2023-2024学年重庆市永川中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市永川中学高一（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i(3+i)在复平面内对应的点所在的象限为(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,−1)，b=(2,1)，c=(2,λ).若c//(2aA.−12 B.0 C.123.设a、b是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，下列说法正确的有(

)A.a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α⊥β

B.α/​/β，a⊥α，b/​/β，则a⊥b

C.a⊂α，b⊂β，且a/​/β，b/​/α，则α/​/β

D.a/​/b，a/​/β，则b/​/β4.直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线A.30°

B.45°

C.60°

D.90°5.已知四边形ABCD是矩形，|AB|=4，|BC|=3，则A.25 B.−7 C.7 D.−256.某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取25%的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(

)

A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，367.已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积为6π，则这个圆台的体积为(

)A.73π3 B.238.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=π3,a=8,bcosA+acosB=6，点O是△ABC的外心，若BO=xBAA.712 B.2336 C.2536二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(0,1)，b=(33A.|a+b|=7

B.(a+b)⋅(a−b)=−30

C.向量a10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2，S△ABC=23，且ccosB+bcosC−2acosA=0A.a=3 B.C=π2 C.11.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是梯形，AB/​/CD，AD⊥DC，BC=CD=4，DD1=AB=2，P是棱CC1A.AC与平面BPQ有可能平行

B.B1D1与平面BPQ有可能平行

C.三角形BPQ周长的最小值为17+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为______．13.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别a、b、c，角A=π3.若AM是∠CAB的平分线，交BC于M，且AM=3，则AB+2AC14.在三棱锥S−ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin2A+sin2C=sinAsinC+sin2B.

(1)求角B的大小；

(2)若b=316.(本小题15分)

2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣.某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成5组：

[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如频率分布直方图．

(1)求这部分学生成绩的平均数(同组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮面试，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分(包括90分)以上的同学恰有1人被抽到的概率．17.(本小题15分)

已知四棱锥P−ABCD满足：四边形ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2，E为PA的中点．

(1)证明：PC//平面BDE；

(2)求直线PC和平面ABCD所成角的正切值．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=4，E为AD的中点．

(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；

(2)求二面角A−PD−C的平面角的正弦值．19.(本小题17分)

由于某地连晴高温，森林防灭火形势严峻，某部门安排了甲、乙两名森林防火护林员对该区域开展巡查.现甲、乙两名森林防火护林员同时从A地出发，乙沿着正西方向巡视走了3km后到达D点，甲向正南方向巡视若干公里后到达B点，又沿着南偏西60°的方向巡视走到了C点，经过测量发现∠ACD=60°.设∠ACB=θ，如图所示．

(1)设甲护林员巡视走过的路程为S=AB+BC，请用θ表示S，并求S的最大值；

(2)为了强化应急应战准备工作，有关部门决定在△BCD区域范围内储备应急物资，求△BCD区域面积的最大值．

参考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.BC

11.ACD

12.3

13.314.915.解：(1)因为sin2A+sin2C=sinAsinC+sin2B.

由正弦定理可得：a2+c2=ac+b2，

则a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac16.解：(1)由频率分布直方图得：平均数为：(55×0.015+65×0.025+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10=73.5；

(2)根据分层抽样的方法抽取的6名学生，[80,90)有4人，[90,100]有2人，

∴90分(包含90分)以上的同学恰有1人被抽到的概率p=4617.(1)证明：四棱锥P−ABCD满足：四边形ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，连接AC，BD交于点O，连接OE．

由已知OE为△PAC的中位线，故PC//OE，OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，

所以PC//平面BDE．

(2)解：E为PA的中点．取AD中点F，连接PF，则由△PAD为等边三角形可知PF⊥AD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，它们的交线为AD，PF⊂平面PAD，PF⊥AD，

所以PF⊥平面ABCD，故PC在平面ABCD的射影为CF，

故∠PCF即为所求直线PC和平面ABCD所成角．

由已知PF=3，CF=CD2+DF2=22+118.解：(1)证明：

∵四边形ABCD为菱形，∴DA=DC．

连接AC．

∵∠ADC=60°，

∴△ADC为等边三角形，从而CA=CD．

在△ADC中，E是AD的中点，

∴CE⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，

∴CE⊥PA，又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

∴EC⊥平面PAD．

又CE⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD．

(2)在平面PAD中，过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接CM．

∵EC⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，

∴EC⊥PD．

又EM∩CE=E，EM，CE⊂平面EMC，∴PD⊥平面EMC．

又CM⊂平面EMC，∴PD⊥CM，

∴∠EMC是二面角A−PD−C的平面角．

在Rt△EMD中，ED=2，∠ADP=45°，

∴EM=MD=2．

在Rt△CMD中，MD=2.，CD=4，

∴CM=CD2−MD2=14．

在19.解：(1)由题意知：∠ADC=360°−(120°+90°+60°+θ)=90°−θ，

在△ACD中，由正弦定理：ACsin∠ADC=ADsin∠ACD，

即：AC=23cosθ，在△ABC中，∵∠ACB=θ，∴∠CAB=60°−θ，

由正弦定理：ABsinθ=BCsin(60∘−θ)=ACsin120∘=4cosθ，

AB=4cosθsinθ=2sin2θ，BC=4cosθsin(60°−θ)，

∴S