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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年河北省石家庄市高二下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3−5t2,则汽车在A.10 B.14 C.4 D.62.将序号分别为1,2,3,4,5的五张参观券全部分给甲,乙,丙,丁四人,每人至少1张,如果分给甲的两张参观券是连号,那么不同分法的种数是(
)A.6 B.24 C.60 D.1203.设离散型随机变量X的分布列为:则q=(
)X12P1−2qqA.12 B.1−22 C.4.已知一组观测值(x1,y1),(x2,y2),⋯,A.0 B.0.5 C.0.9 D.15.(xy−yx)A.−4 B.4 C.−6 D.66.李老师教高二甲班和乙班两个班的数学,这两个班的人数相等.某次联考中,这两个班的数学成绩均近似服从正态分布,其正态密度函数f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2的图像如图所示,其中μ是正态分布的期望,σA.甲班的平均分比乙班的平均分高
B.相对于乙班,甲班学生的数学成绩更分散
C.甲班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D.乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等7.某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛,每人限报且必须报两门,由于数学是该校优势科目,必须至少有两人参赛,若要求每门学科都有人报名,则不同的参赛方案有(
)A.51种 B.45种 C.48种 D.42种8.已知函数f(x)=(x−1)ex−kx3+1(e为自然对数的底数),若对任意的x1,x2∈(0,+∞),且A.(−∞,e3] B.(−∞,e3)二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(
)A.对于独立性检验,χ2的值越大,说明两事件的相关程度越大
B.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,若其变换后得到线性方程z=0.3x+4,则c,k的值分别是e4和0.3(e为自然对数的底数)
C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y=a+bx中,b=2,10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是(
)
A.C32+C42+C52+⋯+C112=220
B.记第n行的第i个数为ai,则i=1n+13i−111.某大学文学院有A、B两个自习室,小王同学每天晚上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室A的概率为13;他第二天去自习室B的概率为14;如果他第一天去自习室A,则第二天去自习室B的概率为1A.小王两天都去自习室A的概率为14;
B.小王两天都去自习室B的概率为112;
C.小王两天去不同自习室的概率为34;
D.如果他第二天去自习室三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.编号为1,2,3的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是ξ,则E(ξ)=
.13.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X,Y的取值集合均为{0,1,2,3,⋯,n}(n∈N∗),则X,Y的散度D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i).若X01P11Y01P1−pp14.若二次函数f(x)=2x2+3的图象与曲线C:g(x)=aex+3(a>0)存在公切线,则实数a四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设函数fx(1)求f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求f(x)在[−2,4]上的最大值和最小值.16.(本小题12分)已知f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512,且(Ⅰ)求a2的值(Ⅱ)求a1+(Ⅲ)求a1+217.(本小题12分)
在十余年的学习生活中,部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系,从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查,其中有上课转笔习惯的有55人.经调查,得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图.记分数在600分以上的为优秀,其余为合格.
(Ⅰ)请完成下列2×2列联表.并依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联;(结果均保留到小数点后三位)上课转笔上课不转笔合计优秀合格20合计55100(Ⅱ)现采取分层抽样的方法,从这100人中抽取10人,再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查,记抽到5人中合格的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)若将频率视作概率,从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查,记20人中上课转笔的人数为k的概率为P(k),当P(k)取最大值时,求k的值.附:χ2=n(ad−bcP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(本小题12分)一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试,通过讲解100个陌生单词后,相隔十分钟进行听写测试,间隔时间t(分钟)和答对人数y的统计表格如下:时间t(分钟)102030405060708090100答对人数y987052363020151155lg1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7时间t与答对人数y和lg y附:i=110ti2=38500,i=110yi=342,i=110lg yi=13.52,i=110tiyi=10960,i=110tilg yi=621.7,对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线方程v=19.(本小题12分)对于正实数a,b(a>b),我们熟知基本不等式:G(a,b)<A(a,b),其中G(a,b)=ab为a,b的几何平均数,A(a,b)=a+b2为a,b的算术平均数.现定义a,(Ⅰ)设x>1,求证:2(Ⅱ)证明G(a,b)<L(a,b);(Ⅲ)若不等式G(a,b)+A(a,b)>m⋅L(a,b)对任意正实数a,b(a>b)恒成立,求正实数m的取值范围.
参考答案1.C
2.B
3.B
4.D
5.D
6.D
7.A
8.A
9.ABC
10.BD
11.BC
12.1
13.[0,+∞)
14.(0,815.解:(1)由题意知,f(1)=−3,即切点为(1,−3),
又f′(x)=3x2−6x−9,所以f′(1)=−12,
所以f(x)在x=1处的切线方程为:y+3=−12(x−1),即12x+y−9=0;
(2)f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1),
令f′(x)<0得−1<x<3,f′(x)>0得x<−1或x>3,
故f(x)的减区间为(−1,3),增区间为(−∞,−1)和(3,+∞),
函数f(x)的极大值f(−1)=13,函数f(x)的极小值f(3)=−19,
又f(−2)=6,f(4)=−12,
∴f(x)在[−2,4]16.解:(Ⅰ)由二项式系数和为512知,2n=512=29⇒n=9,
(2x−3)9=[2(x−1)−1]9
,
∴a2=C97×22×(−1)7=−144;
(Ⅱ)令x=1,a0=(2×1−3)9=−1,
令x=2,得17.解:(Ⅰ)零假设H0:成绩优秀与上课转笔无关,
2×2上课转笔上课不转笔合计优秀52530合格502070合计5545100χ2=1005×20−25×50245×55×70×30≈25.449>6.635,
根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,因此认为成绩优秀与上课转笔有关.
(Ⅱ)100个人中优秀的人数为0.0125+0.0025×20×100=30,
则合格的人数为70人,由分层抽样可知:10人中有3人优秀,7人合格;
由题意X的可能值为2.3,4,X2345P1551所以EX=2×112+3×512+4×512+5×112=72.
(Ⅲ)由题意可知k∼B20,0.55,则Pk=18.解:(1)由图象可知,lgy=ct+d更适宜作为线性回归模型.
(2)设lgy=ct+d,由条件可得,t=110i=110ti=55,lgy=1.352,
c=i=110tilgyi−10tlgyi=110t19.(1)证明:令f(x)=lnx−12(x−1x),
则f′(x)=1x−12−12x2=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2,
∴f′(x)≤0,得f(x)在[1,+∞)上单调递减,
又f(1)=0,故当x>1时,f(x
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