为坐标原点，记直线四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b−c)sin(1)求A;(2)若D为边AB的中点，且CD=1，求△ABC面积的最大值．16.(本小题15分)南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：对滑雪的喜爱情况性别合计男性游客女性游客喜欢滑雪603595不喜欢滑雪4065105合计100100200(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联?(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作(起步、滑行、转弯、制动)进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为34，12，13，12，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立附：χ2=n(ad−bcα0.050.010.001x3.8416.63510.82817.(本小题15分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，AD/​/BC，(1)记平面A1ADD1与平面B1BC(2)求平面A1ADD118.(本小题17分)

已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为x=−12，焦点为F.A，B，(1)求E的方程;(2)若F为△ABC的重心，求|FA|+|FB|+|FC|的值;(3)过A，B两点分别作E的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，若|AB|=419.(本小题17分)给定数列{an}，若首项a1>0且a1≠1，对任意的n(1)已知数列{an}为“指数型数列”，若a1(2)已知数列{an}满足a1=12，an(3)若数列{an}是“指数型数列”，且a1=答案解析1.A

【解析】解：由(1−i)z=3+i，

得z=

3+i1−i=(3+i)(1+i)1−i1+i=1+2i，

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为2.A

【解析】解：y=sin则为了得到函数y=sin只需把函数y=sin 5x的图象上所有的点向左平行移动故选：A．3.B

【解析】解：由于

α/​/β

，

α∩γ=l,β∩γ=m

，由面面平行的性质定理可得：

l/​/m

，所以

α/​/β

是

l/​/m

的充分条件；

但当

l/​/m

，

α∩γ=l,β∩γ=m

，并不能推出

α/​/β

，也有可能

α,β

相交，

所以

α/​/β

是

l/​/m

的不必要条件；

则α/​/β是l/​/m的充分不必要条件．

故选：B．4.D

【解析】解：∵f(x)=ex−3x2，f(0)=1，

∴f′(x)=

ex−6x，f′(0)=1，

∴曲线在点(0,f(0))处切线方程为y−1=x−0，

5.C

【解析】解：将x2+2mx+y2+4=0可化为(x+m)2+y2=m2−4，则圆心为(−m,0)，且m2−4>0，

又直线l:x−y+m2−6=0平分圆x2+2mx+y2+4=0，

则直线l经过圆心(−m,0)，

代入直线6.B

【解析】解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1，a2，⋅⋅⋅，a12，前n由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，得a2+a4+所以小满日影长为a11=a故选B．7.C

【解析】解：当x>0时，fn′(x)=nxn−1+1>0恒成立，

所以函数fn(x)=xn+x+a在(0,+∞)上单调递增，

所以函数y=fn(x)在(12,1)内均存在唯一零点只需fn(12)⋅fn(1)<0即可，

即f8.D

【解析】解：

由题意，设三棱锥

A−BCD

外接球的半径为

R

，则

4πR2=100π故三棱锥A−BCD的外接球O的半径为5，故OA=OD=5，

分别取AB，CD的中点M，N，则OM⊥AB，ON⊥CD，

由勾股定理得OM=OA2−AM2=3，ON=OD2−DN2=4，

由题意知，AB，CD的伴随球O1是以AB，CD为切线，且|OM−ON|≤MN≤OM+ON，

故MN的最大值和最小值分别为7和1，

当O，M，N三点共线且O在线段MN之间时取得最大值，

当O，M，N三点共线且O在线段MN之外，满足|OM−ON|=1时取得最小值，

故球O19.BC

【解析】解：因为a=(2,−3)，b=(2,1)，

所以a−2b=(−2,−5)，

所以(a−2b)⋅b=−2×2+(−5)×1=−9，故A错误;

易得a与所以cos<a，b>=a⋅ba·b=2×2+(−3)×122+(−3)2×22+12=6510.ABD

【解析】解：f(x)=sin⁡(x+π3)+sin⁡(π6−x)=sin⁡(x+π3)+cos⁡(x+π3)=2sin⁡(x+7π12)，

所以f(x)的值域为[−2,2]，选项A正确；f(x−π12)=11.AD

【解析】解：对于A，由fx=lnx2x的定义域为xx≠0对于B，由函数定义域为xx≠0，因为f′x=2−lnx2x2所以fx的单调递减区间为−∞,−e，e,+∞，所以选项B对于C，因为f′x=2−lnx2x所以f(x)的单调递增区间为−e,0，0,e，由选项B知，f(x)的单调递减区间为−∞,−e，e,+∞，又f(e)=2e,f(−e)=−2e，当x→−∞当x→+∞时，f(x)>0，且f(x)→0，当x<0且x→0时，f(x)→+∞，当x>0且x→0时，f(x)→−∞，其图象如图所示，

由图知，fx=a有三个不同的解，则−2e<a<对于D，由题知fx1=由图，不妨设0<x1<e<x2则H′(x)=ℎ′(x)+e当0<x<e时，1−lnx>0，e2即H(x)=ℎ(x)−ℎ(e2x)在区间所以H(x1)=ℎ(又ℎ′(x)=1−lnxx2，当x>e时，ℎ′(x)<0又x2>e,e2x1>e故选：AD．12.17【解析】解：∵cos(A+B)=cos(π−C)=13，可得：cosC=−13，又∵a=3，b=2，

13.5,6,7

【解析】解：若

log2x−3≤2

，则

0<x−3≤4

，解得所以

A=x∈N|3<x≤7=若

x−7x−4⩽0

，则

(x−4)(x−7)⩽0x−4≠0

，解得

所以

B={x|4<x⩽7}

；所以

A∩B={5,6,7}

．故答案为：

5,6,7

．14.12【解析】解：如图，不妨设点P在第二象限，P(x0,y0)，I(xt,yt)，

△PF1F2的内切圆与PF1，PF2，x轴相切于点M，N，T，

所以|PM|=|PN|，|F1M|=|F1T|，|F2N|=|F2T|，

所以|F1T|+|PN|+|F2N|=a+c，

即|F1T|+|PF2|=a+c，所以15.解：(1)因为(b−c)sinB=(a+c)(sinA−sinC)，

所以由正弦定理可得(b−c)b=(a+c)(a−c)，即b2−bc=a2−c2，则b2+c2−a2=bc，

由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12，又A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)因为D是边AB的中点，即AD=12AB，所以【解析】(1)由题意结合正弦定理可得b2+c2−a2=bc，再由余弦定理可得cosA=116.解：(1)零假设为H0:游客是否喜欢滑雪与性别无关联．

由题可得χ2=200×(60×65−40×35)2100×100×95×105=5399≈12.531>10.828=x0.001．

所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．

(2)令事件Ai(i=1,2,3,4)分别表示滑雪初学者起步、滑行、转弯、制动达到优秀，

滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件【解析】

(1)计算出χ2=200×(60×65−40×35)17.证明：(1)因为AD/​/BC，AD⊂平面A1ADD1，BC⊄平面A1ADD1，

所以BC/​/平面A1ADD1，

又BC⊂平面B1BCC1，平面A1ADD1∩平面B1BCC1=l，

所以l//BC，

因为D1D⊥平面ABCD，

所以D1D⊥BC．

在△BCD中，BC=1，CD=2，∠BCD=60∘，由余弦定理得，BD=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=

12+22−2×1×2cos60∘=3，

则CD2=BC2+BD2，得BC⊥BD．

又D1D∩BD=D，D1D，BD⊂平面B1BDD1，

所以BC⊥平面B1BDD1．

因为l//BC，

所以l⊥平面B1BDD1；

解：(2)在△BCD中，BC=1，CD=2，∠BCD=π3．

由余弦定理得，BD=3，则CD2=BC2+BD2，得BC⊥BD．

又AD/​/BC，则AD⊥BD．

因为D1D⊥平面ABCD，AD，BD⊂【解析】(1)根据线面平行的判定和性质定理、线面垂直的判定定理进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．18.解：(1)因为抛物线E的准线为x=−12，

所以−p2=−12，所以p=1，

所以E的方程为y2=2x．

(2)依题意F(12,0)，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，

由F为△ABC的重心，即x1+x2+x3=32，

由抛物线定义得，|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+12)=3．

(3)显然，直线AB的斜率不为0，

可设直线AB的方程为x=my+n，A(x1,y1)，B(x2,【解析】

(1)由题得到−p2=−12，即可求解；

(2)利用抛物线定义，得|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+1219.解：(1)解：因为数列{an}是“指数型数列”，

所以对于任意的n，m∈N∗，都有an+m=an⋅am